koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 理学 >>

南京工程学院《概率论与数理统计》 盛骤 各章难点_图文

概率论与数理统计

部分难点问题解析

第一章

随机事件及其概率

全概率公式 与 贝叶斯 公式
设 A1, A2, …,An 为样本空间 S 的一个完备事件组,B 为 一个随机事件. 若 P (Ai )> 0, i =1,2,…,n, 则成立: 全概率公式 P (B) = P (A1) P (B|A1)+ P (A2) P (B|A2)+…+ P (An) P (B|An); 贝叶斯公式 P (Am ) P (B | Am ) P (Am | B ) = —————————. P (B )

难点类型:利用两公式求概率.

例1 由三台机床加工一大批零件,加工比例分别为5:3:2,
合格率分别为0.94 , 0.90, 0.95,在全部产品中随机抽取一个, (1) 求此零件合格的概率(产品合格率); (2) 已知抽到的是合格品,求此零件为1号机床加工的概率. 解 设 Ai : 零件由i 号加工(i=1,2,3 ), B: 抽到零件合格. 因此 P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2 ; P(B|A3)=0.95 . P(B|A1)=0.94, P(B|A2)=0.90,

(1) 由全概率公式,P(B)=

P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.47+0.27+0.19=0.93;
(2) 由贝叶斯公式, P(A1) P(B|A1) 0.47 P (A1 | B ) = —————— = ——— = 0.505 . P (B ) 0.93

例2 盒中有9新、6旧共15只乒乓球,上午比赛时从盒中任取
两球,用后放回,下午比赛时再从盒中任取两球 . (1) 求下午取两球都为新球的概率; (2) 已知下午取两球都为新球,求上午取两球为1新1旧的概率. 解 Ai :上午取两球有i 个新球(i=0,1,2), B:下午取两新球. 因此
2 1 1 2 C6 C9 C6 C9 P ( A0 ) ? 2 , P ( A1 ) ? 2 , P ( A2 ) ? 2 C15 C15 C15 2 2 2 C9 C8 C7 P ( B | A0 ) ? 2 , P ( B | A1 ) ? 2 , P ( B | A2 ) ? 2 C15 C15 C15

(1) P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.2547
(2) 由贝叶斯公式, P(A1) P(B|A1) P (A1 | B ) = —————— = 0.5385 . P (B )

例3 ( 产品检验问题 ) 要验收 100 件产品的方法是:抽取 3 件产品,若测出次品就拒绝接收 . 已知一件次品被测出的概率为 0.95 ,一件合格品被误测为次品的概率是 0.01 . 若这 100 件产品 中恰好有 4 件次品,求这批 100 件产品被接受的概率. 解 设A: 产品被接受(抽到的3件产品都被认为是合格的).

Bk : 抽到的 3 件产品恰有k 个次品(k= 0,1,2,3).
C4k C96 3 – k 其中P (Bk ) 服从超几何分布: P (Bk ) = ————— , 3 C100 P ( A | Bk ) = 0.05 k×0.99 3?k (k= 0,1,2,3). 由全概率公式,这批产品被接受的概率是 P (A ) = ∑k=03 [ P (Bk ) P (A | Bk ) ]

C4k C96 3 – k = ∑k=03 [ 0.05k×0.99 3 - k × ————— ] ≈ 0.8629 . 3 C100

第二章 随机变量及其分布 连续型随机变量函数的分布
难点类型 已知 X 的密度函数 fX(x),求 Y = g ( X ) 的密度函数.

解法 P{Y≤ y }= P{ g ( X ) ≤ y } = P{ X ≤ g ?1 ( y )}, 即 FY ( y )= FX ( g ?1 ( y )),
fY ( y )= fX ( g ?1 ( y ))? [g ?1 ( y )]?.

两端求导数

例1 已知 X 具有密度函数 x , 0<x<4, 8 f X (x) = 0 , 其 它.
求 Y = 2X + 8 的密度函数. 解 y–8 2 ).

f (x) 1/2 x O y–8 2} , 4

P{Y≤ y }= P{ 2X+8 ≤ y } =P{ X≤



FY ( y ) = FX (

两端求导得,

1 y–8 y–8 y–8 fY ( y ) = fX ( 2 )( 2 )? = 2 fX( 2 ) .

?y?8 y?8 ?y?8 ,0? ? 4 ? ? 32 , 8 ? y ? 16, ? fY ( y) ? ? 32 , ? 2 ? 0 , 其 它. ? 其 它. ? 0 , ?

? 2e ? 2 x , x ? 0 例2 设随机变量X 的密度函数为 f X ( x ) ? ? ? 0, x ? 0

,求Y =1?e ? 2 X 的密度函数 fY ( y ).

