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2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案:1.5.1 二项式定理 Word版缺答案

1.5.1 二项式定理 [对应学生用书P19] 问题 1:我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导(a+b)3,(a+ b)4 的展开式. 提示:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 问题 2:上述两个等式的右侧有何特点? 提示:展开式中的项数是 n+1 项,每一项的次数为 n. 问题 3:你能用组合的观点说明(a+b)4 是如何展开的吗? 提示:因(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).由多项式乘法法则知,从四个 a+b 中选 a 1 1 3 或选 b 是任意的.若有一个选 b,则其余三个都选 a,其方法有 C4 种,式子为 C4 a b;若有 2 2 2 两个选 b,则其余两个选 a,其方法有 C2 4种,式子为 C4a b . 问题 4:能用类比方法写出(a+b)n(n∈N*)的展开式吗? n 1 n-1 n 提示:能,(a+b)n=C0 b+…+Cn na +Cna nb . 1.二项式定理 n 1 n 1 n r r n * 公式(a+b)n=C0 b+…+Cr b +…+Cn na +Cna na nb (n∈N ),叫做二项式定理,右边 - - 的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式,它一共有 n+1 项. 2.二项展开式的通项 n r r n r r Cr b 叫做二项展开式的第 r+1 项(也称通项),用 Tr+1 表示,即 Tr+1=Cr b. na na - - 3.二项式系数 Cr n(r=0,1,2,…,n)叫做第 r+1 项的二项式系数. 1.(a+b)n 中,n∈N*,a,b 为任意实数. 2.二项展开式中各项之间用“+”连接. 1 r n 3.二项式系数依次为组合数 C0 n,Cn,…,Cn,…,Cn. 4.(a+b)n 的二项展开式中,字母 a 的幂指数按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐 次减 1 直到 0;字母 b 的幂指数按升幂排列,从第一项开始,次数由 0 逐次加 1 直到 n. [对应学生用书P19] 二项式的展开 [例 1] 求下列各式的展开式: 3 2x- 2?5. (1)(a+2b)4;(2)? 2x ? ? [思路点拨] 可直接利用二项式定理展开,对于(2)也可以先化简再展开. [精解详析] (1)根据二项式定理 n 1 n 1 n r r n (a+b)n=C0 b+…+Cr b +…+Cn na +Cna na nb , - - 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 得(a+2b)4=C0 4a +C4a 2b+C4a (2b) +C4a(2b) +C4(2b) =a4+8a3b+24a2b2+32ab3+16b4. 3 ?5 3? 0 5 1 4? (2)法一:? ?2x-2x2? =C5(2x) +C5(2x) ?-2x2?+ 3 ?2 3 ?3 2 3 2? 4 ?- 3 2?4+C5 ? 3 ?5 C5 (2x)3? 5 -2x2 ?-2x2? +C5(2x) ?-2x2? +C5(2x)· ? 2x ? ? ? 180 135 405 243 =32x5-120x2+ - 4 + 7 - 10. x x 8x 32x 3 ?4x3-3?5 1 3 5 2x- 2?5= 法二:? = 10[C0 5(4x ) + 2x ? ? 32x10 32x 1 3 C5 (4x3)4· (-3)+…+C4 (-3)4+C5 (-3)5] 5(4x )· 5· = 1 (1 024x15-3 840x12+5 760x9-4 320x6+1 620x3-243) 32x10 180 135 405 243 =32x5-120x2+ - 4 + 7 - 10. x x 8x 32x [一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式 的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.含负号的二项展开式形如(a-b)n 的展开 式中会出现正负间隔的情况. 1.写出(1+2x)4 的展开式. 4 0 1 3 1 2 2 2 3 1 3 4 解 : (1 + 2x)4 = C 0 4 ×1 ×(2x) + C 4 ×1 ×(2x) + C 4 ×1 ×(2x) + C 4 ×1 ×(2x) + C 4 ×10×(2x)4 =1+8x+24x2+32x3+16x4. 2.求? x- ? 1 ?4 的展开式. 2 x? 解:法一:? x- ? 1 ?4 ? 1 ? 2-C 3 x· ? 1 ? 3+C 4 4 1 3 1 2 =C0 + C4 ( x )2· 4 ( x) - C 4 ( x) · 4 4 2 x? 2 x ? ? ?2 x? 2 x ? 1 ?4=x2-2x+3- 1 + 1 2. 2 2x 16x ?2 x? 法二:? x- ? 1 ?4 ?2x-1?4 1 =? = 2(2x-1)4 ? 2 x? ? 2 x ? 16x = 1 (16x4-32x3+24x2-8x+1) 16x2 3 1 1 =x2-2x+ - + 2. 2 2x 16x 求二项展开式的特定项 1 ?10 2 [例 2] 已知二项式?x + . 2 x? ? (1)求展开式中的第 5 项; (2)求展开式中的常数项. [思路点拨] (1)直接利用通项公式求解; 1 ? 2 n-r r? (2)利用通项公式 Tr+1=Cr b a=x ,b= ,设第 r+1 项为常数项,令 x 的指数 na 2 x? ? 等于 0 即可求出 r. 1 ?10 2 [精解详析] (1)?x + 的展开式的第 5 项为 2 x? ? ? T5=C4 (x2)6· 10· 1 ?4 ?2 x? ? 1 ?4=105x10. ?1?4 x12· =C4 10·2 · ? ? 8 ? x? (2)设

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