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2017届河南中原名校豫南九校高三理上学期质检四数学试卷(带解析)


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2017 届河南中原名校豫南九校高三理上学期质检四数学试卷 (带解析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1.已知集合 A ? x ? N 4 x ? x2 ? 0 ,B ? x ? N log 2 ? x ? 1? ? 2 ,则 A ? B 等于( A. ?2 ,3? 2. 已知 B. ?3 ,4? C. ?4 ,5? D. ?5 ,6? )

?

?

?

?



?

3 ? i ? z ? ? 3i( i 是虚数单位) , 那么复数 z 对应的点位于复平面内的 (

?

A.第一象限 3.下列四个命题:

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

p1 :任意 x ? R ,2 x ? 0 ; p2 :存在 x ? R ,x 2 ? x ? 1 ? 0 ; p3 :任意 x ? R ,sin x ? 2 x ; p4 :存在 x ? R , cos x ? x 2 ? x ? 1 .

其中的真命题是( A. p1 ,p2

) B. p2 ,p3 C. p3 ,p4 D. p1 ,p4

4.若直线 x ? ay ? 2 ? 0 与以 A ? 3 , 1? , B ?1 ,2? 为端点的线段没有公共点,则实数 a 的 取值范围是( A. ? ?2 , 1?
1? ? C. ? ?1 , ? 2? ?

) B. ? ?? , ? 2? ? ?1 , ? ? ?
?1 ? D. ? ?? , ? 1? ? ? , ? ? ? ?2 ?


5. 要得到函数 = sin(2 + 6)的图象, 只需将 = cos(2 ? 6)图象上的所有点 ( A. 向左平行移动 个单位长度
6





B. 向右平行移动 个单位长度
6



C. 向左平行移动12个单位长度



D. 向右平行移动12个单位长度



6.已知等差数列{}的公差 ≠ 0,是其前项和,若2 ,3 ,6 成等比数列,且
试卷第 1 页,总 5 页

10 = ?17,则2 的最小值是(
A. ?
1 2




15 32

B. ?

5 8

C. ?

3 8

D. ?

7.已知某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则该几何体的表面积是(



A. 9 ? 4 C. 11 ? 2

?

2 ? 5 cm 2 2 ? 5 cm 2

?

B. 10 ? 2

? ?

2 ? 3 cm 2 2 ? 3 cm 2

?

?

?

D. 11 ? 2

?

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 8 .已知实数 x , 满足 y ? x ? 3 y ? 5 ? 0 ,若目标函数 z1 ? 3x ? y 的最小值的 7 倍与 ? kx ? y ? 5k ? 0 ?
z2 ? x ? 7 y 的最大值相等,则实数 k 的值为(



A.2

B.1

C. ?1

D. ?2

9.在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ,点 M 是侧面 ABB1 A1 内的一点,若 MC 与平
MC 与平面 ACC1 A1 所成的角也为 30 ? , 面 ABC 所成的角为 30 ? , 则 MC 与平面 BCC1 B1 所

成的角正弦值为( A.


2 2

1 2

B.

C.

3 2

D. )

3 3

10.函数 f ? x ? ?

sin 3 x 的图象大致为( 3x ? 3? x

11.如果直线 ax ? by ? 7 ? a ? 0 ,b ? 0? 和函数 f ? x? ? 1 ? logm x ? m ? 0 ,m ? 1 ? 的图象恒 过同一个定点, 且该定点始终落在圆 ? x ? b ? 1? ? ? y ? a ? 1? ? 25 的内部或圆上, 那么
2 2

b a

的取值范围是( 4? ?3 A. ? , ? 3? ?4
3? ? D. ? 0 , ? 4? ?


3? ?4 ? ? B . ? 0 , ? ? ? ,? ? ? 4? ?3 ? ? ?4 ? C. ? , ? ? ? ?3 ?