解 P{Y≤ y }= P{1?e

?2 X

≤y}=

1 1 ? y ) ). 即 FY ( y ) = FX (? l n ( 2 1 1 两端求导得, fY ( x ) ? f X ( ? ln( 1 ? y )) ? 2 2(1 ? y )
ln( 1? y )) ? ? 2( ? 1 1 1 2 ? , ? ln( 1 ? y) ? 0 ?2e fY ( y ) ? ? , 2(1 ? y ) 2 ? 0 , 其 它. ?

1 1 ? y )} P{X≤ ? l n ( 2

? ? 1 , 0 ? y ? 1, ?? ? ? 0 , 其 它.

即Y~U(0,1).

第三章 多维随机变量及其分布 二维连续型随机变量及其概率密度
1. 已知 (X,Y) 的密度函数 f (x, y),求其分布函数F (x, y). 解法 求二重积分 F ( x , y ) ? ?? f ( u, v )dudv
D

y

v
x

其中区域 D 为: ?? < u < x, ?? < v < y 2. 已知 (X,Y) 的密度函数 f (x, y),求X,Y D

u

O

的边缘密度函数 f X (x) 及 f Y (y).
解法 求积分 f X ( x ) ? ?
fY ( x ) ?
?? ??

f ( x, y )dy, ? ? ? x ? ? ? ;

?

?? ??

f ( x , y )dx, ? ? ? y ? ? ? .

例1

设 X , Y 的密度函数为 2 e - ( 2 x+ y ) , 当 x > 0 , y > 0 ; 0 , 其它

f ( x, y ) =

( 1 ) 求分布函数 F ( x ,y ) ; ( 2 ) 计算 P { Y ≤ X }. 解 ( 1 ) 对任意的 x >0 、 y >0 ,
x ?? ??

F ( x, y ) ? ?

?

y

f (u, v )dudv

? ? du? 2e ?( 2 u? v )dv
0 0

x

y

? (1 ? e ?2 x )(1 ? e ? y ).
(1-e-2 x)(1-e- y ) ,当 x, y> 0 于是

F ( x,y ) =
0 , 其 它.

例1

设 X , Y 的密度函数为 2 e - ( 2 x+ y ) , 当 x > 0 , y > 0 ; 0 , 其它

f ( x, y ) =

( 1 ) 求分布函数 F ( x ,y ) ; ( 2 ) 计算 P { Y ≤ X }. 解 ( 2 ) 设在G 0 上 f ( x , y ) ? 0 ,且 y≤x ,则

P{Y ? X } ?

y? x

?? f ( x, y )dxdy ? ?? f ( x, y )dxdy
G0

按 y - 型区域

?

?

??

0

dy ?

??

y

2e

? 2( x ? y )

1 dx ? . 3

y G0

O

x

例2 已知 X 、Y 的联合密度函数为: 6 ,x2≤y≤x;
1

y

y=x2

f ( x,y ) =

0 ,

其它 . G

计算 X、Y 的边缘概率密度. 解 fX (x) = ? f (x, y) dy =
?? ? x x2

O
? 6 dy = 6(x?x2) , 0≤x≤1, 0,
y

1

x

其它.

用x -型区域求

?

fY (x) = ? f (x, y) dx =
??

y

? 6 dx = 6 ( y ? y ) , 0≤y ≤1,
0, 其它. 用y -型区域求

第四章 随机变量的数字特征 中心极限定理
定理 (独立同分布中心极限定理) 设 X 1 , X 2 , ? , X n , ?

独立同分布,其期望 ? 、方差 ? 2 > 0 存在,则有
l i m P { k ?1

?X

n

k

? n? ? x } ? ?( x ) .

n? ? ?

n?

或者

1 n Xk ? ? ? n l i m P { k ?1 ? x } ? ?( x ) . n? ? ? ?/ n

定理 ( 棣莫弗- 拉普拉斯定理 ) 若 Xn ~ b (n , p ) , 则有
X n ? np l im P{ ? x} ? ?( x ) . n? ?? np(1 ? p)

例1 某仪器同时收到48个独立的噪音电压 Vk ~ U(0,10)

(k=1,…,48) . 记 V = V1 + V2 +… + V48 . 求P{V >255}的近似值.
解 易知,E (Vk ) = 5 , D (Vk ) = 100/12 ,

由独立同分布中心极限定理 ,有
V ? 48? 5 V ? 240 ? 20 (10 / 12) 48
近似地

~

N (0,1).

