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2005矩阵论试卷及答案




页第



7,设 A ? ? ?

?1 3? ? , 则 2 A10 ? 5 A 9 ? A8 ? 2 A 7 ? A ? ? ?0 2?

?1 3? ? ?0 2? ?。 ? ?


课程编号:
一,

学期研究生课程考试试题
共 页第 页

? ? 1? ?0? ?1? ? 2? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? , , ? ? ? 二(10 分) ,已知:e1 ? ? e e e , 2 1 2 ? 2? ?0? ? 为 R 上的两组基,T 为 R 的线性 ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ?1? ?) ?? ?) ? ? 变换,且 T (e1 ? 0? ? ? 1? ? ,求 T 在基 e1 , e2 下的矩阵。 ?, T (e2 ? ? ? ? ? , e? ? ? ?1 ? ? ? , e2 ? ) ? (e1 , e2 ) P , P ? (e1 , e2 ) ?1 (e1 解答: A ? PBP ?1 , (e1 2 ) , B ? (e1 , e 2 ) T (e1 , e 2 )
?1 ? , e? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 A ? PBP ?1 ? (e1 , e2 ) ?1 (e1 2 ) (e1 , e 2 ) T (e1 , e 2 ) [(e1 , e 2 ) (e1 , e 2 )]

课程名称:

填空(每题 3 分,共 21 分) ?1 1 0 0 0 0? ? ? ?0 1 0 0 0 0? ?0 0 1 1 0 0? ? ,则 A 的最小多项式? (? ) ? (? ? 1) 3 (? ? 2) 。 1,设 A ? ? ?0 0 0 1 1 0? ?0 0 0 0 1 0? ? ? ?0 0 0 0 0 2? ? ?

? ? 1 0 ?? 1 2 ?? 0 ?1 ? ? ? ? ? ? = (e1 , e2 ) T (e1 , e2 ) (e1 , e2 ) (e1 , e2 ) = ? 1 1 ?? ?? 1 ? ?? 1 0 ? ?? 2 ? 2 2 ??
?1

1 ?? ? 1 0 ? 1 ?? ? ? ?? 1 2? ? 2 ??

2? ?1 0? ? ? 1 ? 2 ?? 1 ? ? ? ? ?? =? ? ? ? ? ?0 1 ?? ? 1 ? 1? ? ? 1 ? 1? ? ? ? 1 ?1 2 0 ? 三,(10 分)设 A ? ? ? ? 3 1 4 ? 2? ? ,求 N ( A) 的标准正交基。 ? ?
解答: N ( A) 为以下方程组的解空间:即:
x1 ? x 2 ? 2 x3 ? 0 ? 解得该方程的解空间的维数为 2,即 dim N ( A) ? 2 , ? ?? 3 x1 ? x 2 ? 4 x3 ? 2 x 4 ? 0

2,Hermite 二次型
f ( x1 , x 2 , x3 ) ? x1 x1 ? ix1 x3 ? (1 ? i ) x1 x3 ? ix 2 x1 ? x 2 x3 ? (1 ? i ) x3 x1 ? x3 x1 ? 2 x3 x3
i 1? i? ? 1 ? ? 的矩阵 A ? ? ? i 0 1 ? 。 ?1 ? i 1 2 ? ? ?

3,设 V

? { A A ? ? AT , A ? R n?n } ,是 R n?n 的子空间,则 dim V ?

n(n ? 1) 。 2

? ?1 1 0? ?1 1 0? ? ? ? ? 4,设 A ? ? ? 4 3 0 ? ,则 A 的若当标准型 J ? ? 0 1 0 ? 。 ? 1 0 2? ?0 0 2? ? ? ? ?

