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高考数学第1部分重点强化专题专题1三角函数与平面向量突破点1三角函数问题课_图文

专题一 三角函数与平面向量 突破点 1 三角函数问题 栏 目 导 航 核心知识 聚集 热点题型 探究 专题限时集训 建知识网络 明内在联系 [ 高考点拨] 三角函数与平面向量是浙江新高考的高频考点,常以“两小一大” 的形式呈现,两小题主要考查三角函数的图象和性质与平面向量内容,一大题 常考查解三角形内容,有时平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇.本 专题按照“三角函数问题”“解三角形”“平面向量”三条主线分门别类进行 备考. (对应学生用书第 7 页) [核心知识提炼] 提炼 1 三角函数的图象问题 (1)函数 y=Asin(ωx+φ)解析式的确定:利用函数图象的最高点和最低点确定 A,利用周期确定 ω,利用图象的某一已知点坐标确定 φ. (2)三角函数图象的两种常见变换 提炼 2 三角函数奇偶性与对称性 π (1)y=Asin(ωx+φ),当 φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;当 φ=kπ+2(k∈Z)时为偶函 π 数;对称轴方程可由 ωx+φ=kπ+2(k∈Z)求得,对称中心的横坐标可由 ωx +φ=kπ,(k∈Z)解得. π (2)y=Acos(ωx+φ),当 φ=kπ+2(k∈Z)时为奇函数;当 φ=kπ(k∈Z)时为偶函 数;对称轴方程可由 ωx+φ=kπ(k∈Z)求得,对称中心的横坐标可由 ωx+φ π =kπ+2(k∈Z)解得. y=Atan(ωx+φ),当 φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;对称中心的横坐标可由 ωx+φ kπ = 2 (k∈Z)解得,无对称轴. 提炼 3 三角变换常用技巧 (1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45° 等. (2)项的分拆与角的配凑:如 sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β) +β 等. (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化:一般是切化弦. 提炼 4 三角函数最值问题 (1)y=asin x+bcos x+c 型函数的最值:可将 y 转化为 y= a2+b2sin(x+φ)+ b c 其中 tan φ=a的形式,这样通过引入辅助角 φ 可将此类函数的最值问题转 化为 y= a2+b2sin(x+φ)+c 的最值问题,然后利用三角函数的图象和性质 求解. (2)y=asin2x+bsin xcos x+ccos2x 型函数的最值:可利用降幂公式 sin2x= 1-cos 2x 1+cos 2x sin 2x 2 2 , sin x cos x = , cos x = ,将 y = a sin x+bsin xcos x+ 2 2 2 ccos2x 转化整理为 y=Asin 2x+Bcos 2x+C, 这样就可将其转化为(1)的类型来 求最值. [高考真题回访] 回访 1 三角函数的图象问题 1.(2016· 浙江高考)函数 y=sin x2 的图象是( ) D [∵y=sin(-x)2=sin x2, 2 π π ∴函数为偶函数,可排除 A 项和 C 项;当 x=2时,sin x2=sin 4 ≠1,排除 B 项,故选 D.] 2. (2014· 浙江高考)为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象, 可以将函数 y= 2cos 3x 的图象( ) π A.向右平移4个单位 π B.向左平移4个单位 π C.向右平移12个单位 π D.向左平移12个单位 C [因为 y=sin 3x+cos 3x= = = ? ? π ?? 2sin?3?x+12??,又 y= ?? ? ? ? π? 2sin?3x+2?= ? ? ? π? 2sin?3x+4? ? ? 2cos 3x ? ? π ?? 2sin?3?x+6??, ?? ? ? π 所以应由 y= 2cos 3x 的图象向右平移12个单位得到.] 3 3.(2013· 浙江高考)函数 f(x)=sin xcos x+ 2 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 ( A.π,1 C.2π,1 B.π,2 D.2π,2 ) 【导学号:68334026】 ? π? 1 3 2π A [f(x)=2sin 2x+ 2 cos 2x=sin?2x+3?,所以最小正周期为 T= 2 =π,振 ? ? 幅 A=1.] 回访 2 三角函数的性质问题 4.(2016· 浙江高考)设函数 f(x)=sin2x+bsin x+c,则 f(x)的最小正周期( A.与 b 有关,且与 c 有关 B.与 b 有关,但与 c 无关 C.与 b 无关,且与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关 ) ?1 ? 1 1-cos 2x B [当 b=0 时,f(x)=sin x+c= 2 +c=?2+c?-2cos 2x,其最小正周 2 ? ? 期为 π. 当 b≠0 时,φ(x)=sin2x+c 的最小正周期为 π,g(x)=bsin x 的最小正周期为 2π,所以 f(x)=φ(x)+g(x)的最小正周期为 2π. 综上可知,f(x)=sin2x+bsin x+c 的最小正周期与 b 有关,但与 c 无关.] 5.(2015· 浙江高考)函数 f(x)=sin2x+sin xcos x+1 的最小正周期是________,最 小值是________. 【导学号:68334027】 3- 2 2 π [ f ( x ) = sin x+sin xcos x+1 2 1-cos 2x 1 3 2 ? π? = 2 +2sin 2x+1=2+ 2 sin?2x-4?. ? ? ? π? 2π 3 2 ? ? 故最小正周期 T= 2 =π.当 sin 2x-4 =-1 时,f(x)取得最小值为2- 2 = ? ? 3- 2 .] 2 6.(2017· 浙江高考)已知函数 f(x)=sin2 x-cos2 x-2 3sin

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