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2014年新课标2卷文科数学高考真题及答案


掌门 1 对 1 教育 高考真题

? ? ? ? | a ? b |? 6 ,则 a ? b ? (
A. 1 B. 2 C. 3

) D. 5

2014 年普通高等学校招生 全国统一考试

(5)等差数列 {an } 的公差是 2,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 {an } 的前 n 项和 S n ? ( A. n(n ? 1) C. B. n(n ? 1) D. )

文科数学
一. 选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ( 1 ) 设 集 合

n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2

(6)如图,网格纸上正方形小格 的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗 线画出的是某零件的三视图,该零件由一个 底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切

A ? {?2,0, 2}, B ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} , 则
A B ?(
A. ? D. {?2} (2) ) B.

?2?

C. {0}

削得到,则切削的部分的体积与原来毛坯体 积的比值为( A. )

1 ? 3i ?( 1? i

) B. ?1 ? 2i C. 1 ? 2i

17 27

B.

5 9

C.

10 27

D.

1 3
开始

A. 1 ? 2i D. ?1 ? 2i

(7)正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 2 ,侧棱长为

输入x, t
M ? 1, S ? 3

(3)函 数 f ( x) 在 x ? x0 处 导 数 存 在 , 若

3 ,D 为 BC 中点,则三棱锥 A ? B1 DC1 的体积为
(A)3 (B)
M ?


k ?1
k ? t?

p : f ( x0 ) ? 0 ;q : x ? x0 是 f ( x) 的极值点,
则 A. p 是 q 的充分必要条件 B. p 是


输出S
结束

3 2
(C)1 (D)

M x k

S ? M ?S
k ? k ?1

q 的充分条件,但不是 q 的必要条件
C. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D. p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要 条件 (4)设 向 量 a , b 满 足 | a ? b |? 10 ,

3 2
(8)执行右面的程序框图,如果输入的 x , t 均为 2 ,则输出的 S ? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

? ?

?

?

? x ? y ? 1 ? 0, ? (9)设 x ,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, ? x ? 3 y ? 3 ? 0, ?
则 z ? x ? 2 y 的最大值为 (A) 8 (C) 2 (B) 7 (D) 1
2



14







f ( x) ? sin(x ? ? ) ? 2 sin? cos x 的 最 大 值
为________. ( 15 ) 偶函数 y ? f ( x) 的图像关于直 线

x ? 2 对称, f (3) ? 3 ,则 f (?1) =________.
(16) 数列 {an } 满足 an ?1 ? 则 a1 ? ________.

(10) 设 F 为抛物线 C : y +3 x 的焦点, 过F 且倾斜角为 30? 的直线交 C 于 A , B 两点, 则

AB ?
(A)

1 , a8 ? 2 , 1 ? an

30 3
(D) 7 3

(B) 6

三、解答题: (17) (本小题满分 12 分) 四 边 形 ABCD 的 内 角 A 与 C 互 补 ,

(C) 12

( 11 ) 若 函 数 f ? x ? ? kx ? Inx 在 区 间

AB ? 1, BC ? 3, CD ? DA ? 2 .
(1)求 C 和 BD ; (2)求四边形 ABCD 的面积.

?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值范围是
(A) ? ??, ?2? (C) ? 2, ?? ? (B) ? ??, ?1? (D) ?1, ?? ?
2 2

(12)设点 M ? x0 ,1? ,若在圆 O : x +y ? 1 上存在点 N ,使得 ?OMN ? 45? ,则 x0 的 取 值范围是 (A)? ?1, ?1? (B) ? ?

( 18 ) (本小题 满分 12 分) 如图,四棱锥 P E A

P ? ABCD
? 1 1? , ? 2 2? ?
中 , 底 面 D

ABCD

为 矩 B C

(C) ? ? 2, 2 ?

?

?

(D) ? ?

? ?

2 2? , ? 2 2 ?

形,PA ? 平面

ABCD , E 是 PD 的重点.
(1)证明: PB //平面 AEC ; (2)设

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)甲,乙两名运动员各自等可能地从红、 白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种,则他 们选择相同颜色运动服的概率为_______.

AP ? 1, AD ? 3

, 三 棱 锥

P ? ABD 的 体 积 V ?

3 ,求 A 到平面 4

PBC 的距离.

