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【配套K12】2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.3直线平面平行的判定与性质教师

小初高试卷教案类

第八章 立体几何与空间向量 8.3 直线、平面平行的判定与性质教师 用书 理 苏教版

1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 如果平面外一条直线和这个平面内 判定 定理 的一条直线平行,那么这条直线和这 个平面平行(简记为“线线平行? 线 面平行”) 如果一条直线和一个平面平行,经过 性质 定理 这条直线的平面与这个平面相交,那 么这条直线就和交线平行 ( 简记 为 “线面平行? 线线平行”) ∵l∥α , l ? β , α ∩β =b,∴l∥b ∵l∥a , a ? α , l ? α ,∴l∥α 图形语言 符号语言

2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 如果一个平面内有两条相交 判定 定理 直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行 ( 简记 为“线面平行? 面面平 行”) 性质 定理 如果两个平行平面同时和第 三个平面相交,那么所得的 两条交线平行 ∵α ∥β ,α ∩γ =a, β ∩γ =b,∴a∥b ∵a∥β ,b∥β ,a∩b =P,a? α ,b? α , ∴α ∥β 图形语言 符号语言

【知识拓展】 重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 a⊥α ,a⊥β ,则 α ∥β ; (2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b; K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 (3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若 α ∥β ,β ∥γ ,则 α ∥γ .

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( × ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( × (4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( √ (5)若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行,则 a∥α .( × ) (6)若 α ∥β ,直线 a∥α ,则 a∥β .( × ) × ) ) )

1.(教材改编)下列命题中不正确的有________. ①若 a,b 是两条直线,且 a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何平面; ②若直线 a 和平面 α 满足 a∥α ,那么 a 与 α 内的任何直线平行; ③平行于同一条直线的两个平面平行; ④若直线 a,b 和平面 α 满足 a∥b,a∥α ,b?α ,则 b∥α . 答案 ①②③ 解析 ①中,a 可以在过 b 的平面内;②中,a 与 α 内的直线可能异面;③中,两平面可相 交;④中,由直线与平面平行的判定定理知,b∥α ,正确. 2.设 l,m 为直线,α ,β 为平面,且 l? α ,m? β ,则“l∩m=?”是“α ∥β ”的_______ 条件. 答案 必要不充分 解析 当平面与平面平行时, 两个平面内的直线没有交点, 故“l∩m=?”是“α ∥β ”的必 要条件;当两个平面内的直线没有交点时,两个平面可以相交,∴l∩m=?是 α ∥β 的必要 不充分条件. 3.(2016·盐城模拟)下列命题中,正确的序号为________. ①平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②平行于同一个平面的两个平面平行; ③若两个平面平行,则位于这两个平面内的直线也互相平行; ④若两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面. 答案 ①②④ 解析 由面面平行的判定定理和性质知①②④正确.对于③, 位于两个平行平面内的直线也可 能异面.

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小初高试卷教案类 4.(教材改编)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD1 的中点,则 BD1 与平面 ACE 的位置关 系为________.

答案 平行 解析 连结 BD,设 BD∩AC=O,连结 EO,在△BDD1 中,O 为 BD 的中点,所以 EO 为△BDD1 的 中位线,

则 BD1∥EO,而 BD1?平面 ACE,EO? 平面 ACE, 所以 BD1∥平面 ACE. 5.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截面,则四边形 EFGH 的形状为 ________.

答案 平行四边形 解析 ∵平面 ABFE∥平面 DCGH, 又平面 EFGH∩平面 ABFE=EF,平面 EFGH∩平面 DCGH=HG, ∴EF∥HG.同理 EH∥FG, ∴四边形 EFGH 的形状是平行四边形.

题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点 1 直线与平面平行的判定

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小初高试卷教案类 1 例 1 如图,四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,AB=BC= AD,E,F,H 分别为线段 AD,PC,CD 2 的中点,AC 与 BE 交于 O 点,G 是线段 OF 上一点.

