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2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义:模块复习精要 复习课(一)解三角形 含答案


复习课(一) 解三角形对应学生用书P56 利用正、余弦定理解三角形 对于解三角形的考查,命题多利用正、余弦定理,三角形内角和定理来求边和角,其 中以求边或角的取值范围为主,以解三角形与三角函数的结合为命题热点,试题多以大题 的形式出现,难度中等. [考点精要] 解三角形的常见类型及方法 (1)已知三边:先由余弦定理求出两个角,再由 A+B+C=π,求第三个角. (2)已知两边及其中一边的对角:先用正弦定理求出另一边的对角,再由 A+B+C=π, 求第三个角,最后利用正弦定理或余弦定理求第三边. (3)已知两边及夹角:先用余弦定理求出第三边,然后再利用正弦定理或余弦定理求另 两角. (4)已知两角及一边:先利用内角和求出第三个角,再利用正弦定理求另两边. [典例] 设锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且有 a=2bsin A. (1)求 B 的大小; (2)若 a=3 3,c=5,求 b. [解] (1)由 a=2bsin A, 1 根据正弦定理得 sin A=2sin Bsin A,所以 sin B= , 2 π 由于△ABC 是锐角三角形,所以 B= . 6 (2)根据余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=27+25-45=7, 所以 b= 7. [类题通法] 利用正、 余弦定理来研究三角形问题时, 一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系 式, 正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化, 而余弦定理多用来将余弦值转化 为边的关系. [题组训练] 1.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3 sin B,则 A=( A.30° C.120° 解析:选 A ) B.60° D.150° b2+c2-a2 - 3bc+c2 由 正 弦 定理 可 知 c = 2 3 b , 则 cos A = = = 2bc 2bc - 3bc+2 3bc 3 = ,所以 A=30°,故选 A. 2bc 2 π 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 A= ,a=1,b= 3,则 6 B=________. 1 3 3 解析:依题意得,由正弦定理知: = ,sin B= ,又 0<B<π,b>a,可得 B π sin B 2 sin 6 π 2π = 或 . 3 3 π 2π 答案: 或 3 3 3.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值. 解:(1)证明:∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得 a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 cos B= = ≥ = , 2ac 2ac 2ac 2 当且仅当 a=c 时等号成立. 1 ∴cos B 的最小值为 . 2 三角形形状的判定 判断三角形的形状是一种常见的题型,就是利用条件寻找边的关系或角的关系,题型 多为选择题、解答题,难度中等. [考点精要] 三角形中的常用结论 A+B π C (1)A+B=π-C, = - . 2 2 2 (2)在三角形中大边对大角,反之亦然.

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