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2011-2017年高考新课标全国卷理科数学分类汇编

2011—2017 年新课标全 国卷理科数学【2018 年】

数学
(2011—2017)

真 题 分 类 汇 编
班级: 姓名:

1

砚山县第二高级中学 王永富





1、集合与常用逻辑用语……………………………………………………………………1

2、函数及其性质……………………………………………………………………………2

3













用………………………………………………………………………………4

4、三角函数、解三角形……………………………………………………………………11

5、平面向量…………………………………………………………………………………… 16

6





列……………………………………………………………………………………………17

7、 不等式、 线性规划、 推理与证明…………………………………………………… 20
2

8、立体几何…………………………………………………………………………………… 22

9、解析几何…………………………………………………………………………………… 30

10、统计、概率分布、计数原理…………………………………………………………40

11、 复数及其运算……………………………………………………………………………… 55

12、 程序框图…………………………………………………………………………………… 57 13、 坐标系与参数方程………………………………………………………………………60 14、 不等式选讲………………………………………………………………………………… 66

1.集合与常用逻辑用语
一、选择题
x 【2017,1】已知集合 A ? x x ? 1 , B ? x 3 ? 1 ,则()

?

?

?

?

A.A ? B ? {x | x ? 0}

B.A ? B ? R

C.A ? B ? {x | x ? 1}

D.A ? B ? ?

2 【2016,1】设集合 A ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x 2x ? 3 ? 0} ,则 A I B ? ()

3

A. ( ?3,? )

3 2

B. ( ?3, )

3 2

C. (1, )

3 2

D. ( ,3)

3 2

【2015,3】设命题 p : ?n ? N , n 2 ? 2n ,则 ? p 为() A. ?n ? N , n 2 ? 2n B. ?n ? N , n 2 ? 2n C. ?n ? N , n 2 ? 2n D. ?n ? N , n 2 ? 2n 【2014,1】已知集合 A={ x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 },B= x ?2 ? x ? 2 ,则 A ? B =(

?

?

)

A .[-2,-1]
A.A∩B=

B .[-1,2) C .[-1,1]
B.A∪B=R

D .[1,2)
) C.B ? A D.A ? B

【2013,1】已知集合 A={x|x2-2x>0},B={x|- 5 <x< 5 },则(

【2012,1】已知集合 A={1,2,3,4,5},B={( x , y )| x ? A , y ? A , x ? y ? A }, 则 B 中包含元素的个数为() A.3 B.6 C.8

D.10

(2017· 2)设集合 ? ? ?1, 2, 4? , ? ? x x ? 4 x ? m ? 0 .若 ? ? ? ? ?1 ? ,则 ? ? ()
2

?

?

A. ?1, ?3?

B. ?1,0?

C. ?1,3?

D. ?1,5?

(2016· 2)已知集合 A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则 A ? B ? () A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}

(2015· 1)已知集合 A={-2,-1,0,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则 A∩B=() A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2}

(2014· 1)设集合 M={0,1,2},N= ?x | x2 ? 3x ? 2 ? 0? ,则 M ? N =() A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}

(2013· 1)已知集合 M={x|(x-1)2 < 4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则 M∩N=() A.{0, 1, 2} B.{-1, 0, 1, 2} C.{-1, 0, 2, 3} D.{0, 1, 2, 3}

(2012· 1)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为 () A. 3 B. 6 C. 8 D. 10

(2011· 10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四个命题中真命题是()

? 2? ? ? 2? ? P ,? ? 1 : a +b ? 1 ? ? ? ?0, ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ?
? ?? ?? ? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ? 3? ?3 ?
A. P1,P4 B.P1,P3 C.P2,P3
4

D.P2,P4

2.函数及其性质
一、选择题 【 2017 , 5 】 函 数 f ( x) 在 (??, ??) 单 调 递 减 , 且 为 奇 函 数 . 若 f (1) ? ?1 , 则 满 足

?1 ? f (x ? 2 ) ? 1 的 x 的取值范围是()
A. [?2, 2] B. [?1,1] C. [0, 4] D. [1,3]

【2017,11】设 x, y, z 为正数,且 2 x ? 3y ? 5z ,则() A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
x

C.3y<5z<2x

D.3y<2x<5z

【2016,7】函数 y ? 2x 2 ? e 在 [?2,2] 的图像大致为()

A.B.

C.D. 【2016,8】若 a ? b ? 1 , 0 ? c ? 1 ,则()
c c c c A. a ? b B. ab ? ba

C. a logb c ? b loga c

D. loga c ? logb c

【2014,3】设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则 下列结论正确的是()

A . f ( x) g ( x) 是偶函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数
C . f ( x) | g ( x) |是奇函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数
【2013,11】已知函数 f(x)= ? A.(-∞,0]

?? x 2 ? 2 x,x ? 0, ?ln( x ? 1),x ? 0.

若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( D.[-2,0]

)

B.(-∞,1]

C.[-2,1]

【2012,10】已知函数 f ( x) ?

1 ,则 y ? f ( x) 的图像大致为() ln( x ? 1) ? x
5

y y
1 O 1 1

y y
1

x

1

O 1 x B.

O 1 x

x

O 1 A.

C.

D.

【2011,12】函数 y ? 标之和等于() A.2

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐 x ?1

B.4

C.6

D.8

(0, +?) 【2011,2】下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是()
A. y ? x3 B. y ? x ?1 C. y ? ? x2 ? 1
2

D. y ? 2

?x

【2015,13】若函数 f(x)=xln(x+ a ? x )为偶函数,则 a= (2016· 12)已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? 2 ? f ( x) ,若函数 y ? 交点为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,?, ( xm , ym ) ,则 ? ( xi ? yi ) ? ()
i ?1 m

x ?1 与 y ? f ( x) 图像的 x

A.0

B.m

C.2m

D.4m

(2013· 8)设 a ? log3 6 , b ? log5 10 , c ? log7 14 ,则() A. c ? b ? a B. b ? c ? a C. a ? c ? b D. a ? b ? c

(2013· 10)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是() A. ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 B.函数 y ? f ( x) 的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 单调递减 D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f ?( x0 ) ? 0

(0, +?) (2011· 2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是()
A. y ? x B. y ?| x | ?1 C. y ? ? x ? 1
3 2

D. y ? 2

?|x|

(2014· 15)已知偶函数 f (x)在[0, +∞)单调递减,f (2)=0. 若 f (x-1)>0,则 x 的取值范围是 _________.

6

3.导数及其应用
一、选择题 【2014,11】已知函数 f ( x) = ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的 取值范围为 (2,+∞) B . (-∞,-2) C . (1,+∞) D . (-∞,-1) A. 1 x 【2012, 12】 设点 P 在曲线 y ? e 上, 点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上, 则 | PQ | 的最小值为 () 2 A. 1 ? ln 2 【2011,9】由曲线 y ? A. B. 2(1 ? ln 2) C. 1 ? ln 2 D. 2(1 ? ln 2)

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为()
B.4 C.

10 3

16 3

D.6

二、填空题 【2017,16】如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D、E、F 为圆 O 上的点,△DBC,△ECA,△FAB 分别是以 BC, CA,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以 BC, CA,AB 为折痕折起 △DBC,△ECA,△FAB,使得 D,E,F 重合,得到三棱锥.当△ABC.的边长变化
3 时,所得三棱锥体积(单位:cm )的最大值为_______.

【2013,16】若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线 x=-2 对称,则 f(x)的最大值 为__________.