(1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:GH∥平面 PAD. 证明 (1)连结 EC,

1 ∵AD∥BC,BC= AD, 2 ∴BC 綊 AE, ∴四边形 ABCE 是平行四边形, ∴O 为 AC 的中点. 又∵F 是 PC 的中点,∴FO∥AP,

FO? 平面 BEF,AP?平面 BEF,
∴AP∥平面 BEF. (2)连结 FH,OH, ∵F,H 分别是 PC,CD 的中点, ∴FH∥PD,∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 BE 的中点,H 是 CD 的中点, ∴OH∥AD,∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH=H,∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH? 平面 OHF,∴GH∥平面 PAD. 命题点 2 直线与平面平行的性质 例2 (2017·镇江月考)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 8 的正方形,四条侧棱长均

为 2 17.点 G,E,F,H 分别是棱 PB,AB,CD,PC 上共面的四点,平面 GEFH⊥平面 ABCD,

BC∥平面 GEFH.

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(1)证明:GH∥EF; (2)若 EB=2,求四边形 GEFH 的面积. (1)证明 因为 BC∥平面 GEFH,BC? 平面 PBC, 且平面 PBC∩平面 GEFH=GH, 所以 GH∥BC. 同理可证 EF∥BC,因此 GH∥EF. (2)解 如图,连结 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连结 OP,GK.

因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO⊥AC, 同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC=O,且 AC,BD 都在底面内, 所以 PO⊥底面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD, 且 PO?平面 GEFH,所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH=GK, 所以 PO∥GK,且 GK⊥底面 ABCD, 从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高. 由 AB=8,EB=2 得 EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 1 1 从而 KB= DB= OB,即 K 为 OB 的中点. 4 2 1 再由 PO∥GK 得 GK= PO, 2 1 即 G 是 PB 的中点,且 GH= BC=4. 2 由已知可得 OB=4 2,

PO= PB2-OB2= 68-32=6,
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小初高试卷教案类 所以 GK=3. 故四边形 GEFH 的面积 S= = 4+8 ×3=18. 2

GH+EF
2

·GK

思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(a?α ,b? α ,a∥b? a∥α ); (3)利用面面平行的性质定理(α ∥β ,a? α ? a∥β ); (4)利用面面平行的性质(α ∥β ,a?α ,a?β ,a∥α ? a∥β ). 如图所示,CD,AB 均与平面 EFGH 平行,E,F,G,H 分别在 BD,BC,AC,AD 上, 且 CD⊥AB.求证:四边形 EFGH 是矩形.

证明 ∵CD∥平面 EFGH, 而平面 EFGH∩平面 BCD=EF, ∴CD∥EF. 同理 HG∥CD,∴EF∥HG. 同理 HE∥GF, ∴四边形 EFGH 为平行四边形. ∴CD∥EF,HE∥AB, ∴∠HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的角. 又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF. ∴平行四边形 EFGH 为矩形.

题型二 平面与平面平行的判定与性质 例 3 (2016·镇江模拟)如图所示, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, E, F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,

A1C1 的中点,求证:

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小初高试卷教案类 (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明 (1)∵G,H 分别是 A1B1,A1C1 的中点, ∴GH 是△A1B1C1 的中位线, ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC, ∴B,C,H,G 四点共面. (2)∵E,F 分别是 AB,AC 的中点, ∴EF∥BC. ∵EF?平面 BCHG,BC? 平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綊 EB, ∴四边形 A1EBG 是平行四边形, ∴A1E∥GB. ∵A1E?平面 BCHG,GB? 平面 BCHG, ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E, ∴平面 EFA1∥平面 BCHG. 引申探究 1.在本例条件下,若 D 为 BC1 的中点,求证:HD∥平面 A1B1BA. 证明 如图所示,连结 HD,A1B,

