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北京市丰台区2017届高三一模数学文科试题(word版含答案)


丰台区 2017 年高三年级第二学期综合练习(一)

(D) ? x ? [0,??) , e x ? 1
1 5. 如果 a ? 21.2 ,b ? ( )0.3 ,c ? 2log2 3 ,那么 2
2017. 03


注意事项:

学(文科)

(A) c ? b ? a (C) a ? b ? c

(B) c ? a ? b (D) a ? c ? b

(本试卷满分共 150 分,考试时间 120 分钟) 1. 答题前,考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字 迹签字笔填写清楚,并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘贴区” 贴好条形码。 2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式 将各小题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须 使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。 3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效, 在试卷、草稿纸上答题无效。 4. 请保持答题卡卡面清洁,不要装订、不要折叠、不要破损。
C.
A.

6. 由一个正方体截去一个三棱锥所得的几何体的直观图如图所示,则该几何体的三 视图正确的是

B.
正视图 侧视图

正视图

侧视图

(A)

(B)

D.
俯视图 侧视图

第一部分

(选择题 共 40 分)

俯视图

(C) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.
1? ,那么 A ? B = 1. 如果集合 A ? ?x ? Z ? 2 ? x ? 1?, B ? ??1,0,

侧视图 (D)

π 7. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ) ,点 A(m,n) , B(m ? π,n) (| n |? 1) 都在曲线 y ? f ( x) 上, 3

且线段 AB 与曲线 y ? f ( x) 有五个公共点,则 ? 的值是 (A)4 (D) ??1,0? (B)2 (C)
1 2

(D)

(A) ??2,?1,0, 1?

(B) ??1,0, 1?

(C) ?0, 1?

1 4

8. 某校举行了以“重温时代经典,唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛. 该校 高一年级有 1,2,3,4 四个班参加了比赛,其中有两个班获奖. 比赛结果揭晓之 前,甲同学说: “两个获奖班级在 2 班、3 班、4 班中” ,乙同学说: “2 班没有获奖, 3 班获奖了” ,丙同学说: “1 班、4 班中有且只有一个班获奖” ,丁同学说: “乙说 得对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的,则这两人是 (A)乙,丁 (B)甲,丙 (C)甲,丁 (D)乙,丙

2. 在平面直角坐标系 xOy 中,与原点位于直线 3 x + 2 y ? 5 ? 0 同一侧的点是 (A) ( ? 3,4) (B) ( ? 3, ? 2) (C) ( ? 3, ? 4) (D) (0,? 3)

3. 执行如图所示的程序框图,则输出的 i 值是 (A)3 (C)5 (B)4 (D)6
x

4. 设命题 p: ?x ? [0,??) , e ? 1 ,则 ? p 是 (A) ? x0 ?[0,??) , e x ? 1
0

(B) ? x ? [0,??) , e x ? 1 (C) ? x0 ?[0,??) , e x ? 1
0

第二部分

(非选择题

共 110 分)

16.(本小题共 13 分) 已知 ?an ? 是各项均为正数的等比数列, a11 ? 8 ,设 bn ? log2 an ,且 b4 ? 17 . . (Ⅰ)求证:数列 ?bn ? 是以-2 为公差的等差数列; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn 的最大值.

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 在复平面内,复数 z ? 1 ? 2i 对应的点到原点的距离是 10. 抛物线 y 2 ? 2x 的准线方程是 .

11. 设 a ? b ? M (a ? 0,b ? 0) , M 为常数,且 ab 的最大值为 2, 则 M 等于 .
C B P D A

12. 如图,在直角梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , ?ADC =90? , uuu r uu u r 则 DPgAB = . AD=2 ,BC =CD =1 ,P 是 AB 的中点,

17.(本小题共 14 分) 如图 1,平行四边形 ABCD 中, AC ? BC ,BC ? AC ? 1 ,现将△ DAC 沿 AC 折起, 得到三棱锥 D ? ABC (如图 2),且 DA ^ BC ,点 E 为侧棱 DC 的中点. (Ⅰ)求证:平面 ABE ? 平面 DBC ; (Ⅱ)求三棱锥 E ? ABC 的体积; (Ⅲ)在 ?ACB 的角平分线上是否存在点 F ,使得 DF ∥平面 ABE ?若存在, 求 DF 的长;若不存在,请说明理由.

13. 已知点 A(1,0) , B(3,0) ,若直线 y ? kx ? 1 上存在点 P,满足 PA ? PB ,则 k 的取值 范围是 .

? ?( x ? 2a)(a ? x), x ? 1, 14. 已知函数 f ( x) ? ? ? ? x ? a ? 1, x ? 1.