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2 ? ? x ? 2 ,x ? 0 12.已知函数 f ? x ? ? ? 的图象恰有三对点关于原点成中心对称,则 a ? ??3 x ? a ? a ,x ? 0

的取值范围是( ? 17 ? , ? 1? A. ? ? ? 16 ?


? 17 ? ,? 2? B. ? ? ? 8 ?

19 ? ? C. ? 1 , ? 16 ? ?

17 ? ? D. ? 1 , ? 16 ? ?

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13.已知两个平面向量,满足|| = 1,| ? 2| = 21,且与的夹角为120°,则 || =__________. 14.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”,如图所示,“海宝”从圆心 T 12 ? ? 出发,先沿北偏西 ? ? sin ? ? ? 方向行走 13 米至点 A 处,再沿正南方向行走 14 米至点 13 ? ?

B 处,最后沿正东方向行走至点 C 处,点 B ,C 都在圆 T 上,则在以线段 BC 中点为坐 标原点 O ,正东方向为 x 轴正方向,正北方向为 y 轴正方向的直角坐标系中,圆 T 的标
准方程为 .

V 的 球 , 若 A B ? B C, A1 BC 15 . 在 封 闭 的 直 三 棱 柱 A B C? 1 1内 有 一 个 体 积 为 AB ? 6 ,BC ? 8 , AA1 ? 5 ,则 V 的最大值是



16 . 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y ? f ? x ? 的 导 函 数 为 y ? f '? x? , 当 x ? 0 时 ,
f '? x? ? f ? x? x ? 0 ,若 a ? ?2 f ? ?2 ? ,b ?

1 ?1? ? 1? ? 1? f ? ? , c ? ? ln ? f ? ln ? ,则 a ,b ,c 的大 2 ?2? ? 2? ? 2?

小关系是 评卷人 得分



三、解答题 17.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S5 ? a5 ? a6 ? 25 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若不等式 2Sn ? 8n ? 27 ? ? ?1? k ? an ? 4? 对所有的正整数 n 都成立,求实数 k 的取值
n

范围.

? 18 . 设 △ ABC 的 三 内 角 A ,B ,C 的 对 边 分 别 是 a ,b ,c , 向 量 n ? ? b ,c? a ?,
?? ? ? n ? ?sin B ? sin C ,sin A ? sin C ? ,且 m ? n .

(1)求角 A 的大小;
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(2)若 a ? 2 ,c ? 4 3sin B ,求 △ ABC 的面积. 19.已知函数 f ? x ? ? a ? x2 ? 1? ? ln x . (1)当 a ? 0 时,解关于 x 的不等式 f ? x ? ? 2a ; (2)若对任意 a ? ? ?4 , ? 2? 及 x ? ?1 ,3? 时,恒有 ma ? f ? x ? ? a2 成立,求实数 m 的取 值范围. 20.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 1 ,AD ? a , PA ? 平面ABCD ,且 PA ? 1 , E ,F 分 别为 AD ,PA 中点,在 BC 上有且只有一个点 Q ,使得 PQ ? QD .

(1)求证:平面 BEF ∥平面PDQ ; (2)求二面角 E ? BF ? Q 的余弦值. 21. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 M 的半径为 5 , 且圆 M 与圆 N :x2 ? y 2 ? Ey ? 0 外切,切点为 A ? 2 ,4 ? . (1)求 E 及圆 M 的标准方程; (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于点 B ,点 C ,且 BC ? OA ,求直线 l 的方程; ??? ??? ??? ? (3)设点 T ? t ,0? 满足:存在圆 M 上的两点 P 和 Q ,使得 TA ? TP ? TQ ,求实数 t 的 取值范围. 22.已知函数 f ? x ? ? ex ? ax2 ? bx . (1)当 a ? 0 ,b ? ?1 时,求 f ? x ? 的单调区间; (2)设函数 f ? x ? 在点 P ?t , f ?t ? ? ? 0 ? t ? 1? 处的切线为 l ,直线 l 与 y 轴相交于点 Q , 若点 Q 的纵坐标恒小于 1,求实数 a 的取值范围.