(2017· 11)若 x ? ?2 是函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ?1)e x?1` 的极值点,则 f ( x ) 的极小值为() A. ?1 B. ?2e
?3

C. 5e

?3

D.1

(2016· 12)已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? 2 ? f ( x) ,若函数 y ? 交点为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,?, ( xm , ym ) ,则 ? ( xi ? yi ) ? ()
i ?1 m

x ?1 与 y ? f ( x) 图像的 x

A.0

B.m

C.2m

D.4m ,则 f (?2) ? f (l og2 12) ? () D.12

(2015· 5)设函数 f ( x ) ? ? A.3

?1 ? log2 (2 ? x ) ( x ? 1) ?2
x ?1

( x ? 1)
C.9
7

B.6

(2015· 10)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD

与 DA 运动, 记∠BOP=x.将动点 P 到 A, B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x) , 则f (x) 的图像大致为()

A.

B.

C.

D.

( 2015· 12 ) 设 函 数 f ?( x) 是 奇 函 数 f ( x) ( x? R)的 导 函 数 , f ( ?1) ? 0 , 当 x>0 时 , ,则使得 f (x) >0 成立的 x 的取值范围是() x f ?( x) ? f ( x)? 0 A. (??, ?1) U (0,1) C. (??, ?1) U (?1,0) B. (?1,0) U (1, ??) D. (0,1) U (1, ??)

(2014· 8)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=() A.0 B.1 C.2 D.3

(2014· 12)设函数 f ( x) ? 3 sin ? x ,若存在 f ( x) 的极值点 x0 满足 x02 ? [ f ( x0 )]2 ? m2 ,则 m m 的取值范围是() A. (??, ?6) U (6, +?) C. (??, ?2) U (2, +?) B. (??, ?4) U (4, +?) D. (??, ?1) U (4, +?)

(2013· 8)设 a ? log3 6 , b ? log5 10 , c ? log7 14 ,则() A. c ? b ? a B. b ? c ? a C. a ? c ? b D. a ? b ? c

(2012· 12)设点 P 在曲线 y ? A. 1 ? ln 2 B.

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 | PQ | 的最小值为() 2
C. 1 ? ln 2 D.

2 (1 ? ln 2)

2 (1 ? ln 2)

(0, +?) (2011· 2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是()
A. y ? x3 B. y ?| x | ?1 C. y ? ? x2 ? 1 D. y ? 2?|x|

(2011· 9)由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为() A.

10 3

B.4

C.

16 3

D.6

(2011· 12) 函数 y ? 和等于() A.2

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x,(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之 x ?1
B.4 C.6 D.8

(2014· 15)已知偶函数 f (x)在[0, +∞)单调递减,f (2)=0. 若 f (x-1)>0,则 x 的取值范围是 _________.
8

(2016· 16)若直线 y = kx+b 是曲线 y = lnx+2 的切线,也是曲线 y = ln(x+1)的切线,则 b =.

三、解答题 【2017,12】已知函数 f ? x ? ? ae
2x

? ? a ? 2? e x ? x .

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x ) 有两个零点,求 a 的取值范围.

【2016,12】已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x ? a( x ? 1) 2 有两个零点. (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)设 x1 , x 2 是 f ( x) 的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 .

3 【2015,12】已知函数 f ( x) ? x ? ax ?

1 , g ( x) ? ? ln x . 4

(Ⅰ)当 a 为何值时, x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅱ)用 m , in{ m , }n 表示 m, n 中的最小值,设函数 h( x) ? min{ f ( x), g ( x)}( x ? 0 ) 讨论 h( x) 零点的个数.

9

be x ?1 【2014,21】设函数 f ( x0 ? ae ln x ? ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线为 x
x

(Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 . y ? e( x ? 1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ;

【2013,21】设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值;(2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围.

x ?1 【2012,21】已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ' (1)e ? f (0) x ?

1 2 x . 2

(1)求 f ( x) 的解析式及单调区间; (2)若 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值. 2

10

【 2011 , 21 】已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为 x ?1 x

x ? 2y ? 3 ? 0 .
(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? 范围.

ln x k ? ,求 k 的取值 x ?1 x

三、解答题 (2017· 21)已知函数 f ( x) ? ax ? ax ? x ln x, 且 f ( x) ? 0 .
2

(1)求 a; (2)证明: f ( x ) 存在唯一的极大值点 x0 ,且 e?2 ? f ( x0 ) ? 2?2 .

(2016· 21) (Ⅰ) 讨论函数 f ( x) ?

x?2 x 并证明当 x >0 时, ( x ? 2)e x ? x ? 2 ? 0 ; e 的单调性, x?2

11

(Ⅱ) 证明: 当 a ? [0,1) 时, 函数 g ( x)= 求函数 h(a) 的值域.

e x ? ax ? a ( x ? 0) 有最小值.设 g (x)的最小值为 h(a) , x2

14. (2015· 21)设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx . (Ⅰ)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1,,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求 m 的取值范围.

15. (2014· 21)已知函数 f ( x) ? e x ? e? x ? 2 x . (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 g ( x) ? f (2 x) ? 4bf ( x) ,当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ? 2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001).

16. (2013· 21)已知函数 f ( x) ? e x ? ln( x ? m) . (Ⅰ)设 x ? 0 是 f ( x) 的极值点,求 m ,并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 .

12

17.(2012· 21)已知函数 f ( x) ? f ?(1)e (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式及单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ?

x ?1

1 ? f (0) x ? x 2 . 2

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值. 2

18 . ( 2011· 21 )已知函数 f ( x) ?

a ln x b 处的切线方程为 ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) x ?1 x

x ? 2y ? 3 ? 0 .
(Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x k ? ,求 k 的取值范围. x ?1 x

6.二项式定理 一、选择题 (2013· 5)已知 (1 ? ax)(1 ? x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a ? () A. ?4 B. ? 3 C. ?2 D. ?1

a 1 (2011· 8) ( x ? )(2 x ? )5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为() x x
A.-40 B.-20 C.20 D.40

(2015· 15) (a ? x)(1 ? x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a=_______. (2014· 13) ( x ? a)10 的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a =________.
13

4.三角函数、解三角形
一、选择题 【2017,9】已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+

2π ),则下面结正确的是() 3 π 6

A. 把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线 C2 B. 把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线 C2 C. 把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 个单位长度,得到曲线 C2 D. 把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 个单位长度,得到曲线 C2 【2016, 12】 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ? 为 y ? f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x) 在 ( A.11 B.9

π 12

1 π 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移 2 6

1 π 倍, 纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移 2 12

?
2

), x??

?
4

x? 为 f ( x) 的零点,

?
4

, ) 单调,则 ? 的最大值为() 18 36
C.7 D.5

? 5?

【2015,8】函数 f ( x ) = cos(? x ? ? ) 的部分图象如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为()

1 3 1 3 , k? ? ), k ? Z B. (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 4 4 1 3 1 3 C. (k ? , k ? ), k ? Z D. (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4 4 4
A. ( k ? ?
? ? ? ? 【2015,2】 sin 20 cos10 ? cos160 sin10 ? ()

A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

1 1 D. 2 2

【2014,6】如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射 线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x) ,则 y = f ( x) 在[0, ? ]上的图像大致为()

14

【2014,8】设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ,则() ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ?

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

【2012,9】已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? 范围是() A.[

?
4

) 在(

? , ? )上单调递减,则 ? 的取值 2
1 ] 2
D. (0,2]

1 5 , ] 2 4

B.[

1 3 , ] 2 4

C. (0,

【2011, 5】 已知角 ? 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y ? 2 x 上, 则 cos 2? = A. ?

4 5

B. ?

3 5

C.

3 5

D.

4 5

【2011,11】设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 且 f (? x) ? f ( x) ,则() A. f ( x ) 在 ? 0,

?
2

) 的最小正周期为 ? ,

? ?

?? ??

? 单调递减 2?

B. f ( x ) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

C. f ( x ) 在 ? 0,

? ?

? 单调递增 2?