∵D 为 BC1 的中点,H 为 A1C1 的中点, ∴HD∥A1B, 又 HD?平面 A1B1BA,

A1B? 平面 A1B1BA,
∴HD∥平面 A1B1BA. 2.在本例条件下,若 D1,D 分别为 B1C1,BC 的中点,求证:平面 A1BD1∥平面 AC1D. 证明 如图所示,连结 A1C 交 AC1 于点 M,

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∵四边形 A1ACC1 是平行四边形, ∴M 是 A1C 的中点,连结 MD, ∵D 为 BC 的中点, ∴A1B∥DM. ∵A1B? 平面 A1BD1,

DM?平面 A1BD1,
∴DM∥平面 A1BD1. 又由三棱柱的性质知,D1C1 綊 BD, ∴四边形 BDC1D1 为平行四边形, ∴DC1∥BD1. 又 DC1?平面 A1BD1,BD1? 平面 A1BD1, ∴DC1∥平面 A1BD1, 又∵DC1∩DM=D,DC1,DM? 平面 AC1D, ∴平面 A1BD1∥平面 AC1D. 思维升华 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个 平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化. 如图所示,四边形 ABCD 与四边形 ADEF 都为平行四边形,M,N,G 分别是 AB,

AD,EF 的中点.求证:

(1)BE∥平面 DMF; (2)平面 BDE∥平面 MNG.

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小初高试卷教案类 证明 (1)如图所示,连结 AE,设 DF 与 GN 交于点 O,连结 AE,则 AE 必过 O 点,

连结 MO,则 MO 为△ABE 的中位线, 所以 BE∥MO. 因为 BE?平面 DMF,MO? 平面 DMF, 所以 BE∥平面 DMF. (2)因为 N,G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD,EF 的中点, 所以 DE∥GN. 因为 DE?平面 MNG,GN? 平面 MNG, 所以 DE∥平面 MNG. 因为 M 为 AB 的中点, 所以 MN 为△ABD 的中位线, 所以 BD∥MN. 因为 BD?平面 MNG,MN? 平面 MNG, 所以 BD∥平面 MNG. 因为 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线, 所以平面 BDE∥平面 MNG.

题型三 平行关系的综合应用 例 4 (2016·盐城模拟)如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上是否存在一点 E, 使 DE∥平面 AB1C1?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.

解 方法一 存在点 E,且 E 为 AB 的中点时,DE∥平面 AB1C1. 下面给出证明:

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小初高试卷教案类 如图,取 BB1 的中点 F,连结 DF, 则 DF∥B1C1, ∵AB 的中点为 E,连结 EF,ED, 则 EF∥AB1,B1C1∩AB1=B1, ∴平面 DEF∥平面 AB1C1. 而 DE? 平面 DEF, ∴DE∥平面 AB1C1. 方法二 假设在棱 AB 上存在点 E, 使得 DE∥平面 AB1C1,

如图,取 BB1 的中点 F,连结 DF,EF,ED,则 DF∥B1C1, 又 DF?平面 AB1C1,B1C1? 平面 AB1C1, ∴DF∥平面 AB1C1, 又 DE∥平面 AB1C1,DE∩DF=D, ∴平面 DEF∥平面 AB1C1, ∵EF? 平面 DEF,∴EF∥平面 AB1C1, 又∵EF? 平面 ABB1,平面 ABB1∩平面 AB1C1=AB1, ∴EF∥AB1, ∵点 F 是 BB1 的中点,∴点 E 是 AB 的中点. 即当点 E 是 AB 的中点时,DE∥平面 AB1C1. 思维升华 利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常 用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决. (2016·南京模拟)如图所示, 在四面体 ABCD 中, 截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD, 试问截面在什么位置时其截面面积最大?

解 ∵AB∥平面 EFGH, 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG,EH.