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.B 【解析】 试









A ? x ? N 4x ? x2 ? 0 = ?x ? N 0 ? x ? 4? ={0,1,2,3,4} ,B ? x ? N log 2 ? x ? 1? ? 2 ? ?x ? N x ? 3?

?

?

?

?

所以 A ? B

? ?3 ,4?

,选 B.

考点:集合运算 【方法点睛】 1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合 类型,是数集、点集还是其他的集合. 2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解. 3.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元 素离散时用 Venn 图表示; 集合元素连续时用数轴表示, 用数轴表示时要注意端点值的取舍. 2.C 【解析】
z? ? 3i 3?i ?

试题分析: 于复平面内的第三象限.选 C. 考点:复数几何意义 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四 则 运 算 , 要 切 实 掌 握 其 运 算 技 巧 和 常 规 思 路 , 如

? 3 ? i? ? ? ? 3 ? i ?? 3 ? i ?
? 3i

3 ? 3i 3 3i ?? ? 4 4 4

? 3 3? ? ? ? 4 ,? 4 ? ? ?位 , z 对应的点 ?

(a ? bi )(c ? di ) ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ,(a, b, c.d ? R) . 其次要熟悉复数相关基本概念,
如复数 a ? bi (a, b ? R) 的实部为 a 、虚部为 b 、模为 a 2 ? b2 、对应点为 (a , b) 、共轭为

a ? bi.
3.D 【解析】
x 试题分析:对于 x ? R ,2 ? 0 , p1 为真命题;

1 3 x 2 ? x ? 1 ? ( x ? )2 ? ? 0 2 4 , p2 为假命题;

sin(?

3? ? 3? ? 3 1 ) ?1? 2 2 cos x ? cos ? ? x2 ? x ? 1 x?? p 2 6 2 2时 , 3 为假命题; , p4 为真命题;

选 D. 考点:命题真假 4.D 【解析】 试 题 分 析 : 直 线
x ? ay ? 2 ? 0







C ? 2,

?

,

0 所



答案第 1 页,总 13 页

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1 1 ? ? (kCB , kCA ) ? (?2,1) ? a ? (??, ?1) ? ( , ??) a 2 ,选 D.
考点:直线位置关系 5.D 【解析】试题分析: = cos(2 ? 6) = cos(2 + 3 ? 2) = sin(2 + 3) = sin[2( + 12) + 6],向 右平移 个单位得 = sin(2 + ).选 D.
12 6

















考点:三角函数图像变换 【思路点睛】三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现 在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母 x 而言. 函数 y=Asin(ωx+φ),x∈R 是奇函数? φ=kπ(k∈Z);函数 y=Asin(ωx+φ),x∈R 是偶函数? φ=kπ +(k∈Z); 函数 y=Acos(ωx+φ), x∈R 是奇函数? φ=kπ+(k∈Z); 函数 y=Acos(ωx+φ), x∈R 是偶函数? φ=kπ(k∈Z). 6.A 【 解 析 】 试 题 分 析 : (1 + 2)2 = (1 + )(1 + 5) ? = ?21 ,10 = 1 + 9 = ?17 , ∴1 = 1, = ?2, = 2 ? 2 ,
+1
2+1

> ,
2



?1
2?1

> , = 4时, = ? 最小.选 A.


2


2

1 2

考点:等差数列与等比数列综合,数列最值 【方法点睛】求解数列中的最大项或最小项的一般方法 先研究数列的单调性, 可以用{

≥ +1 ≤ +1 ≥ ?1或{ ≤ ?1也可以转化为函数最值问题或利用数形

结合求解. 7.C 【解析】 试题分析:如图所示,该几何体是棱长为 2 的正方体砍去两个小三棱柱得到的四棱柱,其表
1 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? 4 ? ? 1? ? 11 ? 2 2 ? ? 面积

?

2 ? 5 cm 2

?

.选 C.