D. f ( x ) 在 ?

? ? 3? ? , ? 单调递增 ?4 4 ?

(2016· 7) 若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 A. x ? C. x ?

k? ? ? (k ? Z ) 2 6

k? ? ? (k ? Z ) 2 12

? 个单位长度, 则平移后图象的对称轴为 () 12 k? ? B. x ? ? (k ? Z ) 2 6 k? ? D. x ? ? (k ? Z ) 2 12

(2016· 9)若 cos( A.

?

7 25

3 ? ? ) ? ,则 sin 2α=() 4 5 1 1 B. C. ? 5 5

D. ?

7 25

(2014· 4)钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=() 2 A.5 B. 5 C.2 D.1 二、填空题
15

【2015,16】在平面四边形 ABCD 中, ?A ? ?B ? ?C ? 75? , BC ? 2 ,则 AB 的取值 范围是. 【2014,16】已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2, 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为. 【2013,15】设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ=__________. 【2011,16】在 V ABC 中, B ? 60 , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为.
?
2 (2017· 14)函数 f ? x ? ? sin x ? 3 cos x ?

3 ? ?? ( x ? ?0, ? )的最大值是. 4 ? 2?
4 5 ,cos C ? , a=1, 5 13

(2016· 13) △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 cos A ? 则 b=.

(2014· 14)函数 f ( x) ? sin( x ? 2? ) ? 2sin ? cos( x ? ? ) 的最大值为_________.

? 1 (2013· 15)设 ? 为第二象限角,若 tan(? ? ) ? ,则 sin ? ? cos ? ? _________. 4 2
三、解答题 【2017,17】△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 (1)求 sinBsinC; (2)若 6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长

a2 3sin A

【 2016 , 17 】 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知

2 cosC (a cos B ? b cos A) ? c .
(Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)若 c ?

7 , ?ABC 的面积为

3 3 ,求 ?ABC 的周长. 2

【2013,17】如图,在△ABC 中,∠ABC=90° ,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠ BPC=90° .
16

(1)若 PB=

1 ,求 PA;(2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA. 2

【 2012 , 17 】 已 知 a , b , c 分 别 为 △ABC 三 个 内 角 A , B , C 的 对 边 ,

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 .
(1)求 A; (2)若 a ? 2 ,△ABC 的面积为 3 ,求 b , c .

2 (2017· 17) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 sin( A ? C ) ? 8sin

B . 2

(1)求 cos B ; (2)若 a ? c ? 6 , ?ABC 面积为 2,求 b . .

(2015· 17)在?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,?ABD 面积是?ADC 面积的 2 倍. sin ?B (Ⅰ)求 ; sin ?C 2 (Ⅱ)若 AD=1,DC= ,求 BD 和 AC 的长. 2

17

(2013· 17)在△ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

(2012· 17) 已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cosC ? 3a sin C ? b ? c ? 0 . (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c.

18

5.平面向量
一、选择题 【2015,7】设 D 为 ?ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则()

??? ?

??? ?

? 4 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3 ???? 4 ??? ? 1 ???? C. AD ? AB ? AC 3 3
A. AD ? ?

????

? 4 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3 ???? 4 ??? ? 1 ???? D. AD ? AB ? AC 3 3
B. AD ?

????

【2011,10】已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题

? 2? ? ? 2? ? P ,? ? 1 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?? ?? ? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ? 3? ?3 ?
其中的真命题是() A. P 1, P 4 B. P 1, P 3 C. P2 , P 3 D. P2 , P4

【2017,13】已知向量 a,b 的夹角为 60° ,|a|=2, | b |=1,则| a +2 b |= . 【2016,13】设向量 a ? (m,1) ,b ? (1,2) ,且 | a ? b | ? | a | ? | b | ,则 m ? .
2 2 2

【2014,15】已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ? 角为.

????

??? ? ???? ? ???? 1 ??? ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹 2

【2013, 13】 已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60° , c=ta+(1-t)b. 若 b· c=0, 则 t=__________. 【2012,13】已知向量 a , b 夹角为 45° ,且 | a |? 1 , | 2a ? b |? 10 ,则 | b |? _________. (2017· 12) 已知 ?ABC 是边长为 2 的等边三角形, P 为平面 ABC 内一点, 则 PA ? ( PB ? PC) 的最小值是() A. ?2 B. ?

?

?

?

? ?

?

??? ? ??? ? ??? ?

3 2

C. ?

4 3

D. ?1

(2016· 3)已知向量 a ? (1 ,m),b =(3, ? 2) ,且 (a + b ) ? b ,则 m =() A.-8 B.-6 C.6 D.8

r r r r r r r r (2014· 3)设向量 a,b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? 6 ,则 a ? b =()
A.1 B.2 C.3 D.5 (2015· 13)设向量 a,b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? = ____________. (2013· 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? _______.
19

??? ? ??? ?

(2012· 13)已知向量 a,b 夹角为 45?,且|a| ? 1 , |2a ? b| ? 10 ,则|b| ? .

6.数列
一、选择题 【2017,4】记 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和.若 a4 ? a5 ? 24 , S6 ? 48 ,则 {an } 的公差 为() A.1 B.2 C.4 D.8

【2017,12】几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学 的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题 的答案:已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ,…,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,依此类推.求满足如下条件的 最小整数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是() A.440 B.330 C.220 D.110

【2016,3】已知等差数列 {an } 前 9 项的和为 27 , a10 ? 8 ,则 a100 ? () A. 100 B. 99 C. 98 D. 97 【2013, 7】 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 Sm-1=-2, Sm=0, Sm+1=3, 则 m=( ). A.3 B.4 C.5 D.6 【2013,12】设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,…. 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=

cn ? a n b ? an ,cn+1= n ,则( 2 2

).

A.{Sn}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 【2013,14】若数列{an}的前 n 项和 S n ?

B.{Sn}为递增数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

2 1 an ? ,则{an}的通项公式是 an=__________. 3 3

【2012,5】已知{ an }为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? () A.7 B.5 C.-5 D.-7 (2017· 3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题: “远望巍巍塔七层,红光点点倍 加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻 两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯() A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏 (2015· 4)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+ a3+ a5=21,则 a3+ a5+ a7=() A.21 B.42 C.63 D.84

(2013· 3)等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a1 ? () A.

1 3

B. ?

1 3

C.

1 9
20

D. ?

1 9

(2012· 5)已知{an}为等比数列,a4 + a7 = 2,a5 a6 = 8,则 a1 + a10 =() A. 7 B. 5 C.-5 D. -7

(2017· 15)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a3 ? 3 , S4 ? 10 ,则

?S
k ?1

n

1
k

?.

(2015· 16)设 Sn 是数列{an}的前项和,且 a1 ? ?1, an?1 ? Sn Sn?1 ,则 Sn=________________. (2013· 16)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 S10 ? 0 , S15 ? 25 ,则 nS n 的最小值为____. (2012· 16)数列 {an } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {an } 的前 60 项和为.

二、填空题 【2016,15】设等比数列 {an } 满足 a1 ? a3 ? 10, a2 ? a4 ? 5 ,则 a1a2 L an 的最大值为. 【2012,16】数列{ an }满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则{ an }的前 60 项和为__________.

三、解答题 【2015,17】 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和.已知 an >0, an (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
2

? 2an ? 4Sn ? 3.

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. an an?1

【2014,17】已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1 ,其中 ? 为 常数. (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

21

【2011,17】等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 .
2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? 前 n 项和.

?1? ?的 ? bn ?

(2016· 17) (满分 12 分)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,且 a1=1,S7=28. 记 bn=[lgan],其 中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1. (Ⅰ)求 b1,b11,b101; (Ⅱ)求数列{bn}的前 1 000 项和.

