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2.1.2数列 的递推公式


例1.已知数列{an}的第1项是2,以后各项由公

an?1 式 an ? 给出,写出这个数列的前5项. 1 ? an?1
2 ? ?2 解:a1=2, a2 ? 1? 2
2 ? 3

?2 2 a3 ? ?? 1 ? (?2) 3
2 ? 5

2 a4 ? ?? 2 5 1 ? (? ) 3

2 a5 ? ?? 2 7 1 ? (? ) 5

例2. 已知直线l:y=x与曲线c:y ? ( 1 ) x (如图所
示),过曲线c上横坐标为1的一点P1作x轴的平行
2

线交l于Q2,过Q2作x轴的垂线交曲线c于P2,再过
P2作x轴的平行线交l于Q3,过Q3作x轴的垂线交曲

线c于P3,……,设点P1,P2,…,Pn,…的纵坐
标分别为a1,a2,…,an,…,试求数列{an}的递

推公式。

解:由题意,点P1的横坐标为1,纵坐标为 1 a1= , 2 点Qn+1与Pn的纵坐标相同,都是an, 同时点Pn+1与Qn+1的横坐标相等,
1 x 点Pn+1在曲线c:y ? ( ) 上, 2 1 an 由横坐标得它的纵坐标为( 2 ) 1 an 这就是数列{an}的递推公式。 即 an?1 ? ( 2 )

例3. 根据下列各个数列{an}的首项及其递推公
式,写出数列的前5项,并归纳出通项公式:

(1)a1=0,an+1=an+(2n-1),n∈N+;
2an (2)a1=1,an ?1 ? , n∈N+; an ? 2

解:(1)因为a1=0,an+1=an+(2n-1),n∈N+; 所以, a2=1 , a3=4, a4=9, a5=16 , 归纳出它的通项公式是an=(n-1)2 。

2an an ?1 ? (2)a1=1, , n∈N+; an ? 2 2a2 1 解: a2 ? 2a1 ? 2 a ? ?
a1 ? 2 3
3

a2 ? 2

2

2a3 2 a4 ? ? a3 ? 2 5

2a4 1 a5 ? ? a4 ? 2 3

2 归纳出它的通项公式是 an ? n ?1

已知递推公式,用累加法求通项公式
例2:已知在数列{an}中,a1=5,an=an-1+3(n≥2),求数 列{an}的通项公式. 思维突破:先对an=an-1+3 从2 到n 进行取值,得到

n-1 个式子,再把这n-1 个式子相加,消去中间项.
自主解答:由递推关系 an=an-1+3(n≥2),得

a2=a1+3,
a3=a2+3,


an-1=an-2+3,

an=an-1+3.
将以上(n-1)个式子左右两边同时相加,得 a2+a3+…+an-1+an =a1+3+a2+3+a3+3+…+an-1+3, 消去a2+a3+…+an-1,并整理,得an=a1+3(n-1).

∵a1=5,∴an=3n+2.

已知递推公式,用累乘法求通项公式
例3:已知a1=2,an+1=2an,求an.

思维突破:对an+1=2an从 1 到n-1 进行取值,得到n-1
个式子,再把这 n-1 个式子相乘,消去中间项.

自主解答: 解法一: a1=2, a2=2×2=22, a3=2×22=23, …, 观察可得: an=2n. an 解法二:由 an+1=2an,得 an=2an-1,即 =2. an-1 an an-1 an-2 a2 ∴ × × ×…× =2n-1. a1 an-1 an-2 an-3 ∴ an=a1· 2n-1=2n.

1.由递推公式求通项公式的三个步骤 第一步:先根据递推公式写出数列的 前几项(至少是前 3 项); 第二步:根据写出的前几项,观察归 纳其特点,并把每一项统一形式; 第三步:写出一个通项公式并证明.

an 2 . (1) 当 = g(n)(n≥2) 满 足 一 定 条 件 时 , 常 用 an = an-1 a2 an an-1 an-2 · · · …· a1 累乘法求 an. a1· an-1 an-2 an-3 (2)当 an-an-1=f(n)(n≥2)满足一定条件时,常用 an=(an- an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 累加来求通项 an.

1.如何理解数列的递推公式? (1)递推公式是给出数列的一种重要形式,并不是 所有的数列都有递推公式,递推公式可用于求数列中的 各项. (2)递推公式与通项公式的区别与联系:
类 通项公式 别 不 同 点 相 同 点

给出n的值,可求出数 列中的第n项an 由前一项(或前几项) 的值,通过一次(或多 次)运算,逐项求出第 n项an 可确定一个数列,求出 数列中的任意一项

递推公式

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an ? 1 (3) bn ? a 这样的公式不是递推公式.因为数列 n ?1 an ? 1 {bn}是由数列{an}中的项,通过公式 bn ? 构造出来 an ?1 的,不是由数列{bn}中的项经过递推构造出来的.如果改 bn 成 bn ? 2 ? bn ?1 并给出数列{bn}的第1项,第2项,那么就是递
推公式了.
(4)由数列的递推公式不一定能求出数列的通项公 式.
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数列的最大(小)项的求法
已知数列{an}的通项公式为 an=-2n2+9n+3,求当 n 为何 值时,an 有最大值?并求出最大值.
【思路探究】 (1)通项公式是什么函数的形式?能否利用

函数求出最大值?(2)若设 an 为{an}中的最大项,则 an 应满足什 么关系式?能否利用此关系式求得 n 值?

【自主解答】 105 8 .

法一

92 ∵an=-2n +9n+3=-2(n-4) +
2

又∵n∈N*,∴当 n=2 时,an 取得最大值 13. 法二 设 an 为数列中的最大项,

? ?an≥an-1, 则? ? ?an≥an+1,
2 2 ? ?-2n +9n+3≥-2?n-1? +9?n-1?+3, ∴? 2 2 ? ?-2n +9n+3≥-2?n+1? +9?n+1?+3,

7 11 解之得:4≤n≤ 4 , ∴n=2,a2=13, ∴当 n=2 时,an 取得最大值 13.

判断数列最大项和最小项的方法一般有两种: 一是利用函数 的单调性和最值,即参照数列对应的函数的性质的研究方法,由 函数的单调性过渡到数列的增减性,然后判断最值;二是利用通
? ?an≥an-1, 项求解, 即通过判断不等式组? ? ?an≥an+1, ? ?an≤an-1, 或? ? ?an≤an+1

有无正

整数解来判断.


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