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2018年秋高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.2 对数函数及其性质 第2课时 对数函数及其性

春眠不觉 晓

课时分层作业(二十)

对数函数及其性质的应用

(建议用时:40 分钟) [学业达标练] 一、选择题 1.若 lg(2x-4)≤1,则 x 的取值范围是( A.(-∞,7] C.[7,+∞) 即 2<x≤7,故选 B.] 1 2.函数 f(x)=|log x|的单调递增区间是( 2 ) 【导学号:37102301】 B.(2,7] D.(2,+∞) )

B [由 lg(2x-4)≤1,得 0<2x-4≤10,

? 1? A.?0, ? ? 2?
C.(0,+∞)

B.(0,1] D.[1,+∞)

D [f(x)的图象如图所示,由图象可知单调递增区间为[1,+∞).]

1 1 3.已知 loga >logb >0,则下列关系正确的是( 3 3 A.0<b<a<1 C.1<b<a B.0<a<b<1 D.1<a<b

)

1 1 A [由 loga >0,logb >0,可知 a,b∈(0,1), 3 3 1 1 又 loga >logb ,作出图象如图所示, 3 3 结合图象易知 a>b,∴0<b<a<1.

] 4.若 a=2 ,b=log4(3.2),c=log2(0.5),则( A.a>b>c C.c>a>b
0.2 0.2

) 【导学号:37102302】

B.b>a>c D.b>c>a

A [∵a=2 >1>b=log4(3.2)>0>c=log2(0.5),∴a>b>c. 故选 A.]
-1-

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5.若函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值为( A. 1 4 1 B. 2 C.2 D.4

x

)

1 B [当 a>1 时,a+loga2+1=a,loga2=-1,a= (舍去). 2 当 0<a<1 时,1+a+loga2=a, 1 ∴loga2=-1,a= .] 2 二、填空题 6.函数 y=log0.4(-x +3x+4)的值域是________. 【导学号:37102303】
2 2

? 3? 25 25 [-2,+∞) [-x +3x+4=-?x- ? + ≤ , ? 2? 4 4
2

25 2 ∴有 0<-x +3x+4≤ , 4 所以根据对数函数 y=log0.4x 的图象即可得到: log0.4(-x +3x+4)≥log0.4
2

25 =-2, 4

∴原函数的值域为[-2,+∞).] 2 7.若 loga <1,则 a 的取值范围是________. 3

?0<a<1, ?0,2?∪(1,+∞) [原不等式?? ?2 ? 3? ? ? >a ? ?3
2 解得 0<a< 或 a>1, 3

a>1, ? ? 或?2 <a, ? ?3

? 2? 故 a 的取值范围为?0, ?∪(1,+∞).] ? 3?
8. 若 y=loga(ax+3)(a>0 且 a≠1)在区间(-1, +∞)上是增函数, 则 a 的取值范围是________. 【导学号:37102304】 (1,3] [因为 y=loga(ax+3)(a>0 且 a≠1)在区间(-1,+∞)上是增函数, -a+3≥0, ? ? 所以?a>1, ? ?a>0且a≠1, 解得 1<a≤3.故 a 的取值范围是(1,3].] 三、解答题 1? ? 9.已知函数 y=(log2x-2)?log4x- ?,2≤x≤8. 2? ? (1)令 t=log2x,求 y 关于 t 的函数关系式,并写出 t 的范围;
-2-

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(2)求该函数的值域. 1 1 2 3 [解] (1)y= (t-2)(t-1)= t - t+1, 2 2 2 又 2≤x≤8,∴1=log22≤log2x≤log28=3,即 1≤t≤3. 1? 3? 1 (2)由(1)得 y= ?t- ? - ,1≤t≤3, 2? 8 2? 3 1 当 t= 时,ymin=- ; 2 8 1 当 t=3 时,ymax=1,∴- ≤y≤1, 8
2

? 1 ? 即函数的值域为?- ,1?. ? 8 ?
10.已知函数 f(x)=ln(3+x)+ln(3-x). (1)求函数 y=f(x)的定义域; (2)判断函数 y=f(x)的奇偶性; (3)若 f(2m-1)<f(m),求 m 的取值范围. 【导学号:37102305】
? ?3+x>0, [解] (1)要使函数有意义, 则? ?3-x>0, ?