(2014· 17)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3 an+1. (Ⅰ)证明 {an ? 1} 是等比数列,并求{an}的通项公式; 2 (Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …? 1 ? 3 . a1 a2 an 2

22

(2011· 17)等比数列 {an } 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? L L ? log 3 an ,求数列 { 1 } 的前 n 项和. bn

7.不等式、线性规划、推理与证明 一、选择题
【2014,9) 】不等式组 ?

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 ; p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 ; P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 ; p4 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
其中真命题是()

C . p1 , p2 D . p1 , P A . p2 , P 3 3 B . p1 , p4
?x ? 2 y ? 1 ? 【2017,14】设 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? ?1,则 z ? 3x ? 2 y 的最小值为. ?x ? y ? 0 ?
【2016,16】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙 材料 0.3kg,用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产 品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元.

?x ?1 ? 0 ? y 【2015,15】若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值为. x ?x ? y ? 4 ? 0 ?
【2014,14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时,
23

甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为.

? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 3 ? 【2012, 14】 设 x ,y 满足约束条件 ? , 则 z ?x ? 2 y 的取值范围为___________. x ? 0 ? ? ?y ? 0
【2011,13】若变量 x, y 满足约束条件 ?

?3 ? 2 x ? y ? 9, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为. ?6 ? x ? y ? 9,

?2 x ? 3 y ? 3 ? 0 ? (2017· 5)设 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值是() ?y ?3 ? 0 ?
A. ?15 B. ?9 C. 1 D. 9

? x? y?7 ? 0 ? (2014· 9)设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为() ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
A.10 B.8 C.3 D.2

?x ?1 ? (2013· 9)已知 a ? 0 ,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1,则 a=() ? y ? a ( x ? 3) ?

A.

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

二、填空题

?x ? y ?1 ? 0 ? (2015· 14)若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为_______. ? x +2 y ? 2 ? 0 ?
? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 3 (2014· 14)设 x,y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? 2 y 的取值范围为. ? x ? 0 ? ? ?y ? 0
?3 ? 2 x ? y ? 9 (2011· 13)若变量 x,y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为. ?6 ? x ? y ? 9
24

8.立体几何(含解析)
一、选择题 【2017,7】某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角 三角形组成,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若 干个是梯形,这些梯形的面积之和为() A.10 B.12 C.14 D.16

【2016,11】平面 ? 过正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点 A , ? // 平面 CB1 D1 ,

? I 平面 ABCD ? m , ? ? 平面 ABB1 A1 ? n ,则 m, n 所成角的正弦值为
A.

3 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

1 3

【2016,6】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直 的半径.若该几何体的体积是

28? ,则它的表面积是() 3

A. 17? B. 18? C. 20? D. 28? 【2015,6】 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问 题: “今有委米依垣内角, 下周八尺, 高五尺. 问: 积及为米几何?”其意思为: “在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长 为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米 的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有() A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该几何体三 视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 ? 20? ,则

r ? ()
A.1 B.2 C.4 D.8

【2015 年,11 题】 【2014 年,12 题】 【2013 年,6 题】 【2014,12】如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则 该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为()
25

A . 6 2 B . 4 2 C .6

D .4

【2013,6】如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在 容器口, 再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm, 如果不计容器的厚度, 则球的体积为( ) A.

500π 3 cm 3

B.

866π 3 cm 3

C.

1372 π 3 cm 3

D.

2048 π 3 cm 3
).

【2013,8】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.16+8π B.8+8π C.16+16π

D.8+16π

【2013 年,8】 【2012 年,7】 【2011 年,6】 【2012,7】如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此 几何体的体积为() A.6 B.9 C.12 D.15 【2012,11】已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三 角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为() A.

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2

【2011,6】在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以 为()

【2011, 15】 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, 且 AB ? 6, BC ? 2 3 , 则棱锥 O ? ABCD 的体积为. (2017· 4)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,学科&网粗实线画出的是某几何体的三视 图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为() A. 90? B. 63? C. 42? D. 36?

26

(2017· 10)已知直三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中, ???C ? 120? , ?? ? 2 ,

?C ? CC1 ? 1,则异面直线 ??1 与 ?C1 所成角的余弦值为()
A.

3 2

B.

15 10 C. 5 5

D.

3 3

(2016· 6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为() A.20π
2 3
4 4

B.24π

C.28π

D.32π

· 2016, 6 2015, 6 2014, 6

(2015· 6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体 积与剩余部分体积的比值为() A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

(2015· 9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90?,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为() A.36π B.64π C.144π D.256π

(2014· 6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零件 的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉 部分的体积与原来毛坯体积的比值为() A. 17
27

B. 5
9

C. 10

27

D. 1

3

( 2014· 11)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90? ,M, N 分别是 A1B1,A1C1 的中点, BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为() A. 1 10 B. 2 5 C. 30
10

D. 2
2

l ?n, l ?? , (2013· 4) 已知 m, n 为异面直线,m ? 平面 ? ,n ? 平面 ? .直线 l 满足 l ? m ,
l ? ? ,则()

A.α // β 且 l // α C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l

B. ? ? ? 且 l ? ? D. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l
27

( 2013· 7 )一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (1,0,1) , (1,1,0), (0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图 可以为()

A.

B.

C.

D.

(2012· 7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为() A. 6 B. 9 C. 12 D. 18

(2012· 11)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的 正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为() A. 2 6 B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2

(2011· 6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为 ()

A.

B.

C.

D.

(2016· 14)α、β 是两个平面,m、n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果 m⊥n,m⊥α,n∥β,那么 α⊥β. (2)如果 m⊥α,n∥α,那么 m⊥n. (3)如果 α∥β,m ? α,那么 m∥β. (4)如果 m∥n,α∥β,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等. 其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号.) (2011· 15)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 , 则棱锥 O-ABCD 的体积为.

三、解答题 【2017,18】如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,且 ?BAP ? ?CDP ? 90? (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC, ?APD ? 90? ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.

28

【2016,18】 如图,在以 A, B, C , D, E, F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,

AF ? 2FD, ?AFD ? 90? ,且二面角 D ? AF ? E 与二面角 C ? BE ? F 都是 60 ? .
(Ⅰ)证明:平面 ABEF ? 平面 EFDC ; (Ⅱ)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.

C
D E

B
A

F

【2015,18】如图,四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 120? , E , F 是平面 ABCD 同一侧的 两点,BE ⊥平面 ABCD ,DF ⊥平面 ABCD ,BE ? 2 DF ,

AE ? EC .
(I)证明:平面 AEC ⊥平面 AFC ; (II)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.

【2014,19】如图三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 ,AB=BC,求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值.
o

29

【2013,18】如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° . (1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.

【2012,19】如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC= ⊥BD.

1 AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1 2
C1 A1 B1

(1)证明:DC1⊥BC; (2)求二面角 A1-BD-C1 的大小.

D C A B

【2011, 18】 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, ∠DAB=60° ,AB=2AD,PD
30

⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD;(Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余 弦值.

P

D A B

C

(2017· 19)如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD,

AB ? BC ?

1 AD , ?BAD ? ?ABC ? 90o ,E 是 PD 的中点. 2 (1)证明:直线 CE / / 平面 PAB;
(2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 45 ,求二面角 M-AB-D 的
o

余弦值

(2016· 19)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB=5,AC=6,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF=

5 ,EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D? EF 4

D?

的位置, OD? ? 10 . (Ⅰ)证明: D ?H ? 平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 B ? D?A ? C 的正弦值.
A B E D

O

H
F

C

31

(2015· 19)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4,过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一 个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值.