?1? ?0? ? ? ? ? ?1? ? 2? N ( A) 的一个基为: ? 1 ? ? ?, ? 2 ? ? ? ,将 ? 1 , ? 2 标准正交化, 0 1 ? ? ? ? ? ? 1? ? 3? ? ? ? ? ?1? ? ? ?1? ?1 ? ? 1 ? ? ?, 0 ? ? ? ? 1? ? ?
再将 ? 1 , ? 2 标准化得:

5,设 ? 1 ? ?1,2,1,0? , ? 2 ? ?? 1,1,1,1? , ? 1 ? ?2,?1,0,1? , ? 2 ? ?1,?1,3,7 ? ,
求 V1 ? Span? ? 1 ,? 2 ? 与 V2 ? Span?? 1 , ? 2 ? 则 dim(V1 ? V2 ) ? 1 。

?1 2 3 2 4 6? ? ? ?1 2? ? 1 2 3? ? 4 5 6 8 10 12 ? 6,设 A ? ? ?3 4? ?, B ? ? ? 4 5 6? ? ,则 A ? B ? ? 3 6 9 4 8 12 ? ? ? ? ? ? ? ?12 15 18 16 20 24 ? ? ?

?1? ? ? ?0? ? 1 ? ?3? ? ? ? ? (?1 , ? 2 ) ? 2? ?1? 1 ? ? 7 ? ?2 ? ?2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? , 1 3 0 ( ?1 , ?1 ) ? ? ? ? ?1? ? 3? ? ? 1? ? 8 ? ? ? ? ? ? ? ?3?



页第

页 设



页第



?1 ?

?1 ?1

? 3 ? ? ? ?1? ? 3 ? ? ? 1 ?1? ? 3 ? ?, ?? ? 0? ? 3 ? 3? ? ? ? 0 ? ? ? 1? ? ? ? 3? ?? ? ? 3 ?

? ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ? ?2 ? ? ? ? ?

1 ? ? 115 ? 7 ? 115 ? , ? 1 ? 115 ? 8 ? ? 115 ?

A ? TJT ?1 ,

T ? (t1 , t 2 , t 3 ) , 则 AT ? TJ ,
? 2 0 1 ?? t1 ? ? t1 ? ? ?? ? ? ? 即 ? 0 1 0 ?? t 2 ? ? ? t 2 ? , ? 2 0 3 ?? t ? ? t ? ? ?? 3 ? ? 3 ? ? t13 ? ? ? 4? t 23 ? ,解得: ?t ? ? 33 ?

? At1 ? t1 ? 于是有: ? At 2 ? t 2 , ? At ? 4t 3 ? 3

?1 , ? 2 为 N ( A) 的标准正交基。
四. (10 分)设 A 是一个半正定的 Hermite 阵且 A ? 0 , B 是一个正定的 Hermite 阵, 证明: A ? B ? B 。

? 2 0 1 ?? t13 ? ?0? ?1? ? ? ? ?? ? ? ? 取 t1 ? ? 0 ? , t 2 ? ? 1 ? ,由 At 3 ? 4t 3 ,即 ? 0 1 0 ?? t 23 ? ? ? 2 0 3 ?? t ? ?0? ? ? 1? ? ? ? ?? 33 ? ? ?

解答:由于 B 是一个正定的 H-阵,
这样有
H

所以存在可逆矩阵 Q 使得: B ? Q H Q
H

1? ?2 0 ? ? ? ?1? ? 1 0 1? 3? ? ? ? ? ?3 t 3 ? ? 0 ? , 取 T ? ? 0 1 0 ? ,求出 T ?1 ? ? 0 1 0 ? ? 2? ? ?1 0 2? ?1 0 1 ? ? ? ? ? ?3 3 ? ? ? 1? ? 2 0 ? ? ? ? 1 0 ?? 2 1? 3? ? ? 0 ? ? ? 3 0 1 0 ? 取 E1 ? ? 0 1 ?? 3 3? ? ?, ? 2 1 ? ? 1 0 ?? 0 1 0 ? ? ? ? ? ? ? 3 0 3 ? ? ? ?1 ? ?1? ? ?? 1 1? ? 3 E2 ? ? 0 ?? 0 ?? 0 3? ? ? 2 ?? 3 ?2 ? ? ?3 ? 0 0 0 1? ? 3? 0 ? ,则 A 的谱分解为 A ? E1 ? 4 E 2 2? 3? ?