考点:三视图 【思想点睛】空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的 位置关系及数量. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 8.A 【解析】

答案第 2 页,总 13 页

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1 ,2 ? 试题分析: z1 ? 3x ? y 过点 ? 取最小值 5,联立方程
kx ? y ? 5k ? 0 ,得 k ? 2 .选 A.

? x ? 7 y ? 35 ? ?x ? 3y ? 5 ? 0

,解得

?x ? 7 ? ?y ? 4

,代入

考点:线性规划 【易错点睛】 线性规划的实质是把代数问题几何化, 即数形结合的思想.需要注意的是: 一, 准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜 率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边 界上取得. 9.B 【解析】 试 题 分 析 : 以 MC 为 对 角 线 作 长 方 体 , 设 MC 与 平 面 BCC1 B1 所 成 的 角 为 ? , 则
sin ? ? 2 2 .选 B.

sin ? ? sin 30? ? sin 30? ? 1 ,故
2 2 2

考点:线面角 10.A 【解析】 试题分析:

f ? ?x? ?

? sin 3x ? f ? x? f x 3? x ? 3x ,故函数 ? ? 为偶函数,即函数图象关于 y 轴对称;当

x ? 0 且趋于原点时, f ? x ? ? 0 ,又当 x ? 0 且无限大时, f ? x ? 趋于 0,故选 A.

考点:函数图像 【思路点睛】(1)运用函数性质研究函数图像时,先要正确理解和把握函数相关性质本身的 含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点 时,要注意用好其与条件的相互关系,结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量

“f ” 正负转化,周期可实现自变量大小转化,单调性可实现去 ,即将函数值的大小转化自
变量大小关系 11.A 【解析】 试题分析:根据指数函数的性质,可知函数
f ? x ? ? 1 ? logm x ,? m ? 0 , m ? 1?

恒过定点

?1 , 1 ? ,将点 ?1 ,1? 代入 ax ? by ? 7 ,可得 a ? b ? 7 ,由于 ?1 ,1? 始终落在所给圆的内部或
?a ? b ? 7 ?a ? 3 ?a ? 4 ? ? ? 2 2 2 2 b ? 4 ?b ? 3 a ,b ? 3 ,4 ? a ? b ? 25 ? a ? b ? 25 ? 圆上, 所以 , 由 , 解得 或 , 这说明点 ? 在以 ?



? 4 ,3?

4? ?3 b ?4 ,3? ? .选 A. 为端点的线段上运动,所以 a 的取值范围是 ?

考点:直线与圆位置关系
答案第 3 页,总 13 页

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12.D 【解析】 试题分析: 由题意, 问题转化为函数
y ? ?3 x ? a ? a ? x ? 0?



y ? 2 ? x2 ? x ? 0 ?

的图象恰有三

个公共点,显然 a ? 0 时,不满足条件,当 a ? 0 时,画出草图如图,
2 2 方程 2 ? x ? 3x ? 4a ,即 x ? 3x ? 4a ? 2 ? 0 有两个小于 ?a 的实数根.

? ? ? 9 ? 4 ? 4a ? 2 ? ? 0 ? 2 ?a ? 2 ? a 17 ?a ? 0 1? a ? ? 16 .选 D。 结合图形,有 ,∴

考点:函数图像交点 【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其 表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质. (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象 研究. 13.2 【解析】试题分析:| ? 2| = 21 ? ? 4 ? + 4 = 21 ? 1 + 2|| + 4 = 21 ? || = 2(负舍) 考点:向量数量积 【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法 (1)求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式 a· b=|a||b|cos θ;二是坐标公式 a· b=x1x2 +y1y2;三是利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进 行化简. 14.
2 2 2

x2 ? ? y ? 9? ? 225
2

【解析】 试 题 分 析 :