(2014· 18)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的 中点. (Ⅰ)证明:PB // 平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60? ,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

(2013· 18)如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , E 分别是 AB ,
2 AB . BB1 的中点, AA1 ? AC ? CB ? 2

A1 B1
E A D B

C1

C

(Ⅰ)证明: BC1 //平面 A1CD ;

? E 的正弦值. (Ⅱ)求二面角 D ? AC 1

(2012· 19)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AC ? BC ? ⊥BD.

1 AA1 ,D 是棱 AA1 的中点,DC1 2
C A1 D C A B
1

B1

(Ⅰ)证明:DC1⊥BC; (Ⅱ)求二面角 A1-BD-C1 的大小.

32

(2011· 18)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60° ,AB=2AD, PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值.

9.解析几何
一、选择题
2 【2017,10】已知 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线

l1 与 C 交于 A、B 两点,直线 l2 与 C 交于 D、E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为() A.16 B.14 C.12 D.10

【2016,10】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A, B 两点,交 C 的准线于 D, E 两点, 已知 AB ? 4 2 , DE ? 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为() A.2 【2016, 5】 已知方程 则n的 取值范围是() A. (?1,3) B. (?1, 3) C. (0,3) D. (0, 3 ) B.4 C.6 D.8

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线, 且该双曲线两焦点间的距离为 4 , m 2 ? n 3m 2 ? n

【2015,5】已知 M ( x0 , y0 ) 是双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1上的一点, F1 , F2 是 C 的两个焦点, 2

若 MF 1 ? MF 2 ? 0 ,则 y0 的取值范围是() A. ( ?

???? ? ???? ?

3 3 , ) 3 3

B. ( ?

3 3 , ) 6 6
2 2

C. ( ?

2 2 2 2 , ) 3 3

D. (?

2 3 2 3 , ) 3 3

【2014,4】已知 F 是双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条 渐近线的距离为

A . 3 B .3

C . 3m D . 3m
2

【2014,10】已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l ,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF
33

与 C 的一个交点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =()

??? ?

??? ?

A.

7 5 B . C .3 2 2

D .2

x2 y2 5 【2013,4】已知双曲线 C: 2 ? 2 =1 (a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程 a b 2
为( ). A.y= ?

1 x 4

B.y= ?

1 x 3

C.y= ?

1 x 2

D.y=± x

【2013, 10】 已知椭圆 E:
2 2

x2 y2 ? =1 (a>b>0)的右焦点为 F(3,0), 过点 F 的直线交 E 于 A, a 2 b2
)
2

B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( A.

x y ? =1 45 36

B.

x y ? =1 36 27

2

2

C.

x y2 ? =1 27 18

D.

x2 y2 ? =1 18 9

【2012,4】设 F1 、 F2 是椭圆 E: 上一点,

x2 y 2 3a ? 2 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,P 为直线 x ? 2 2 a b

的等腰三角形,则 E 的离心率为() ?F2 PF1 是底角为 30° A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5
2

【2012,8】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y ? 16 x 的准线交于 A,B 两点, | AB |? 4 3 ,则 C 的实轴长为() A. 2 B. 2 2 C.4 D.8

【2011,7】设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交于 A ,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为() A. 2 B. 3 C.2 D.3

(2017· 9)若双曲线 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一条渐近线被圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 所截 2 a b

得的弦长为 2,则 C 的离心率为() A.2 B. 3 C. 2 D.

2 3 3

(2016· 4)圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ? 1 ? 0 的距离为 1,则 a=() A. ?

4 3

B. ?

3 4

C. 3

D.2

34

(2016· 11)已知 F1,F2 是双曲线 E: 轴垂直, sin ?MF2 F1 ? A. 2

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点,点 M 在 E 上,M F1 与 x a 2 b2

1 ,则 E 的离心率为() 3 3 B. C. 3 2

D.2

(2015· 7)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 MN =() A. 2 6 B.8 C. 4 6 D.10

(2015· 11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且 顶角为 120° ,则 E 的离心率为() A. 5 B.2 C. 3 D. 2

(2014· 10) 设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30? 的直线交 C 于 A, B 两点, O 为坐标原点,则△OAB 的面积为() A. 3 3 4 B. 9 3

8

C. 63 32

D. 9 4

(2013· 11)设抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, | MF |? 5 ,若以 MF 为 直径的园过点 (0, 2) ,则 C 的方程为() A. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8 x B. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 8 x C. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x D.

y2 ? 2x



y 2 ? 16 x
(2013· 12)已知点 A(?1, 0) , B(1,0) , C (0,1) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将 △ABC 分割为面积相 等的两部分,则 b 的取值范围是() A. (0,1) B. (1 ?
2 1 , ) 2 2
2 1 , ] 2 3

C. (1 ?

1 1 D. [ , ) 3 2

(2012· 4)设 F1,F2 是椭圆 E:

x2 y2 3a 上的一 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点,P 为直线 x ? 2 2 a b

点, △F2 PF 1 是底角为 30?的等腰三角形,则 E 的离心率为() A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5

(2012· 8)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A, B 两点,|AB|= 4 3 ,则 C 的实轴长为() A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8 (2011· 7)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两 点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为() A. 2 B. 3 C.2 D.3

二、填空题
35

【2017,15】已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半 a 2 b2

径作圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点.若∠MAN=60° ,则 C 的离心率 为________. 【2015,14】一个圆经过椭圆 的标准方程为. 【2011,14】在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离

x2 y 2 ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆 16 4

心率为

2 .过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 两点,且 V ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为. 2

(2017· 16)已知 F 是抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点, ? 是 C 上一点, F? 的延长线交 y 轴于 点 ? .若 ? 为 F? 的中点,则 F? ? . (2014· 6)设点 M( x0 ,1),若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N,使得∠OMN=45? ,则 x0 的取 值范围是________. (2011· 14)在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心 率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为. 2

三、解答题 【2017,20】已知椭圆 C:

x2 y2 3 ,四点 P1(1,1) ,P2(0,1) ,P3(–1, ) , ? 2 =1(a>b>0) 2 a b 2

P4(1,

3 )中恰有三点在椭圆 C 上. 2

(1)求 C 的方程; (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A 与直 线 P2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点.

36

2 2 【2016,20】设圆 x ? y ? 2 x ? 15 ? 0 的圆心为 A ,直线 l 过点 B(1,0) 且与 x 轴不重合,

l 交圆 A 于 C , D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E .
(Ⅰ)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (Ⅱ)设点 E 的轨迹为曲线 C1 ,直线 l 交 C1 于 M , N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与 圆 A 交于 P, Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.

【2015,20】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C : y ?

x2 与直线 l : y ? kx ? a ( a ? 0 )交于 4

M , N 两点.
(Ⅰ)当 k ? 0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ) 在 y 轴上是否存在点 P , 使得当 k 变动时, 总有 ?OPM ? ?OPN ?说明理由.

x2 y 2 3 【2014,20】已知点 A (0,-2) ,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,F 是 a b 2
椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3
37

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大 时,求 l 的方程.

【2013,20】已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与 圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程;(2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点, 当圆 P 的半径最长时,求|AB|.

38

【2012,20】设抛物线 C: x 2 ? 2 py ( p ? 0 )的焦点为 F,准线为 l ,A 为 C 上一点,已 知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠BFD=90° ,△ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m , n 距离的比值.

【2011,20】在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足

r uu u r uuu r uu r uuu r uur uuu MB / /OA , MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C.
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的 最小值.

39

【2015,19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x (单位:千 元)对年销售量 y (单位: t )和年利润 z (单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi ( i ? 1, 2,?,8 )数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

x
46.6

y

w
6.8

? ( x ? x)
i ?1 i

8

2

? (w ? w)
i ?1 i

8

2

? ( x ? x)( y ? y) ? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i i ?1 i i

8

8

56 3

289.8

1.6

1469

108.8

表中 wi ?

xi , w ?