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小初高试卷教案类 ∴AB∥FG,AB∥EH, ∴FG∥EH,同理可证 EF∥GH, ∴截面 EFGH 是平行四边形. 设 AB=a,CD=b,∠FGH=α (α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角). 又设 FG=x,GH=y,则由平面几何知识可得 =

x CG , a BC

y BG x y b = ,两式相加得 + =1,即 y= (a-x), b BC a b a
∴S?EFGH=FG·GH·sin α =x· ·(a-x)·sin α =

b a

bsin α x(a-x). a

∵x>0,a-x>0 且 x+(a-x)=a 为定值, ∴

bsin α absin α x(a-x)≤ ,当且仅当 x=a-x 时等号成立. a 4 a b

此时 x= ,y= . 2 2 即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 分别为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时截面面积最大.

5.立体几何中的探索性问题

典例 (14 分)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,已知底面 ABCD 为直角梯形,其中 AD∥BC,∠BAD 2 =90°,SA⊥底面 ABCD,SA=AB=BC=2,tan∠SDA= . 3

(1)求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2)在棱 SD 上找一点 E,使 CE∥平面 SAB,并证明. 规范解答 2 解 (1)∵SA⊥底面 ABCD,tan∠SDA= ,SA=2, 3 ∴AD=3. K12 小学初中高中 [2 分]

小初高试卷教案类 由题意知四棱锥 S-ABCD 的底面为直角梯形,且 SA=AB=BC=2,

VS-ABCD= ·SA· ·(BC+AD)·AB
1 1 10 = ×2× ×(2+3)×2= . 3 2 3 (2)当点 E 位于棱 SD 上靠近 D 的三等分点处时,可使 CE∥平面 SAB. [6 分] [8 分]

1 3

1 2

证明如下: 取 SD 上靠近 D 的三等分点为 E,取 SA 上靠近 A 的三等分点为 F,连结 CE,EF,BF, 2 2 则 EF 綊 AD,BC 綊 AD, 3 3 ∴BC 綊 EF,∴CE∥BF. 又∵BF? 平面 SAB,CE?平面 SAB, ∴CE∥平面 SAB. [14 分] [12 分]

解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步:写出探求的最后结论; 第二步:证明探求结论的正确性; 第三步:给出明确答案; 第四步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.

1.(2016·南通模拟)有下列命题: ①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则直线 l∥α ; ②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α ; ③若直线 a∥b,b∥α ,则 a∥α ; ④若直线 a∥b,b∥α ,则 a 平行于平面 α 内的无数条直线. 其中真命题的个数是________.

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小初高试卷教案类 答案 1 解析 命题①,l 可以在平面 α 内,不正确;命题②,直线 a 与平面 α 可以是相交关系, 不正确;命题③,a 可以在平面 α 内,不正确;命题④正确. 2.(2016·苏北四校联考)如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形 ABCD 是正方形,E,F 分别为 PA,PD 的中点.在此几何体中,给出下列四个结论:

①直线 BE 与直线 CF 是异面直线; ②直线 BE 与直线 AF 是异面直线; ③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD. 其中正确结论的序号为________. 答案 ②③ 1 1 解析 因为 EF 綊 AD,AD 綊 BC,所以 EF 綊 BC,所以 E,B,C,F 四点共面,所以 BE 与 CF 2 2 共面,所以①错误;因为 AF? 平面 PAD,E∈平面 PAD,E?直线 AF,B?平面 PAD,所以 BE 与