于是有 P{V >255}= P{

V ? 240 255? 240 ? } 10 10

V ? 240 ? P{ ? 0.5} ? 1-? (0.5)= 0.3085. 10

例2 一船舶在海上航行,已知每遭受一次海浪的冲击,纵 摇角大于3?的概率为 p=1/3,若船舶遭受90000次海浪冲击,问 其中有 29500~30500 次纵摇角大于3?的概率是多少? 解 以 X 记90000次海浪冲击时纵摇角大于3?的次数, 则 X ~ b ( 90000 , 1/3 ) . 由棣莫弗 - 拉普拉斯定理 ,近似地有

X ? np X ? 30000 近 似 地 ? ~ N (0,1). np(1 ? p) 100 2 ? 500 X ? 30000 500 ? ? } P { 29500≤X ≤30500}= P{ 100 2 100 2 100 2 X ? 30000 ? 5 2 X ? 30000 5 2 ? 3.535} ? P{ ? ? } ? P{?3.535 ? 100 2 2 2 100 2 ? Φ(3.535) ? Φ(?3.535) ? 2Φ(3.535) ? 1 =0.9996.

第六章 参数估计
点估计的常用方法
最大似然估计 由总体X的概率密度 f (x) (或分布律P {X= xi } ) 建立似然函数
L(? ) ? L( x1 , x 2 , ? , x n ;? ) ?

? f ( x ,? )
i

n



L(? ) ? L( x1 , x 2 ,?, x n ;? ) ?

? P{ X ? x }
i i ?1

in ?1

求似然函数 L ( x1, x2,…, xn ;θ) 的最大值.

例1

设 X~ b(1, p). X 1 , X 2 ,…, X n 是来自X 的一个样本,

试求参数 p 的最大似然估计量. 解 X 的分布律为P{X=x}= px (1? p) 1?x,x = 0,1 .设 x 1 , …, x n 为样本值. 似然函数为
L( p) ?

?p
i ?1

n

xi

(1 ? p)
n i ?1

1? x i

? p i ?1 (1 ? p)
n i ?1

? xi

n

n?

? xi
i ?1

n

,

两边取对数, ln L( p) ? ( ? x i ) ln p ? (n ? ? x i ) ln(1 ? p), 求导数,令其为零,得
d i ?1 ln L( p) ? i ?1 ? dp p 1? p 1 n ?? xi ? x. 解得 p 的最大似然估计值为 p n i ?1 ? xi
n

n ? ? xi

n

? 0,

?

所以, p 的最大似然估计量为

? ? X. p

例2

设 X~ N(? , ? 2). x 1 , x 2 ,…, x n 是来自X 的一

个样本值,试求参数 ? , ? 2 的最大似然估计量.

解 X 的概率密度为 2 ( x ? ? ) 1 f ( x ; ?,? 2 ) ? ex p[? ]. 2 2? 2? ?
故似然函数为
L( ? , ? 2 ) ? ? ( 2?
n ? ) 2(

?

n

f ( xi ; ?,? 2 ) exp[? 1 2? 2
i ?1 2 ? ( x i ? ? ) ]. n

?

i ?1 n ? 2 ) 2

等式两边取对数,得
n n 1 n 2 2 ln L( ? , ? ) ? ? ln(2? ) ? ln ? ? ( x ? ? ) . ? i 2 2 2 2? i ?1
2

令其两个偏导数为零,得方程组
? 1 n ln L ? 2 [ ? x i ? n? ] ? 0 , ?? ? i ?1 ? n 1 n 2 ln L ? ? ? ( x ? ? ) ? 0. ? i 2 2 4 ?? 2? 2? i ?1

解得 ? , ? 2 的最大似然估计值分别为 n 1 1 n ? 2 ? ? ( xi ? x)2 . ? ? ? xi ? x, ? ? n i ?1 n i ?1 所以, ? , ? 2的最大似然估计量分别为
1 ? ?? n

?
i ?1

n

1 2 ? ? ? Xi ? X, n

?
i ?1

n

( X i ? X )2 .

例2 设总体X的分布律为 其中 p (0< p<1/2)为参数,

X pi

0 p2

1

2

3

2p(1-p) p2 1-2p

现测得一组容量为8的样本观察值为 1, 3, 0, 2, 3, 3, 1, 3,试求

p 的最大似然估计值.

2 4 2 2 =[2 解 似然函数 L( p) = ? P{ X ? x i } p(1? p)] ?(1?2 p) ?( p )
i ?1

8

取对数 ln L(p)=2[ln2p+ ln(1? p)]+ 4 ln(1?2p)+4ln p, 令 [ln L(p)]?=

12 p 2 ? 14 p ? 3 6 2 8 ?2 ? 0. ? ? p(1 ? p)(1 ? 2 p) p 1? p 1? 2p

解得

7 ? 13 p? , 12

7 ? 13 1 ? , 舍去 p ? 12 2 7 ? 13 ? 0.2828 . 12

?? 所以p的极大似然估计值为 p


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com