1 8 ? wi 8 i ?1

(Ⅰ)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年 宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x , y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(Ⅱ)的结果回 答下列问题: (i)年宣传费 x =49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ),(u2 , v2 ),?,(un , vn ) ,其回归直线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距

?? 的最小二乘估计分别为 ?

? (u ? u)(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u)
i ?1 i

n

? ?v?? ?u . ,?

2

40

(2017· 20)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1上,过 M 做 x 轴的垂线,垂 2

足为 N,点 P 满足 NP ? (1)求点 P 的轨迹方程;

??? ?

???? ? 2 NM .

(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且 OP ? PQ ? 1 .证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.

??? ? ??? ?

(2016· 20)已知椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上,A 是 E 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线 t 3

交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. (Ⅰ)当 t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积; (Ⅱ)当 2|AM|=|AN|时,求 k 的取值范围.

(2015· 20)已知椭圆 C: 9 x ? y ? m (m>0),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l
2 2 2

与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若 l 过点 (

m , m ) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否平行四边形? 3

若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由.

41

(2014· 20)设 F1,F2 分别是椭圆 x 2 ?
2

a

y2 ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 b2

与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率; 4 (Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a, b.

( 2013· 20 ) 平 面 直 角坐标 系 xOy 中 , 过 椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右 焦 点 F 的 直 线 a 2 b2

x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为
(Ⅰ)求 M 的方程;

1 . 2

(Ⅱ)C , D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ACBD 面积的 最大值.

(2012· 20)设抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上的一点,已知 以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (Ⅰ)若∠BFD=90?,△ABD 面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (Ⅱ)若 A、B、F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m,n 的距离的比值.

42

(2011· 20)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y =-3 上,M 点满足

r uu u r uuu r uur uuu r uur uuu MB / /OA , MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C .
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值 .

10.统计、概率分布列、计数原理(含解析)
一、选择题 【2017,2】如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色 部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点, 则此点取自黑色部 分的概率是() A.

1 4

B.

π 8

C.

1 2

D.

π 4

【2017,6】 (1 ? A.15

1 )(1 ? x)6 展开式中 x 2 的系数为() 2 x
B.20 C.30 D.35

【2016,4】某公司的班车在 7 : 30 , 8 : 00 , 8 : 30 发车,小明在 7 : 50 至 8 : 30 之间到达 发车站乘 坐班车,且到达发车丫的时候是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是() A.

1 3
2

B.
5

1 2

C.
5

2 3

D.

3 4

【2015,10】 ( x ? x ? y) 的展开式中, x y 的系数为()
2

A.10

B.20

C.30

D.60

【2015,4】投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮 投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为() A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 【2014,5】4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有 同学参加公益活动的概率()

A.

1 3 5 7 B. C. D. 8 8 8 8
43

【2013,3】为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生 进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而 男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系 统抽样 【2013,9】设 m 为正整数, ( x ? y)2 m 展开式的二项式系数的最大值为 a , ( x ? y)2m?1 展开 式的二项式系数的最大值为 b .若 13a=7b,则 m=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【2012,2】将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活 动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有() A.12 种 B.10 种
5

C.9 种

D.8 种

a ?? 1? ? 【2011,8】 ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为() x ?? x? ?
A. ?40 B. ?20 C.20 D.40

【2011,4】有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个 小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为() A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

(2017· 6)安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不 同的安排方式共有() A. 12 种 B. 18 种 C. 24 种 D. 36 种 (2016· 5)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年 公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()
G
? ?

F

?

E

A.24

B.18

C.12

D.9

(2016· 10) 从区间[0, 1]随机抽取 2n 个数 x1, x2, …, xn, y1, y2, …, yn, 构成 n 个数对 ( x1 , y1 ) ,

( x2 , y2 ) ,…, ( xn , yn ) ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的方
法得到的圆周率 π 的近似值为() A.

4n m

B.

2n m

C.

4m n

D.

2m n

(2015· 3) 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量 (单位: 万吨) 柱形图, 以下结论中不正确的是()

44

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著. B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效. C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势. D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关. (2014· 5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天 为优良的概率是 0.6, 已知某天的空气质量为优良, 则随后一天的空气质量为优良的概率 是() A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45

(2012· 2) 将 2 名教师, 4 名学生分成两个小组, 分别安排到甲、 乙两地参加社会实践活动, 每个小组由一名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有() A. 12 种 B. 10 种 C. 9 种 D. 8 种

(2011· 4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小 组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为() 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4

二、填空题 【2016,14】 (2 x ?

x ) 5 的展开式中, x 3 的系数是. (用数字填写答案)
8 2 2

【2014,13】 ( x ? y)( x ? y) 的展开式中 x y 的系数为.(用数字填写答案) 【2012,15】某一部件由三个电子元件按下图方式连接 元件1 而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元 元件3 件 3 正常工作,则部件正常工作.设三个 元件2 电子元件的使用寿命(单位:小时)均服 从正态分布 N(1000,502) ,且各个元件 能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为_________. (2017· 13) 一批产品的二等品率为 0.02 , 从这批产品中每次随机取一件, 有放回地抽取 100 D ? ? 次, ? 表示抽到的二等品件数,则 . (2016· 15) 有三张卡片, 分别写有 1 和 2, 1 和 3, 2 和 3. 甲, 乙, 丙三人各取走一张卡片, 甲看了乙的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” , 乙看了丙的卡片后说: “我 与丙的卡片上相同的数字不是 1” ,丙说: “我的卡片上的数字之和不是 5” ,则甲的卡片 上的数字是. (2013· 14)从 n 个正整数 1,2,?,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5

45

的概率为

1 ,则 n=______. 14

(2012· 15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且 元件 3 正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)服从正态 分布 N(1000,502),且各元件能否正常工作互相独立,那 么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为. 三、解答题 【2017,19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检 验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经
2 验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(μ,σ ).

元件 1 元件 3 元件 2

(1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之 外的零件数,求 P(X≥1)及 X 的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产 线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸: 9.95 10.26 经计算得 x ? 10.12 9.91 9.96 10.13 9.96 10.02 10.01 9.22 9.92 10.04 9.98 10.05 10.04 9.95

1 16 1 16 1 16 2 2 xi ? 9.97 , s ? ( x ? x ) ? (? xi ? 16 x 2 )2 ? 0.212 , ? ? i 16 i ?1 16 i ?1 16 i ?1

其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸,i=1,2,…,16.

? ,用样本标准差 s 作为 σ 的估计值 ? ? ,利用估计值 用样本平均数 x 作为 μ 的估计值 ?
? ? 3? ?, ? ? ? 3? ? ) 之外的数据,用剩下的数据 判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除 (?
估计 μ 和 σ(精确到 0.01).
2 附:若随机变量 Z 服从正态分布 N(μ,σ ),则 P(μ–3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,

0.997416≈0.9592, 0.008 ? 0.09 .

46

【2016, 19】 某公司计划购买 2 台机器, 该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件, 在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件 不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并 整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
频数
40

20

0

8

9

10

11

更换的易损零件数

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率, 记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损 零件数. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)若要求 P( X ? n) ? 0.5 ,确定 n 的最小值; (Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其 一,应选用哪个?

【2015,19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x (单位:千 元)对年销售量 y (单位: t )和年利润 z (单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi ( i ? 1, 2,?,8 )数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

47

x
46.6

y

w
6.8

? ( xi ? x)2
i ?1

8

? (wi ? w)2
i ?1

8

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

8

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

8

56 3

289.8

1.6

1469

108.8

表中 wi ?

xi , w ?

