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高中数学新课标人教A版选修2-2《1.4生活中的优化问题举例》课件2


1.4

生活中的优化问题举例

问题提出

1.在什么条件下,函数f(x)在闭区间 [a,b]上一定存在最大值和最小值?
函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线

2.如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线,那么如 何求出函数f(x)在区间[a,b]上的最大 值和最小值?
将函数f(x)在开区间(a,b)上的所有极值 与区间端点函数值进行比较,其中最大者为 最大值,最小者为最小值.

3.生活中经常遇到求利润最高,产量最 大,成本最低,用料最省等实际问题, 这些问题通常称为优化问题.解决优化问 题的本质就是求函数的最值,因此,以 函数为载体导数为工具,解决生活中的 优化问题,是数学应用领域的一个重要 课题.

探究(一):海报版面尺寸的设计

【背景材料】学校或班级举行活动,通 常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一 张如图所示的竖向张贴的海报,要求版 心面积为128dm2,上、下两边各空2dm, 左、右两边各空1dm.

思考1:版心面积为定值128dm2,海报 的面积是否也为定值?

128 (x + 4)( + 2) x

128 (x + 4)( + 2) - 128 x
思考2:设版心的高为x,则海报的面积 为多少?海报四周空白的面积为多少?

思考3:设海报四周空白的面积为S(x), 则S(x)的最简表达式如何?其定义域是 什么?

512 S (x ) = 2x + + 8, x > 0 x

思考4:海报四周空白的面积S(x)是否存 在最值?若存在,如何求其最值?

512 S (x ) = 2x + + 8, x > 0 x
版心高为16dm, 宽为8dm时, 思考5:如何设计海报的尺寸,才能使四 周空白面积最小?

探究(二):饮料瓶大小对饮料公司利

润的影响
【背景材料】某制造商制造并出售球形 瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是 0.8π r2分,其中r(单位:cm)是瓶子的 半径.已知每出售1mL的饮料,制造商可 获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最 大半径为6cm.

思考1:1mL饮料所占的体积是多少cm3? 半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料?

4 3 pr 3
思考2:每瓶满装的饮料的利润(单位: 分)是多少? 4

0.2 ?

思考3:设每瓶满装饮料的利润为f(r), 则函数f(r)的定义域是什么? (0,6]

3

pr

3

0.8p r

2

r 2 思考4:函数 f (r ) = 0.8p( - r )(0 < r 3

3

6)

是否存在最值?若存在,如何求其最值?
f (x )min 3.2p = f (2) = 3

f (x )max = f (6) = 28.8p

r 思考5:函数 f (r ) = 0.8p( - r 2 )(0 < r 3

3

6)

的大致图象是什么?据图象分析,瓶子 半径的大小对制造商的利润产生什么影 响? y 当0<r<3时,利润为负 值;当r=3时,利润为 零;当r>3时,利润为 O 正值,并随着瓶子半径 的增大利润也相应增大.

2 3 6 x

思考6:市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些(如半斤装的白酒比 一斤装的白酒平均价格要高),在数学 上有什么道理? 将包装盒捏成球状,因为小包装的半径 小,其利润低,生产商就提高销售价格 来平衡与大包装的利润.

探究(三):磁盘的最大存储量问题

【背景材料】计算机把信息存储在磁盘 上,磁盘是带有磁性介质的圆盘,并由 操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道 是指不同半径所构成的同心圆轨道,扇 区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道 上的定长的弧可作为基本存储单元,根 据其磁化与否可分别记录数据0或1,这 个基本单元通常称为比特,磁盘的构造 如图所示.

为了保障磁盘的分辨率,磁道之间 的宽度必须大于m,每比特所占用的磁道 长度不得小于n.为了数据检索的方便, 磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的 比特数. R
r

思考1:现有一张半径为R的磁盘,它的 存储区是半径介于r与R的环形区域,且 最外面的磁道不存储任何信息,那么这 张磁盘的磁道数最多可达多少? R

R- r m

最内一条磁道.

r

思考2:由于每条磁道上的比特数相同, 那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条 磁道上的比特数?

思考3:要使磁盘的存储量达到最大,那 么最内一条磁道上的比特数为多少?
R

2p r n

r

思考4:这张磁盘的存储量最大可达到多 少比特?

R - r 2p r × m n

思考5:若R为定值,r为变量,那么这张
2p r (R - r )(0 < r < R ) 磁盘的存储量 f (r ) = mn

如何变化?有何最值?

R

r

R r = 时,存储量最大. 2

思考6:如果每条磁道存储的信息与磁道 的长度成正比,那么如何计算磁盘的存 储量?此时,是不是r越小,磁盘的存储 R 量越大?

m r = 时,存储量最大. 2

r

2p r 2p (r + m ) 2p (R - m ) f (r ) = + +L + n n n p = (R + r - m )(R - r ) mn

理论迁移

例 某汽车制造厂有一条价值为60万元 的汽车生产线,现要通过技术改造来提 高其生产能力,进而提高产品的增加值. 已知投入x万元用于技术改造,所获得的 产品的增加值为(60-x)x2万元,并且技 x ? (0, 5] .求当技改投入 改投入比率 60 ? x 多少万元时,所获得的产品的增加值为 最大? 技改投入40万元

小结作业

1.解决优化问题的基本思路:
优化问题 用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

2.解决优化问题的实质是将实际问题 化归为函数的最值问题来处理,其探究 过程是一个典型的数学建模过程.对目标 函数的最值,要根据函数式的特点,用 适当的方法求解,有时用基本不等式或 二次函数图象求最值比用导数更方便. 3.对优化问题中的函数关系,要注意 根据实际背景确定函数的定义域,如果 目标函数在定义域内只有一个极值点, 则这个极值点一般就是最值点.

例1 一艘轮船在航行中每小时的燃料 费和它的速度的立方成正比,已知在速 度为每小时10km时,燃料费是每小时6元, 其它与速度无关的费用是每小时96元, 问此轮船以何种速度航行时,能使每行 驶1km的总费用最小? 20km/h

例2 用总长为14.8m的钢条制作一个长 方体容器的框架,如果所制作的容器的 底面的一边比另一边长0.5m,那么当容 器的高为多少时,其容积最大?最大容 积为多少? 高为1.2m,最大容积为1.8m3.

例3 如图所示,一条宽为1m的走廊与 另一条走廊垂直相连,要使一条长为8m 的细杆能水平通过拐角,问另一条走廊 的宽度至少为多少m?
细杆 走廊

3 3m

1m

走廊


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