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正弦定理、余弦定理综合练习题

正弦定理、余弦定理习题课(2) 知识点:
1、正弦定理:在 ? ? ? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ? ? ? C 的外接 圆的半径,则有
a sin ? ? b sin ? b 2R ? c sin C c 2R ? 2R .

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② sin ? ?
a 2R

, sin ? ?

, sin C ?



③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; ④
a?b?c sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S ? ? ? C ? b c sin ? ? a b sin C ? a c sin ? . 2 2 2 ? a ? b ? c



4、余弦定理:在 ? ? ? C 中,有 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 bc cos ? , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac cos ? ,
c ? a ? b ? 2 ab cos C
2 2 2


b ?c ?a
2 2 2

co 5、 余弦定理的推论: s ? ?

co , s? ?

a ?c ?b
2 2

2

co , sC ?

a ?b ?c
2 2

2



2bc

2ac

2ab

6、 a 、b 、c 是 ? ? ? C 的角 ? 、? 、C 的对边, ①若 a 2 ? b 2 ? c 2 , C ? 90 ? ; 设 则: 则 ②若 a 2 ? b 2 ? c 2 ,则 C ? 90 ? ;③若 a 2 ? b 2 ? c 2 ,则 C ? 90 ? . 典型综合练习:
? 1、 广东)已知△ABC 中, A, ? B, ? C 的对边分别为 a,b,c.若 a ? c ? (09 ? 且 ? A= 7 5 ,则 b = A.2 B. 4+ 2 3 C. 4- 2 3 D. 6- 2

6 ?

2



2、 (09 湖南)在锐角 ? A B C 中, B C ? 1, B ? 2 A 则 取值范围为 。

AC cos A

的值等于

, AC 的

3、 北京) ? A B C 中, A , B , C 的对边分别为 a , b , c , B ? (09 在 角 w.w.w.k.s.5.u.c.o. (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ? A B C 的面积.

?
3

co , sA?

4 5

,b ?

3

.

4、 辽宁) ? A B C 中, (08 在 内角 A, 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= B,C (Ⅰ)若 ? A B C 的面积等于 3 ,求 a,b; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A ) ? 2 sin 2 A ,求 ? A B C 的面积.

?
3

.

5、09 浙江) ? ABC 中, A、 C 所对应的边分别为 a、 c, ( 在 角 B、 b、 且满足 c o s
??? ???? ? AB ? AC

A 2

=

2 5 5

,

=3.

(Ⅰ)求 ? A B C 的面积;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值。 6、 (09 天津)在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (I) 求 AB 的值:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (II) 求 sin ? 2 A ?
? ?

? ?
? 4 ?

的值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2 的答案 2、 ( 2 , 3 ) 3 解: (Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ? ∴C ?
2? 3 ? A , sin A ?
? 2?

?
3

, co s A ?

4 5



3 5

, .

∴ sin C ? sin ?

3 1 3?4 3 ? ? A? ? co s A ? sin A ? 2 2 10 ? 3 ?
3 5 3? 4 3 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? 又∵ B ? ∴a ?
?
,b ? ? 6 5 3

, sin C ?

,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

,∴在△ABC 中,由正弦定理,得

3 b sin A sin B

.
1 2 a b sin C ? 1 2 ? 6 5 ? 3? 3?4 3 10 ? 36 ? 9 3 50

∴△ABC 的面积 S ?

.

4 解析: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a 2 ? b 2 ? a b ? 4 , 又因为 △ A B C 的面积等于 3 ,所以 a b sin C ? 3 ,得 ab ? 4 .·······4 分 ······· ·······
2 1

联立方程组 ?

? a 2 ? b 2 ? a b ? 4, ? a b ? 4,

解得 a ? 2 , b ? 2 . ················· 分 ················6 ················

(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A ) ? sin( B ? A ) ? 4 sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2 sin A cos A , ···························· 分 ···························· ···························8 当 cos A ? 0 时, A ?
? 2

,B ?

? 6

,a ?

4 3 3

,b ?

2 3 3



当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2 sin A ,由正弦定理得 b ? 2 a , 联立方程组 ?
? a 2 ? b 2 ? a b ? 4, ? b ? 2 a,
1 2

解得 a ?

2 3 3

,b ?

4 3 3



所以 △ A B C 的面积 S ?

a b sin C ?

2 3 3

.···················· 分 ···················· ···················12
A 2
?3bc, ? 5

5 解 析 : I ) 因 为 co s (
??? ???? ? A B? A C 3 ?

A 2

?

2 5 5

, ? co s A ? 2 co s 2

?1 ?

3 5

, sin A ? 1 2

4 5

,又由

c s , 得 b c o ?A

, ? S ?ABC ?

b c sin A ? 2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( II ) 对 于 b c ? 5 , 又 b ? c ? 6 , ? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 , 由 余 弦 定 理 得
a ? b ? c ?2 b c o s A? 2,? a ? 2 5 0
2 2 2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
? BC sin A

6 解: (Ⅰ)在△ABC 中,根据正弦定理, 于是 AB=
sin C sin A BC ? 2 BC ? 2 5

AB sin C

(Ⅱ)在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA= 于是 sinA=
1 ? cos
2

AB

2

? AC

2

? BD

2

2 AB ? AC

?

2 5 5

A ?
4

5 5
3 5

从而 sin2A=2sinAcosA= ,cos2A=cos2A-sin2A=
5

所以

sin(2A-

?
4

)=sin2Acos

?
4

-cos2Asin

?
4

=

2 10


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