1 8 ? wi 8 i ?1

(Ⅰ) 根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年 宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x , y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(Ⅱ)的结果回 答下列问题: (i)年宣传费 x =49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ),(u2 , v2 ),?,(un , vn ) ,其回归直线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距

?? 的最小二乘估计分别为 ?

? (u ? u)(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u)
i ?1 i

n

? ?v?? ?u . ,?

2

48

【2014,18) 】从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测 量结果得如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2 (同一组数据用该区间的中点 值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (? , ? ) ,其
2

中 ? 近似为样本平均数 x , ? 2 近似为样本方差 s 2 . (i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区 间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N (? , ? ) , 则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0. 6826,P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0. 9544.
2

49

【2013,19】一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验, 这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优 质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品, 则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为

1 ,且各件 2

产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作 质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望.

【2012,18】某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的 价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1) 若花店一天购进 16 枝玫瑰花, 求当天的利润 y (单位: 元) 关于当天需求量 n(单 位:枝, n ? N )的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) , 求 X 的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理 由.

50

【2011,19】某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量 指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做 试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数 [90,94) 8 [94,98) 20 [98,102) 42 [102,106) 22 [106,110] 8

B 配方的频数分布表 指标值分组 频数 [90,94) 4 [94,98) 12 [98,102) 42 [102,106) 32 [106,110] 10

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2, t ? 94 ? y ? ? 2,94 ? t ? 102 ? 4, t ? 102 ?
从用 B 配方生产的产品中任取一件, 其利润记为 X (单位: 元) , 求 X 的分布列及数学期望. (以 试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)

【2014,18) 】从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测 量结果得如下频率分布直方图:

51

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中点 值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (? , ? ) ,其
2

2

中 ? 近似为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s .
2 2

(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii) 某用户从该企业购买了 100 件这种产品, 记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区 间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2.
2 若 Z ~ N (? , ? ) , 则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0. 6826,P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0. 9544.

52

【2013,19】一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验, 这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优 质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品, 则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为

1 ,且各件 2

产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作 质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望.

【2012,18】某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的 价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1) 若花店一天购进 16 枝玫瑰花, 求当天的利润 y (单位: 元) 关于当天需求量 n(单 位:枝, n ? N )的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) , 求 X 的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理 由.

53

【2011,19】某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量 指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做 试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数 [90,94) 8 [94,98) 20 [98,102) 42 [102,106) 22 [106,110] 8

B 配方的频数分布表 指标值分组 频数 [90,94) 4 [94,98) 12 [98,102) 42 [102,106) 32 [106,110] 10

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2, t ? 94 ? y ? ? 2,94 ? t ? 102 ? 4, t ? 102 ?
从用 B 配方生产的产品中任取一件, 其利润记为 X (单位: 元) , 求 X 的分布列及数学期望. (以 试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)

54

(2017· 18)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网,收获时各 随机抽取了 100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg)某频率直方图如下:

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记 A 表示事件:旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有 关: 箱产量<50kg 旧养殖法 新养殖法 (3) 根据箱产量的频率分布直方图, 求新养殖法箱产量的中位数的估计值 (精确到 0.01) 箱产量≥50kg

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(2016· 18)某险种的基本保费为 a(单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续 保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下: 0 1 2 3 上年度出险次数 0.85a a 1.25a 1.5a 保费 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 0 1 2 3 一年内出险次数 0.30 0.15 0.20 0.20 概率 (Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 4 1.75a 4 0.10

?5
2a

?5 0. 05

(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率;

55

7. (2015· 18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个 用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A 地区 B 地区 62 73 73 83 81 62 92 51 95 91 85 46 74 53 64 73 53 64 76 82 78 93 86 48 95 65 66 81 97 74 78 56 88 54 82 76 76 65 89 79

(Ⅰ) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图, 并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ;

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C: “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级” ,假设两地区 用户的评价结果相互独立, 根据所给数据, 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 求 C 的概率.

(2014· 19)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收 入的变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.

?? 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: b

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n



2

? . ? ? y ? bt a
(2013· 19)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元, 未售出的产品,每 1t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分 布直方图, 如有图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农
56
频率/ 组距

0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

O 10011 120 140 150 需 求 130

产品.以 x(单位:t,100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; (Ⅲ) 在直方图的需求量分组中, 以各组的区间中点值代表该组的各个需求量落入该区间 的频率作为需求量取该区间中点值的概率 (例如: 若 x∈[100, 110), 则取 x=105, 且 x=105 的概率等于需求量落入[100, 110)的概率) ,求利润 T 的数学期望.

10. (2012· 18)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元 的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店某天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单 位:枝,n∈N)的函数解析式; (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列、数 学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说 明理由.

11. (2011· 19)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质 量指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配 方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试
57

验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数 指标值分组 频数 [90,94) 8 [90,94) 4 [94,98) 20 [94,98) 12 [98,102) [102,106) [106,110] 42 22 8 [98,102) [102,106) [106,110] 42 32 10

B 配方的频数分布表

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2 , (t < 94) ? ,求 y ? ? 2 , (94 ? t < 102),从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ? 4 , (t ? 102) ?
X 的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指 标值落入相应组的概率)

11.复数及其运算(含解析)
一、选择题 【2017,3】设有下面四个命题
58

1 p1 : 若复数 z 满足 ? R ,则 z ? R ; p2 : 若复数 z 满足 z 2 ? R ,则 z ? R ; z

p3 : 若复数 z1 , z2 满足 z1 z2 ? R ,则 z1 ? z2 ; p4 : 若复数 z ? R ,则 z ? R .
其中的真命题为() A. p1 , p3 B. p1 , p4 C. p2 , p3 D. p2 , p4

【2016,2】设 (1 ? i) x ? 1 ? yi ,其中 x, y 是实数,则 x ? yi ? () A. 1 B. 2 C. 3 D. 2

【2015,1】设复数 z 满足

1? z ? i ,则 | z | =() 1? z
C. 3 D.2

A.1 【2014,2) 】

B. 2

(1 ? i )3 =() (1 ? i ) 2

A . 1 ? i B . 1 ? i C . ?1 ? i D . ?1 ? i
【2013,2】若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( A.-4 B. ? ).

4 5

C.4

D.

4 5

【2012,3】下面是关于复数 z ?

2 的四个命题: ?1 ? i

p1 : | z |? 2 ; p2 : z 2 ? 2i ; p3 : z 的共轭复数为1 ? i ; p4 : z 的虚部为 ?1 .
其中的真命题为() A. p2 , p3 【2011,1】复数 B. p1 , p2 C. p2 , p4 D. p3 , p4

2?i 的共轭复数是() 1 ? 2i
B. i

A. ? i

3 5

3 5

C. ?i

D. i

(2017· 1)

B. 1 ? 2 i C. 2 ? i D. 2 ? i (2016· 1)已知 z ? (m ? 3) ? (m ? 1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围 是() A. (-3,1) B. (-1,3) C. (1,+∞) D. (-∞,-3)

3?i ? () 1? i A. 1 ? 2 i

(2015· 2)若 a 为实数且(2+ai)(a-2i) = -4i,则 a=()
59

A.-1

B.0

C.1

D.2

(2014· 2)设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? () A.- 5 B.5 C.- 4+ i D.- 4 -i

(2013· 2)设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则 z ? () A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i

(2012· 3)下面是关于复数 z ? P1:|z|=2, P2:z2=2i, A. P2,P3 (2011· 1)复数 A. ? i

2 的四个命题中,真命题为() ?1? i
P4:z 的虚部为-1 . D. P3,P4 C. P2,P4

P3:z 的共轭复数为 1+i,

B. P1,P2

2?i 的共轭复数是() 1 ? 2i
B. i

3 5

3 5

C. ? i

D. i

12.程序框图
一、选择题 【2017,8】右面程序框图是为了求出满足 3n ? 2n ? 1000 的最小偶数 n, 那么在和和两个空白框中,可以分别填入 A.A>1000 和 n=n+1B.A>1000 和 n=n+2 C.A ? 1000 和 n=n+1D.A ? 1000 和 n=n+2

开始

输入x, y, n
n ? n ?1

x ? x?

n ?1 , y ? ny 2



x2 ? y 2 ? 36?
是 输出x, y

结束

【2017,8】 【2016,9】 【2015,9】 【2016,9】执行右面的程序框图,如果输入的 x ? 0 , y ? 1 , n ? 1 ,则输出 x, y 的值满 足() A. y ? 2 x B. y ? 3 x C. y ? 4 x D. y ? 5 x

【2015,9】执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? ()
60

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

【2014,7】执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =()

A.