解得-3<x<3, 故函数 y=f(x)的定义域为(-3,3).

(2)由(1)可知,函数 y=f(x)的定义域为(-3,3),关于原点对称. 对任意 x∈(-3,3),则-x∈(-3,3). ∵f(-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=f(x), ∴由函数奇偶性可知,函数 y=f(x)为偶函数. (3)∵函数 f(x)=ln(3+x)+ln(3-x)=ln(9-x ), 由复合函数单调性判断法则知,当 0≤x<3 时,函数 y=f(x)为减函数. 又函数 y=f(x)为偶函数,∴不等式 f(2m-1)<f(m),等价于|m|<|2m-1|<3, 1 解得-1<m< 或 1<m<2. 3 [冲 A 挑战练] 1.函数 f(x)=lg? A.奇函数 C.既奇又偶函数 1 ? ? ?是( 2 ? x +1+x? ) B.偶函数 D.非奇非偶函数 1 1 1 ? ? ? ? ?+lg? 2 ?=lg x2+ -x2=lg 1 2 ? x +1-x? ? x +1+x?
2

A [f(x)定义域为 R,f(-x)+f(x)=lg? =0, ∴f(x)为奇函数,故选 A.]

1 x 2.当 0<x≤ 时,4 <logax,则 a 的取值范围是( 2

)

-3-

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【导学号:37102306】 A.( 2,2) C.? B.(1, 2) D.?0,

? 2 ? ,1? ?2 ?

? ?

2? ? 2?

1 x x C [当 0<x≤ 时,函数 y=4 的图象如图所示,若不等式 4 <logax 恒成立,则 y=logax 的图象 2

?1 ? x x 恒在 y=4 的图象的上方(如图中虚线所示),∵y=logax 的图象与 y=4 的图象交于? ,2?点时, ?2 ?
a=
2 2 ,故虚线所示的 y=logax 的图象对应的底数 a 应满足 <a<1,故选 C.] 2 2

3.函数 f(x)=log2 x·log -

2

(2x)的最小值为________.

1 1 [f(x)=log2 x·log (2x)= log2x·2log2(2x)=log2x(1+log2x).设 t=log2x(t∈R), 4 2 2
2

1 ? 1? 1 则原函数可以化为 y=t(t+1)=?t+ ? - (t∈R), 故该函数的最小值为- .故 f(x)的最小值为 4 ? 2? 4 1 - .] 4 4. (2018·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)=ln( 1+x -x)+1,f(a)=4,则 f(-a)=________. -2 [由 f(a)=ln( 1+a -a)+1=4,得 ln( 1+a -a)=3,所以 f(-a)=ln( 1+a +a)+ 1=-ln 1 1+a +a
2 2 2 2 2

+1=-ln( 1+a -a)+1=-3+1=-2.]

2

5.已知函数 f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中 0<a<1. (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)的最小值为-4,求 a 的值.
? ?1-x>0, [解] (1)要使函数有意义,则有? ?x+3>0, ?

解得-3<x<1,所以函数的定义域为(-3,1). (2) 函数可化为 f(x) = loga(1 - x)(x + 3) = loga( - x - 2x + 3) = loga[ - (x + 1) + 4] ,因为- 3<x<1,所以 0<-(x+1) +4≤4. 因为 0<a<1,所以 loga[-(x+1) +4]≥loga4,
2 2 2 2

-4-

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1 2 -4 即 f(x)min=loga4,由 loga4=-4,得 a =4,所以 a=4- = . 4 2

-5-


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