A? B ? A?Q Q ? Q ? B (Q H ) ?1 AQ ?1 ? I

(Q ) AQ ? I Q

H ?1

?1

设 ?1 , ?2 ,? , ?n 为 A 的全部特征值,由于 A 是半正定的, 所以 ?i ? 0 . 于是有
A ? I ? (1 ? ?1 )(1 ? ?2 )? (1 ? ?n ) ? 1

注意矩阵

(Q ) AQ
仍然是一个半正定的 H-阵, 从而
H ?1

H ?1

?1

则 I ? (Q ) AQ
?1

H ?1

?1

?1

六.(10 分)证明 tr ( B H A H AB )

?

?

1 2

? min A

?

2

B

m2

, A
1 2

m2

B

2

?。

A ? B ? B (Q ) AQ ? I ? B

解答:设 AB ? C (cij ), 则有 tr B H A H AB 又设 B ? (b1 , b2 , ?bn ) ,则:

?

?

1 2

? tr ?C H C ?

? n n ?? ? ?? cij ? i ?1 j ?1

1 2

?2 ? ? C ? ?

1

m2

? AB

m2

?2 0 1? ? 五.(10 分)求 A ? ? ?0 1 0? 的谱分解。 ? ? 2 0 3? ?

AB

2 m2

? ( Ab1 , Ab2 ,? Abn

2 2

? ? Abi
i ?1

n

2 2

? ? A 2 bi
2 i ?1

n

2 2

? A

2 2

?b
i ?1

n

2 i 2

? A

2 2

B

2 m2

0 0 0 ?1 ? ?1 ?? ? 2 ? ? ? ? ? 0 ? ? ?0 ? ?1 0 ? ?1 解答: (?I ? A) ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? 3? 0 (? ? 1)(? ? 4) ? ? ?2 ? ?0 ?
?1 0 0? ? ? 由此知: A 的初等因子为 (? ? 1), (? ? 1), (? ? 4) , A 的若当标准型为: J ? ? 0 1 0 ? ?0 0 4? ? ?

故有: tr ( B H A H AB)
AB ? ( AB )
H m2 1

?

?

1 2

? AB
H 2

m2

? A

2

B

m

。又由于:
H 1 2

m2

? B

A

H m2

? max ?i ( BB ) A m ? B
2

2

Am

2

再由 tr ?B H A H AB ?2 ? AB

m2

,既命题得证。

共 七.(10 分)设 A ? F n?n ,为常矩阵, x ? F n 为 n 元变量,求
d (e x Ax ) ? ? (e x Ax ) ? (e x Ax ) ? (e x Ax ) ? ?? , , ?? , ? ? ? dx x x x ? ? ? 1 2 n ? ?
T T T T

页第

页 解法二: | ?E ? A |? (? ? 2) 3 , 令 r ( z ) ? a 0 ? a1 z ? a 2 z 2 由 cos(? A) ? r (? A) ,可得:
?a 0 ? 2a1 ? 4a 2 ? cos 2 ? ? a1 ? 4a 2 ? ? sin 2 ? 2a 2 ? ? cos 2 ?



页第



d (e x Ax ) 。 dx

T

T

解答:

=e

xT Ax

T T ? ?x T Ax ?x T Ax ?x T Ax ? xT Ax dx Ax ? e x Ax ( A ? AT ) x , , ??, ? =e ? ?x n ? dx ?x 2 ? ?x1

T

? ? 4 2 10 ? ? ? 八.(10 分)设 A ? ? ? 4 3 7 ? 求 cos A 。 ??3 1 7 ? ? ? ? 2 1 0? ? ? 解法一:由于 | ?E ? A |? (? ? 2) , A 的 Jordan 标准型为 J ? ? 0 2 1 ? , ? 0 0 2? ? ?
3

解得 a 0 ? ? cos 2 ? 2 sin 2, a1 ? ? sin 2 ? 2 cos 2, a 2 ? ?

cos 2 。因此 2 cos 2 2 cos A ? (? cos 2 ? 2 sin 2) E ? (? sin 2 ? 2 cos 2) A ? A 2
? 2 sin 2 ? 2 cos 2 ? 10 sin 2 ? ? 2 cos 2 ? 6 sin 2 ? ? ? ? 0.5 cos 2 ? 4 sin 2 cos 2 ? sin 2 ? cos 2 ? 7 sin 2 ? 。 ? 0.5 cos 2 ? 3 sin 2 ? ? sin 2 ? 5 sin 2 ? ?