(1)若 a ? 0 ,x ? [0,4] ,则 f ( x) 的值域是________; (2)若 f ( x) 恰有三个零点,则实数 a 的取值范围是_________. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 在 △ ABC 中,角 A,B,C 对应的边长分别是 a,b,c,且 C ? (Ⅰ)若 sin A ?
3 ,求 a ; 4
? ,c ? 4. 3

图1

图2

(Ⅱ)若 △ ABC 的面积等于 4 3 ,求 a , b .

18.(本小题共 13 分) 某校学生营养餐由 A 和 B 两家配餐公司配送. 学校为了解学生对这两家配餐公司 的满意度,采用问卷的形式,随机抽取了 40 名学生对两家公司分别评分. 根据收集 的 80 份问卷的评分,得到 A 公司满意度评分的频率分布直方图和 B 公司满意度评分 的频数分布表: 满意度 评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] A 公司 B 公司 频数 2 8 14 14 2

19.(本小题共 14 分)
1) 是椭圆 C: 已知 P(0,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点,点 P 到椭圆 C 的两个焦点 a 2 b2

的距离之和为 2 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A,B 是椭圆 C 上异于点 P 的两点,直线 PA 与直线 x ? 4 交于点 M, 是否存在点 A,使得 S ?ABP ? 理由 .

1 S ?ABM ?若存在,求出点 A 的坐标;若不存在,请说明 2

(Ⅰ)根据 A 公司的频率分布直方图,估计该公司满意度评分的中位数; (Ⅱ) 从满意度高于 90 分的问卷中随机抽取两份,求这两份问卷都是给 A 公司评 分的概率; (Ⅲ)请从统计角度,对 A、B 两家公司做出评价.

20.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?
x ?1 ,A ( x1 ,m) ,B ( x2 ,m) 是曲线 y ? f ( x) 上两个不同的点 . ex

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间,并写出实数 m 的取值范围; (Ⅱ)证明: x1 ? x2 ? 0 .

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

丰台区 2016~2017 学年度第二学期一模练习

bn?1 ? bn ? log2an?1 ? log2an ? log 2
因此数列 ?bn ? 是等差数列.

高三数学(文科)参考答案及评分参考
2017.03 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 D 6 D 7 A 8 B 又 b11 ? log2 a11 ? 3 , b4 ? 17 , 又等差数列 ?bn ? 的公差 d ?

an?1 ? log2q , an

b11 ? b4 ? ?2 , 7
……………………6

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 5 12. ?1 10. x ? ?

1 2

11. 2 2
1] ; (??,0) . 14. [?1,

即 bn ? 25 ? 2n . 即数列 ?bn ? 是以-2 为公差的等差数列. 分 (Ⅱ)设等差数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,则

4 13. [? ,0] 3

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由正弦定理

Sn ?

a 4 a c ? 可知: ? , 3 sin A sin C 3 4 2
……………………6 分

(b1 ? bn ) (23 ? 25 ? 2n) n ? 2 2

? (24 ? n)n ? ?(n ? 12)2 ? 144 ,
于是当 n ? 12 时, Sn 有最大值,最大值为 144. ……………………13

从而求得 a ? 2 3 分 (Ⅱ)由 ?ABC 的面积等于 4 3 ,可知 S?ABC ? 从而 ab ? 16 ①,
2 2 2 由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C 可得,

1 3 ab sin C ? ab ? 4 3 , 2 4

17. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)证明:在平行四边形 ABCD 中,有 AD ? BC ? AC ,又因为 E 为侧棱 DC 的中 点, 所以 AE ? CD ; 又因为 AC ? BC , AD ? BC ,且 AC ? AD ? A ,所以 BC ? 平面 ACD . 又因为 AE ? 平面 ACD ,所以 AE ? BC ; 因为 BC ? CD ? C ,

16=a 2 ? b2 ? ab ②,
联立①②得 a ? b ? 4 . 分 16. (本小题共 13 分) 分 解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,则 ……………………13

所以 AE ? 平面 BCD , 又因为 AE ? 平面 ABE , 所以平面 ABE ? 平面 BCD . ……………………5

(Ⅱ)解:因为 VE ? ABC ? VB ? ACE , BC ? 平面 ACD ,所以 BC 是三棱锥的高,

1 故 VB ? ACE ? ? BC ? S?ACE , 3

份评价 B 公司,设为 b1 ,b2 . ,
CD= 2


S ?A 1 ?C 2


?A


1 E= ? 2

BC =1

,
1 4

AE ?

2 2







从这 6 份问卷中随机取 2 份,所有可能的结果有: (a1 ,a2 ) , (a1 ,a3 ) , (a1 ,a4 ) ,

E

1 C 2

D?

2 1 2, ? = 2 2

?