AF 是异面直线, 所以②正确; 因为 EF∥BC, EF?平面 PBC,BC? 平面 PBC,所以 EF∥平面 PBC,
所以③正确;由于不能推出线面垂直,故平面 BCE⊥平面 PAD 不成立,所以④错误. 3.对于空间中的两条直线 m,n 和一个平面 α ,下列命题中的真命题是________. ①若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n; ②若 m∥α ,n? α ,则 m∥n; ③若 m∥α ,n⊥α ,则 m∥n; ④若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n. 答案 ④ 解析 对①,直线 m,n 可能平行、异面或相交,故①错误;对②,直线 m 与 n 可能平行,也 可能异面,故②错误;对③,m 与 n 垂直而非平行,故③错误;对④,垂直于同一平面的两 直线平行,故④正确. 4.(2016·南京、徐州、连云港联考)设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面, 则下列正确命题的序号是________. ①若 m∥n,m⊥β ,则 n⊥β ; ②若 m∥n,m∥β ,则 n∥β ; ③若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β ; K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 ④若 n⊥α ,n⊥β ,则 α ⊥β . 答案 ① 解析 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这一平面,①正确; 若 m∥n,m∥β ,则 n∥β 或 n? β ,②不正确;若 m∥α ,m∥β ,则 α ,β 可能平行也可 能相交,③不正确;若 n⊥α ,n⊥β ,则 α ∥β ,④不正确. 5.如图, L, M, N 分别为正方体对应棱的中点, 则平面 LMN 与平面 PQR 的位置关系是________.

答案 平行 解析 如图,分别取另三条棱的中点 A,B,C,将平面 LMN 延展为平面正六边形 AMBNCL,因 为 PQ∥AL,PR∥AM,且 PQ 与 PR 相交,AL 与 AM 相交,所以平面 PQR∥平面 AMBNCL,即平面

LMN∥平面 PQR.

6.(2016·全国甲卷)α ,β 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果 m⊥n,m⊥α ,n∥β ,那么 α ⊥β ; ②如果 m⊥α ,n∥α ,那么 m⊥n; ③如果 α ∥β ,m? α ,那么 m∥β ; ④如果 m∥n,α ∥β ,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等. 其中正确的命题有________. 答案 ②③④ 解析 当 m⊥n,m⊥α ,n∥β 时,两个平面的位置关系不确定,故①错误,经判断知②③④ 均正确,故正确答案为②③④. 7.设 α ,β ,γ 是三个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,在命题“α ∩β =m,n? γ , 且________,则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ①α ∥γ ,n? β ;②m∥γ ,n∥β ;③n∥β ,m? γ . 可以填入的条件有________. 答案 ①或③ 解析 由面面平行的性质定理可知,①正确;当 n∥β ,m? γ 时,n 和 m 在同一平面内,且 没有公共点,所以平行,③正确. K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 8.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点, 则点 Q 满足条件________时,有平面 D1BQ∥平面 PAO. 答案 Q 为 CC1 的中点 解析 假设 Q 为 CC1 的中点.

因为 P 为 DD1 的中点, 所以 QB∥PA. 连结 DB,因为 O 是底面 ABCD 的中心, 所以 D1B∥PO, 又 D1B?平面 PAO,QB?平面 PAO,且 PA∩PO 于 P, 所以 D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, 又 D1B∩QB 于 B,所以平面 D1BQ∥平面 PAO. 故点 Q 满足条件,Q 为 CC1 的中点时,有平面 D1BQ∥平面 PAO. 9.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命 题称为“可换命题”.给出下列四个命题: ①垂直于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③平行于同一直线的两 直线平行;④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是______.(填命题的序 号) 答案 ①③ 解析 由线面垂直的性质定理可知①是真命题, 且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题, 故①是“可换命题”;因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交,所以②是假命题,不 是“可换命题”;由公理 4 可知③是真命题,且平行于同一平面的两平面平行也是真命题, 故③是“可换命题”;因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面,故④是假命 题,故④不是“可换命题”. 10.空间四边形 ABCD 的两条对棱 AC、BD 的长分别为 5 和 4,则平行于两条对棱的截面四边形

EFGH 在平移过程中,周长的取值范围是________.