利用 AP ? PJ 可求得相应的相似变换阵 P 为

?2 0 1 ? ? ? ? 1 1 ? 2 ? 。而 ?1 0 1 ? ? ?

九. (5 分)设 A ? C n?n ,若 rankA ? rankA 2 ? r ? 0 ,则存在可逆矩阵 P ? C n?n ,可逆阵

cos 2 ? ? ? cos 2 ? sin 2 ? ? 2 ? ? cos J ? ? 0 cos 2 ? sin 2 ? 因此 ? 0 0 cos 2 ? ? ? ? ?
cos 2 ? ?1 ?2 0 1 ? ? 2 0 1 ? ? ? ? cos 2 ? sin 2 ? 2 ? ? ? ?? = ?1 1 ? 2? ? 0 cos 2 ? sin 2 ? ? 1 1 ? 2 ? ? ?1 0 1 ? ?1 0 1 ? ? ?? 0 0 cos 2 ? ? ? ?? ? ?

? C 0 ? ?1 C ? C r?r ,使得: A ? P? ? 0 0? ?P 。 ? ?
解答:设 A 的若当标准型分解为 A ? TJT ?1 ,
? J1 其中 J ? ? ?0 ? 0? ? , T 可逆 J2 ? ?

( J 1 为非零特征值对应的各若当块组成的矩阵, J 2 为零特征值对应的) ,由于

cos A ? P(cos J ) P

?1

rankA ? rankA 2 ? r 知 rankJ 1 ? rankJ 1
2

rankJ ? rankJ 2 , 从而:
, rankJ 2 ? rankJ 2
2

2

?2 0 1 ? ? ? = ?1 1 ? 2? ?1 0 1 ? ? ?

cos 2 ? ? ? cos 2 ? sin 2 ? ? ? 1 0 ? 1? 2 ?? ? ? sin 2 0 cos 2 ? ? 3 1 5 ? ? ? ? ? ? ? 0 0 cos 2 ? ? ? ? ?1 0 2 ? ? ?


由 rankJ 2 ? rankJ 2 知, J 2 必由一类一阶子块组成,故 J 2 ? O( n ? r )?( n ? r ) 而 rankJ 1 ? r , 取 P ? T , C ? J 1 则可得题中结果

? 2 sin 2 ? 2 cos 2 ? 10 sin 2 ? ? 2 cos 2 ? 6 sin 2 ? ? ? ? 0.5 cos 2 ? 4 sin 2 cos 2 ? sin 2 ? cos 2 ? 7 sin 2 ? ? 0.5 cos 2 ? 3 sin 2 ? ? sin 2 ? 5 sin 2 ? ?



页第





页第



十. (4 分)若 A 2 ? A ? F n?n ,则称 A 为幂等阵,试证明与 F n?n 中所有幂等阵可交换的矩 阵是单位阵。 解答:设 Eij 为第 i 行第 j 列元素为 1,其它为零的矩阵,则易知

Eii (i ? 1,2,? n), E ji ? Eij (i ? 1,2,? n, j ? 1,2,?, n, j ? i ) 都是幂等阵,且他们线性无关,
又由于 Eii

E ji ? Eij 有 n 2 个矩阵,它们是 F n?n 的一个基。即任意 F n?n 中的矩阵都可

由 Eii , E ji ? Eij ,所以,若有 B ? F n?n 可与所有幂等阵交换,则 B 可与任一 F n?n 中矩阵交 换,从而,必有 B ? I ,由 B 的任意性即得题中结论。


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