20 16 7 15 B. C . D. 3 2 5 8
).

【2013,5】执行下面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属于( A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5]

【2012,6】如果执行右边和程序框图,输入正整数 N ( N ? 2 )和 实数 a1 , a2 ,…, aN ,输出 A,B,则() A. A ? B 为 a1 , a2 ,…, aN 的和 B.

A? B 为 a1 , a2 ,…, aN 的算术平均数 2

C. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,…, aN 中最大的数和最小的数 D. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,…, aN 中最小的数和最大的数

【2013,5】 【2012,6】 【2011,3】 【2011,3】执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是()
61

A.120

B.720

C.1440

D.5040 D.5

(2017· 8)执行右面的程序框图,如果输入的 a ? ?1 ,则输出的 S ? () A.2 B.3 C.4

开始

输入x, n

开始

k ? 0,s ? 0
输入a

输入 x,t
M ?1,S ? 3

s ? s? x ?a
k ? k ?1
k?n


k ?1
k ?t
否 输出 S 结束



M?



M x k

输出s

S ?M ?S

结束

k ? k ?1

(2017· 8) (2016· 8) (2015· 8) (2014· 7) (2016· 8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该 程序框图,若输入的 x=2,n=2,依次输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s=() A.7 B.12 C.17 D.34

(2015· 8) 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》 中的 “更相减损术” . 执行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=() A.0 B.2 C.4 D.14

(2014· 7)执行右面程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= () A.4 B.5 C.6 D.7

开始 输入 N k=1, p=1 p=p· k k<N 否 输出 p 结束 k=k+1 是

62

(2013· 6) (2012· 6) (2011· 3) (2013· 6)执行右面的程序框图,如果输入的 N ? 10 ,那么输出的 S ? () A. 1 ? C. 1 ?

1 1 1 ? ? ?? 2 3 10

B. 1 ? D. 1 ?

1 1 1 ? ??? 2! 3! 10!

1 1 1 ? ??? 2 3 11

1 1 1 ? ? ?? 2! 3! 11!

(2012· 6)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,?,aN,输入 A、B,则() A. A+B 为 a1,a2,?,aN 的和 B. A ? B 为 a1,a2,?,aN 的算术平均数
2

C.A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最大的数和最小的数 D. A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最小的数和最大的数 (2011· 3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是() A.120 B.720 C.1440 D.5040

13.坐标系与参数方程
一、解答题
? x ? 3cos ? , 【2017,22】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,直线 l ? y ? sin ? , ? x ? a ? 4t , 的参数方程为 ? ( t 为参数) . ? y ? 1 ? t,

(1)若 a ? ?1 ,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 , 求a.

63

【 2016 , 23 】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cost , ( t 为参数, ? y ? 1 ? a sin t ,

a ? 0) .在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 4 cos? .
(Ⅰ)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ? 0 ,其中 ? 0 满足 tan? 0 ? 2 ,若曲线 C1 与 C 2 的公 共点都在 C3 上,求 a .

64

【2015,23】在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以
2 2

坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程; (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N ,求

?C2 MN 的面积.

【2014,23】已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与 最小值.
o

【2013,23】已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x ? y ? 5 ? 5sin t

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

65

【2012,23】已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x ? y ? 3 sin ?

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 。正方形 ABCD 的顶点都 在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 的取值范围。

? ) 。 3

【2011,23】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? y ? 2 ? 2sin ?

M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线 ? ? 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

uu u v

uuuv

?
3

66

(2017· 22)[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? 4 . (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 | OM | ? | OP |? 16 ,求点 P 的 轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)设点 A 的极坐标为 (2,

?
3

) ,点 B 在曲线 C2 上,求 ?OAB 面积的最大值.

23)【选修 4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 (2016·
( x + 6)2 + y 2 = 25 .
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 直线 l 的参数方程是 ? 求 l 的斜率.

? x ? tcos? l 与 C 交于 A, B 两点, AB = 10 , (t 为参数) , ? y ? tsin?

(2015· 23) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1:?

? x ? t cos ? (t 为参数, t≠0) 其中 0 ? ? ? ? , ? y ? t sin ?

在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2: ? ? 2sin ? , C3: ? ? 2 3 cos? . (Ⅰ)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (Ⅱ)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

67

(2014· 23)在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? , ? ?[0, ? ] .

2

(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得 到的参数方程,确定 D 的坐标.

? x ? 2cos t , (2013· 23)已知动点 P , Q 都在曲线 C : ? ( t 为参数)上,对应参数分别为 t ? ? ? y ? 2sin t

与 t ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点. (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

(2012· 23)已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴 ? y ? 3sin ?
? 3

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ= 2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ( 2, ) . (Ⅰ)点 A,B,C,D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2 的取值范围.

68

? x ? 2cos ? (2011· 23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,M ? y ? 2 ? 2sin ?
是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2. (Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

uu u v

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?
3

与 C1 的异于极点

14.不等式选讲
一、解答题 【2017,23】已知函数 f ? x ? ? ?x ? ax ? 4 , g ? x ? ? x ?1 ? x ?1 .
2

(1)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? g ? x ? 的解集; (2)若不等式 f ? x ? ? g ? x ? 的解集包含 ??1,1? ,求 a 的取值范围.

【2016,23】已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2x ? 3 . (Ⅰ)在答题卡第(24)题图中画出 y ? f ( x) 的图像; (Ⅱ)求不等式 f ( x) ? 1 的解集.

y

1 O

1

x

69

【2015,24】已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (I)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (II)若 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

【2014,24) 】若 a ? 0, b ? 0 ,且

1 1 ? ? ab . a b

3 3 (Ⅰ) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

【2013,24】已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1,且当 x∈ ? ?

? a 1? , ? 时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? 2 2?

70

【2012,24】已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 2 | 。 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含[1,2], 求 a 的取值范围。

【2011,24】设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

? ,求 a 的值。

(2017· 23)已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,证明:
3 3

(1) (a ? b)(a ? b ) ? 4 ;
3 3

(2) a ? b ? 2 .

71

(2016· 24)已知函数 f ( x) ?| x ? (Ⅰ)求 M;

1 1 的解集. | ? | x ? | ,M 为不等式 f ( x) < 2 2 2

(Ⅱ)证明:当 a,b∈M 时, a + b < 1 + ab .

(2015· 24)设 a,b,c,d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明: (Ⅰ)若 ab > cd ,则 a ? b ? c ? d ; (Ⅱ) a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件.

(2014· 24)设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? a | (a ? 0) .

a

(Ⅰ)证明:f (x) ≥ 2; (Ⅱ)若 f (3) < 5,求 a 的取值范围.

(2013· 24)设 a、b、c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 .

a 2 b2 c 2 1 证明: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ? ; (Ⅱ) ? ? ? 1 . b c a 3

72

(2012· 24)已知函数 f(x) = |x + a| + |x-2|. (Ⅰ)当 a =-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (Ⅱ)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

(2011· 24)设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1} ,求 a 的值.

73


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