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小初高试卷教案类 答案 (8,10) 解析 设 =

DH GH AH EH =k,∴ = =1-k, DA AC DA BD

∴GH=5k,EH=4(1-k),∴周长=8+2k. 又∵0<k<1,∴周长的取值范围为(8,10). *11.在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长为 6 的正三角形,SA=SB=SC=15,平面 DEFH 分别 与 AB,BC,SC,SA 交于点 D,E,F,H.D,E 分别是 AB,BC 的中点,如果直线 SB∥平面 DEFH, 那么四边形 DEFH 的面积为________. 答案 45 2

解析 如图,取 AC 的中点 G,

连结 SG,BG. 易知 SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G, 故 AC⊥平面 SGB, 所以 AC⊥SB. 因为 SB∥平面 DEFH,SB? 平面 SAB,平面 SAB∩平面 DEFH=HD, 则 SB∥HD. 同理 SB∥FE. 又 D,E 分别为 AB,BC 的中点, 则 H,F 也为 AS,SC 的中点, 1 从而得 HF 綊 AC 綊 DE, 2 所以四边形 DEFH 为平行四边形. 又 AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC, 所以 DE⊥HD, 所以四边形 DEFH 为矩形, 1 1 45 其面积 S=HF·HD=( AC)·( SB)= . 2 2 2 12.如图,E、F、G、H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点.求证:

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(1)EG∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H. 证明 (1)取 B1D1 的中点 O,连结 GO,OB, 1 1 ∵OG 綊 B1C1,BE 綊 BC, 2 2 ∴OG 綊 BE, ∴四边形 BEGO 为平行四边形,故 OB∥EG, 又 EG?平面 BB1D1D,OB? 平面 BB1D1D, ∴EG∥平面 BB1D1D. (2)由题意可知 BD∥B1D1.

如图,连结 HB、D1F, 易证四边形 HBFD1 是平行四边形,故 HD1∥BF. 又 B1D1∩HD1=D1,

BD∩BF=B,
所以平面 BDF∥平面 B1D1H. 13.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,BC=PD=2,E 为 PC 的 中点,CB=3CG.

(1)求证:PC⊥BC; (2)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 MEG?若存在,求 AM 的长;若不存在,请说明理 由. (1)证明 因为 PD⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD, 所以 PD⊥BC. K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 因为四边形 ABCD 是正方形,所以 BC⊥CD. 又 PD∩CD=D,所以 BC⊥平面 PCD. 因为 PC? 平面 PDC,所以 PC⊥BC. (2)解 连结 AC,BD 交于点 O,连结 EO,GO,

延长 GO 交 AD 于点 M,连结 EM,则 PA∥平面 MEG. 证明如下:因为 E 为 PC 的中点,O 是 AC 的中点, 所以 EO∥PA. 因为 EO? 平面 MEG,PA?平面 MEG, 所以 PA∥平面 MEG. 2 因为△OCG≌△OAM,所以 AM=CG= , 3 2 所以 AM 的长为 . 3 *14.(2016·南通模拟)如图所示,斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D,D1 分别为 AC,A1C1 上的点.

(1)当

A1D1 等于何值时,BC1∥平面 AB1D1? D1C1 AD DC

(2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1,求 的值. 解 (1)如图所示,取 D1 为线段 A1C1 的中点,此时

A1D1 =1. D1C1

连结 A1B,交 AB1 于点 O,连结 OD1.

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小初高试卷教案类 由棱柱的性质知,四边形 A1ABB1 为平行四边形, ∴点 O 为 A1B 的中点. 在△A1BC1 中,点 O,D1 分别为 A1B,A1C1 的中点, ∴OD1∥BC1. 又∵OD1? 平面 AB1D1,BC1?平面 AB1D1, ∴BC1∥平面 AB1D1. ∴当

A1D1 =1 时,BC1∥平面 AB1D1. D1C1

(2)由平面 BC1D∥平面 AB1D1, 且平面 A1BC1∩平面 BC1D=BC1, 平面 A1BC1∩平面 AB1D1=D1O, 得 BC1∥D1O,同理 AD1∥DC1, ∴

A1D1 A1O A1D1 DC = , = , D1C1 OB D1C1 AD A1O DC AD =1,∴ =1,即 =1. OB AD DC

又∵

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