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1.1.3导数的几何意义


【课标要求】 1.了解导数的概念;理解导数的几何意义. 2.会求导数. 3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 【核心扫描】 1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程.(重点) 2.准确理解在某点处与过某点的切线方程.(易混点)

自学导引 1.切线:如图,当点 Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4,…)沿着曲 线 f(x)趋近于点 P(x0,f(x0))时,割线 PPn 趋近于确定的位置, 这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线.显然割线 PPn 的 f(xn)-f(x0) 斜率是 kn= ,当点 Pn 无限趋近于点 P 时,kn xn-x0 无限趋近于切线 PT 的斜率.

y

y=f(x)

Q

割 线
T 切线

P

?
x

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT 称为曲线在点P处的切线.

o

2.几何意义:函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义是曲线 y =f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的 P(x0, f(x0))处的切线斜率 k=
斜率 ,也就是曲线

y=f(x)在点

f(x0+Δ x)-f(x0) =f′(x0). 相 Δx

应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) .

1.对导数几何意义的理解 (1)以前学过的切线的定义是与封闭曲线只有一个交点的直线 叫做曲线的切线,而此处切线的定义是曲线割线的交点,趋近 于另一个交点的极限位置,是从极限的角度定义切线的. (2)与曲线有且只有一个交点的直线不一定是曲线的切线.反

之,曲线的切线与曲线的交点个数可能不只一个.如 y=1 与 y =sin x 有无数个交点,但 y=1 却是 y=sin x 的切线.

(3)若曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的导数不存在,但有切线, 则切线与 x 轴垂直. (4)显然 f′(x0)>0,切线的倾斜角为锐角;f′(x0)<0,切线倾斜角为 钝角;f′(x0)=0,切线与 x 轴平行或重合.

2.利用导数的几何意义求曲线上某点的切线方程的步骤 第一步:求出函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0); 第二步:根据直线的点斜式方程,得切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). π 注意:若在点(x0,f(x0))处切线 l 的倾斜角为 2 ,此时切线平行 于 y 轴,导数不存在,不能用上述方法求切线的方程,可根据 切线的定义直接得切线方程为 x=x0.

3.求切点的坐标

设切点坐标为(x0,y0),根据导数的几何意义,求出切线的斜率, 然后利用两直线平行,垂直等条件求出切点的坐标. 4.求切线的倾斜角 求出函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0),由导数的几何意义,得 f′(x0)=k=tan α ,(其中 α 为曲线 f(x)在(x0,f(x0)处的切线的倾

斜角)进而求出 α.特别地,若 f(x)在 x0 处的导数不存在,而 f(x) 在 x0 处的切线存在,则此切线的倾斜角为 90°.

题型一 曲线的切线方程
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点x=1处的切线方程.
f ( x0 ? Dx) ? f ( x0 ) 2 解 : k ? lim y = x +1 Dx ?0 Dx (1 ? Dx) 2 ? 1 ? (1 ? 1) ? lim Dx ? 0 Dx 2Dx ? ( Dx) 2 ? lim ? 2. Dx ? 0 Dx
y
Q

Dy

P
Dx

M

因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.

1 -1 O

j

x

1

求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出该点的坐标; ②利用该点切线的斜率等于函数在该点的导数; ③利用点斜式求切线方程.

求曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程,即点 P 的坐标既适合曲线方程,又适合切线方程,若点 P 处的切线斜 率为 f′(x0),则点 P 处的切线方程为 y=f′(x0)(x-x0)+f(x0);如 果曲线 y=f(x)在点 P 处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在), 可由切线定义确定切线方程为 x=x0.

1 3 8 y ? x 上一点 P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 3 3 ,求 : (1)在点P处的切线的斜率; (2)在点P处的切线方程.

1 1 3 3 ( x ? Dx ) ? x 1 3 Dy 3 解: (1) y ? x ,? y? ? lim ? lim 3 Dx ? 0 D x Dx ? 0 y 3 Dx 1 y? x 3 4 1 3 x 2 Dx ? 3 x ( Dx ) 2 ? ( Dx ) 3 ? lim 3 3 Dx ? 0 Dx 2 1 2 2 2 ? lim[3 x ? 3 xDx ? ( Dx ) ] ? x . 1 3 Dx ? 0

3

P
x

? y? |x?2 ? 22 ? 4.

-2 -1

即点P处的切线的斜率等于4.

O -1 -2

1

2

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

题型二 求切点坐标 【例 3】 拋物线 y=x2 在点 P 处的切线与直线 4x-y+2=0 平 行,求 P 点的坐标及切线方程. 审题指导 解答此类题目时, 所给的直线的倾斜角或斜率是解题 的关键,由这些信息得知函数在某点处的导数,进而可求此点 的横坐标.解题时同时注意解析几何知识的应用.如直线的倾 斜角与斜率的关系,平行、垂直等. 【解题流程】 设切点坐标P(x0,y0) → 求导函数y′=f′(x) → 由斜率k=4,求x0 → 求P点坐标(x0,y0) → 求切线方程

[规范解答] 设 P 点坐标为(x0,y0), y′= = = Δy = Δx (x+Δ x) -x (2 分) Δx
2 2 2

2x·Δ x+(Δ x) Δx

(2x+Δ x)=2x.(4 分)

∴y′|x=x0=2x0,(6 分) 又由切线与直线 4x-y+2=0 平行, ∴2x0=4,∴x0=2,(8 分)

∵P(2,y0)在拋物线 y=x2 上,∴y0=4, ∴点 P 的坐标为(2,4),(10 分) ∴切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0(12 分)

【题后反思】 解答此类问题的步骤为: (1)先设切点坐标(x0,y0); (2)求导数 f′(x); (3)求切线的斜率 f′(x0); (4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程,解方程求 x0; (5)点(x0,y0)在曲线 f(x)上,将(x0,y0)代入求 y0 得切点坐标. (6)得到切线方程 y-y0=f′(x0)(x-x0)

误区警示 【示例】 过曲线 y=x3 上点(1,1)的切线方程是________. [错解] 因为Δ y=f(1+Δ x)-f(1)=(1+Δ x)3-1= (Δ x)3+3(Δ x)2+3Δ x, Δ y (Δ x)3+3(Δ x)2+3Δ x 所以 = =(Δ x)2+3Δ x+3, Δx Δx Δy =3,即 f′(1)=3. Δx 所以所求切线的方程为 y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0.

求切线方程时, 一定要注意是求过某一点的切线方程 还是求在某点处的切线方程.前者可能会有多个结果,而后者 通常只有一个结果.例如,如图所示的图像,l1,l2,l3 都是过 点 P 的切线,其中 l3 是在点 P 处的切线.过曲线上一点的切线 和在某一点处的切线是两个不同的概念.

[正解]

3 设切线与曲线的切点为(x0,x0),

Δ y f(x0+Δ x)-f(x0) 则 = Δx Δx (Δ x) +3x0(Δ x) = Δx =(Δ x) +3x0Δ
2 2 x+3x0. 3 2 2 +3x0Δ

x

Δy 2 2 =3x0,即 f′(x0)=3x0. Δx

3 2 故切线方程为 y-x0=3x0(x-x0),而该切线过点(1,1),所以 1

1 3 2 -x0=3x0(1-x0),解得 x0=1 或 x0=- , 2 1 3?? 1?? 所以切线方程为 y-1=3(x-1)或 y+ = ?x+2?,即 3x-y-2 8 4? ? =0 或 3x-4y+1=0.

布置作业
P10-11 习题1.1 A组6题,B组3题


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