(a1 ,b1 ) ,(a1 ,b2 ) ,(a2 ,a3 ) ,(a2 ,a4 ) ,(a2 ,b1 ) ,(a2 ,b2 ) ,(a3 ,a4 ) ,(a3 ,b1 ) ,(a3 ,b2 ) , (a4 ,b1 ) , (a4 ,b2 ) , (b1 ,b2 ) ,共有 15 种.
……………………9 其中 2 份问卷都评价 A 公司的有以下 6 种:(a1 ,a2 ) ,(a1 ,a3 ) ,(a1 ,a4 ) ,(a2 ,a3 ) ,

所以有 VB ? ACE 分

1 1 ? ? BC ? S?ACE = 3 12

(Ⅲ)解:取 AB 中点 O ,连接 CO 并延长至点 F ,使 CO ?OF ,连接 AF ,DF ,BF . 因为 BC ? AC ,所以射线 CO 是角 ?ACB 的角分线.
D

(a2 ,a4 ) , (a3 ,a4 ) .
设两份问卷均是评价 A 公司为事件 C,则有 P(C) ?

6 2 ? . 15 5

……………………9

E

分 (Ⅲ)由所给两个公司的调查满意度得分知:

A O F B

C

A 公司得分的中位数低于 B 公司得分的中位数, A 公司得分集中在 ?70,80? 这 组, 而 B 公司得分集中在 ?70,80? 和 ?80,90? 两个组,A 公司得分的平均数数低于 B 公司得分的平均数,A 公司得分比较分散,而 B 公司得分相对集中,即 A 公 司得分的方差高于 B 公司得分的方 差. ……………………13 分

又因为点 E 是的 CD 中点,所以 OE ∥ DF , 因为 OE ? 平面 ABE , DF ? 平面 ABE , 所以 DF ∥平面 ABE . 因为 AB 、 FC 互相平分, 故四边形 ACBF 为平行四边形,有 BC ∥ AF . 又因为 DA ? BC ,所以有 AF ? AD , 又因为 AF ? AD ? 1 ,故 DF ? 2 . 分 18. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)设 A 公司调查的 40 份问卷的中位数为 x ……………………14

(注:考生利用其他统计量进行分析,结论合理的同样给分.) 19. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)由椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 过点 P(0,1)可得 b=1,

(x ? 70) =0.5 则有 0.015 ?10+0.025 ?10+0.03 ?
解得: x ? 73.3 所以, 估计该公司满意度得分的中位数为 73.3 分 (Ⅱ)满意度高于 90 分的问卷共有 6 份,其中 4 份评价 A 公司,设为 a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,2 ……………………4

又点 P 到两焦点距离和为 2 2 ,可得 a ? 所以椭圆 C 的方程
x
2

2,
……………………4 分

2

? y ? 1.

2

(Ⅱ)设 A(m,n) ,依题意得:直线 PA 的斜率存在,

则直线 PA 的方程为: y ?

n ?1 m

x ?1 ,

只需证

x1 ? 1 ? x1 ? 1 2x ? ? x1 ,只需证 (x1 ? 1)e 1 ? x1 ? 1 ? 0 ( x1 ? (?1,0) ) e x1 e

令 h( x) ? (x ? 1)e2 x ? x ? 1 ? 0 ,则 h?( x) ? (2 x ? 1)e2 x ? 1 , 令 x=4, y ?

4n ? 4 ? 4n ? 4 ? ? 1 ,即 M ? 4, ? 1? , m m ? ?

因为 (h?( x))? ? 4 xe2 x ? 0 , 所以 h?( x) 在 (?1,0) 上单调递减,所以 h?( x) ? h?(0) ? 0 , 所以 h( x) 在 (?1,0) 上单调递增,所以 h( x) ? h(0) ? 0 , 所以 e2 x ? 分
x ?1 ? 0 ,故 x1 ? x2 ? 0 x ?1

又 S ?ABP ?

1 2

PA
S ?ABM 等价于

PM

?

1 3

且点 A 在 y 轴的右侧,

从而

xA ? xP

xM ? xP
m 4 1 3

?

m 4

……………………13

?

1 , 3

因为点 A 在 y 轴的右侧, 所以
?



解得 m ?

4 3

,

(若用其他方法解题,请酌情给分)
,

由点 A 在椭圆上,解得: n ? ?

1 3

于是存在点 A( 分 20. (本小题共 13 分) 解: f ( x) 的定义域为 R . (Ⅰ) f ?( x) ? ?
x , ex

4 3

,?

1 3

) ,使得 S ?ABP ?

1 2

S ?ABM .

……………………14

由 f ?( x) ? 0 得, x ? 0 , 由 f ?( x) ? 0 得, x ? 0 , 由 f ?( x) ? 0 得, x ? 0 , 所以 f ( x) 的单调增区间为(-∞,0) ,单调减区间为(0,+∞).
m 的取值范围是 (0,1) .

……………………6

分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知, x1 ? (?1,0) ,要证 x2 ? ? x1 ? 0 ,只需证 f ( x2 ) ? f (? x1 ) 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m ,所以只需证 f ( x1 ) ? f (? x1 ) ,


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