(1)若直线 MN 的斜率为 率; (2)若直线 MN 在

3 ,求 C 的离心 4

y 轴上的截距为 2 ,且

(19)(本小题满分 12 分) 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随 机访问了 50 位市民,根据这 50 位市民对这 两部门的评分(评分越高表明市民的评价越 高) ,绘制茎叶图如下:

| MN |? 5 | F1 N | ,求 a, b .

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? x 3 ? 3 x 2 ? ax ? 2 ,曲线

y ? f ( x) 在点 (0, 2) 处的切线与 x 轴交点
的横坐标为 ?2 . (1)求 a ; (2)证明:当 k 直线 y

? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与

? kx ? 2 只有一个交点.

(1)分别估计该市的市民对甲、 乙两部门评 分的中位数; (2)分别估计该市的市民对甲、 乙两部门的 评分高于 90 的概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两 部门的评优.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式 选讲 设函数 f ( x) ?| x ?

1 | ? | x ? a | (a ? 0) a

(1)证明: f ( x) ? 2 ; (2)若 f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围.

(20)(本小题满分 12 分) 设

F1 , F2











x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, M a 2 b2
是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N .

绝密★启用前

2014 年普通高等学校招生 全国统一考试 (新课标 II
适用省: 贵州 甘肃 青海 西藏 黑 龙江 吉林 宁夏 内蒙古 新疆 云南 海南语数外 辽宁综合

1 1 ? ( ? 1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ) sin 60 0 ? 2 3 2 2

(18) 解: (I)设 BD 交 AC 于点 O,连 结 EO。 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点。 又 E 为 PD 的中点, 所以 EO∥ PB



文科数学参考答案
一、选择题 (1)B (4)A (7)C (10)C A 二、填空题 (2)B (5)A (8)D (11)D (3)C (6)C (9)B (12)

又 EO ? 平面 AEC,PB ? 平面
AEC 所以 PB∥平面 AEC。 ( II )

1 3 V ?¨ PA ? AB ? AD ? AB 6 6
由V ? ,可得 AB ? . 1 4 2 (16) 作 AH ? PB 交 PB 于 H 。 由题设知 BC ? 平面PAB , 所 以

3

3

1 (13) 3
三、解答题 (17)解:

(14)1

(15)3

2

(I)由题意及余弦定理,
2 2 2

BC ? AH





AH ? 平面PBC ,又 BD ? BC ? CD ? 2 BC ? CDcosC ? 13 ? 12 cos C PA ? AB 3 13 AH ? ? ① PB 13
BD 2 ? AB 2 ? DA 2 ? 2 AB ? DAcosA ? 5 ? 4 cos C 3 13 所以 A 到平面 PBC 的距离为 13 ②
由 ① , ② 得 cos C ?

1 ,故 2

C ? 600 , BD ? 7
( II ) 四 边 形 ABCD 的 面 积

(19) 解: (I)由所给茎叶图知,50 位市民对甲部门的评分由小到大排 序,排在 25,26 位的是 75,75,故

1 1 S ? AB ? DA sin A ? BC ? CD sin C 2 2

样本中位数为 75,所以该市的市民 对甲部门评分的中位数估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评 分由小到大排序,排在 25,26 位的 是 66 , 68 , 故 样 本 中 位 数 为

(舍去) 故 C 的离心率为

1 。 2

(II) 由题意, 原点 O 为 F1F2 的中点, MF2 ∥ y 轴,所以直线

66 ? 68 所以该市的市民对乙 ? 67 , 2
部门评分的中位数估计值是 67. (II)由所给茎叶图知, 50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的 比 率 分 别 为

MF1 与 y 轴的交点 D(0,2) 是线段
b2 MF1 的 中 点 , 故 ?4 a
b 2 ? 4a
由 ① 即

5 ? 0.1 , 50

| MN |? 5 | F1 N |



8 ? 0.16 ,故该市的市民对甲、乙 50
部门的评分高于 90 的概率的估计值 分别为 0.1 和 0.16。 (III) 由所给茎叶图知,

| DF1 |? 2 | F1 N |
设 N ( x1 , y1 ) , 由题意 y1 ? 0 , 则

市民对甲部门的评分的中位数高于 对乙部门的评分的中位数, 而且由茎 叶图可以大致看出对甲部门的评分 的标准差要小于对乙部门的评分的 标准差, 说明该市市民对甲部门的评 价较高、评价较为一致,对乙部门的 评价较低、评价差异较大。 (注:

?2(?c ? x1 ) ? c ? ?? 2 y1 ? 2





3 ? ? x1 ? ? c 2 ? ? ? y1 ? ?1
代 入 C 的 方 程 , 得 ②

9c 9 1 ? 2 ?1 2 4a b
将①及 c ? ②得

考生利用其他统计量进行分析, 结论 合理的同样给分) (20) 解: ( I )根据 c ?

a2 ? b2

代入

9( a 2 ? 4a ) 1 ? ?1 4a 4a 2
2

a2 ? b2 及

解 得 a ? 7, b ? 4a ? 28 故 a ? 7, b ? 2 7 (21) 解: (

b2 2 题设知 M (c, ),2b ? 3ac a


I



b ? a ?c
2 2

2





f ?( x ) ? 3 x 2 ? 6 x ? a , f ?( 0 ) ? a
曲 线 方 程 y ? f(x) 在 点

2b 2 ? 3ac ,解得

c 1 c ? , ? ?2 a 2 a

( 0 ,2 ) 处的切线方程为 y ? ax ? 2
由题设得

综上,g ( x ) ? 0 在 R 上有 唯 一 实 根 , 即 曲 线 y ? f(x) 与 直 线

?

2 ? ?2 ,所以 a

a ?1
( II ) 由 ( I ) 知 ,

y ? kx ? 2 只有一个交点。
(22)解: (I)连结 AB,AC, 由 题 设 知 PA=PD , 故 ∠ PAD=∠PDA 因 为 ∠ PDA= ∠ DAC 由题设知 1 ? k ? 0 。 当 +∠DCA , ∠PAD =∠BAD+∠PAB ∠ DCA= ∠ PAB 所以∠

f ( x ) ? x ? 3x ? x ? 2 ,
3 2



A

g ( x ) ? f ( x ) ? kx ? 2 ? x 3 ? 3 x 2 ? ( 1 ? k )x ? 4

?O
P B

D

C
E

x?0



g ?( x ) ? 3 x 2 ? 6 x ? 1 ? k ? 0 ,
g( x )
单 调 递 , 所 增 以

DAC =∠BAD ,从而 BE ? EC 因此 BE ? EC ( II ) 由 切 割 线 定 理 得

g ( ?1 ) ? k ? 1 ? 0 , g ( 0 ) ? 4

PA 2 ? PB ? PC ,
因为 PA ? PD ? DC ,所以

g ( x ) ? 0 在 ( ?? ,0 ] 有唯一实根。


x?0



, ,

令 则

DC ? 2 PB, BD ? PB
由 相 交 弦 定 理 得

h( x ) ? x 3 ? 3 x 2 ? 4

g ( x ) ? h( x ) ? ( 1 ? k )x ? h( x )

AD ? DE ? BD ? DC
所以 AD ? DE ? 2 PB
2

h ?( x ) ? 3 x 2 ? 6 x ? 3 x( x ? 2 ) ? 0 , 由 于

(23)解: (I)C 的普通方程为

x ? 0 ,所以 x ? 2
所 以 h( x ) 在 ( 0 ,2 ) 单 调 递 减 ,

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1)
可得 C 的参数方程为

( 2. ? ? )















g ( x ) ? h( x ) ? h( 2 ) ? 0 ,
所 以 g ( x ) 在 ( 0. ? ? ) 没

? x ? 1 ? cos t (t为参数, 0 ? t ? ?) ? ? y ? sin t

(II)设 D (1 ? cos t , sin t ) , 有实根。

由(I)知 C 是以 G (1,0) 为圆心, 1 为半径的上半圆。 因为 C 在点 D 处的切线方程 与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜 率相同。

tant ? 3 , t ?


?
3



D 的 直 角 坐 标 为

3 3 ? ? ) (1 ? cos , sin ) ,即 ( , 2 2 3 3
(24)解: ( I ) 由 a?0 , 有

f ( x) ?| x ?

1 1 1 | ? | x ? a |?| x ? ? ( x ? a ) |? a ? ? 2 a a a

所以 f ( x) ? 2 ( II )

f (3) ?| 3 ?

1 | ? |3?a | a 1 , a

当 a ? 3 时, f (3) ? a ? 由 f (3) ? 5 得 3 ? a ? 当

5 ? 21 2

0?a?3 时 , 1 f (3) ? 6 ? a ? ,由 f (3) ? 5 得 a
1? 5 ?a?3 2
综上, a 的取值范围是

(

1 ? 5 5 ? 21 , )。 2 2


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