TB2 ? TA2 ? AB2 ? 2TA ? AB cos A ? 169 ? 196 ? 2 ? 13 ? 14 ?
2

5 ? 225 13



2 OT ? 14 ? 13 ? cos ? ? 9 ,∴圆 T 方程为 x ? ? y ? 9? ? 225 .

考点:圆方程

答案第 4 页,总 13 页

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32 ? 15. 3 【解析】
试题分析:由题意得要使球的体积最大,则球与直三棱柱的若干面相切,设球的半径为 R , 6 ? 8 ? 10 ?2 △ ABC 2 ∵ 的内切圆半径为 , ∴ R ? 2 , 又 2R ? 5 , ∴ R ? 2 , ∴ 4 32 Vmax ? ? ? 23 ? ? 3 3 . 考点:内切球体积 【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化 为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点 P,A,B,C 构成的三条线段 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=a,PB=b, 2 2 2 2 PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用 4R =a +b +c 求解. 16. b ? c ? a 【解析】
f '? x? ? g ( x) ? xf ? x ? 试题分析: 令 , 则当 x ? 0 时, f ? x? x ? g ?( x) ?0 g ?( x) ? 0 , x , 所以当 x ? 0 时,

1 1 1 a ? g (?2) ? g (2), b ? g ( ), c ? g (ln ) ? g (ln 2) 2 ? ln 2 ? 2 2 2 ,所以 a ? c ? b 因为 ,而
考点:利用导数比较大小 【方法点睛】利用导数比较大小,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构

? 造 . 构 造 辅 助 函 数 常 根 据 导 数 法 则 进 行 : 如 f ( x) ? f ( x ) 构 造 f ?( x) ? f ( x) ? 0 构 造 g ( x? )
x

g ( x) ?

f ( x) ex , f ( x) x ,

e

( f ,)x xf ?( x) ? f ( x) 构 造

g ( x) ?

xf ?( x) ? f ( x) ? 0 构造 g ( x) ? xf ( x) 等
17. (Ⅰ) an ? 3n ? 4 (Ⅱ) 【解析】

?7 ? k ?

29 4

试题分析: (Ⅰ)求等差数列通项公式,一般方法为待定系数法,即根据条件列出关于首项 5? 4 5a1 ? d ? a1 ? 4d ? a1 ? 5d ? 25 2 与公差的方程组: ,解之得 a1 ? ?1 ,d ? 3 ,最后代入通

项公式 (Ⅱ) 先化简不等式: 最大值;当 n 为偶数时,

? ?1?

n

k ? n ?1?

9? ? 9 k ? ?? n ?1? ? n? ? n, 再分奇偶讨论当 n 为奇数时,

k ? n ?1?

9 n 最小值,最后根据基本不等式及数列单调性求最值:

答案第 5 页,总 13 页

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9 9 ?7 n ?1? n n 的最小值为 7,当 n 为偶数 因为当且仅当 n ? 3 时 ,所以当 n 为奇数时, 9 29 n ?1? n ? 4 n 的最小值为 4 ,从而可得实数 k 的取值范围. 时, 时, 5? 4 5a1 ? d ? a1 ? 4d ? a1 ? 5d ? 25 d 2 试题解析:解: (1)设公差为 ,则 ,∴ a1 ? ?1 ,d ? 3 . n ?1?
a ∴ ? n ? 的通项公式为 an ? 3n ? 4 .
Sn ? ?n ? 3n ? n ? 1? 2

(2)

2 , 2Sn ? 8n ? 27 ? 3n ? 3n ? 27 , an ? 4 ? 3n ;

? ?1?

n

k ? n ?1?

9? ? 9 9 k ? ?? n ?1? ? k ? n ?1? n ? ? ;当 n 为偶数时, n ,当 n 为奇数时, n,

9 9 ?7 n ?1? n ? 3 n n n 的最小值为 7,当 n 为 ∵ ,当且仅当 时取等号,∴当 为奇数时, 9 29 29 n ?1? ?7 ? k ? n ? 4 n 4 .????????10 分 4 偶数时, 时, 的最小值为 ,∴ n ?1?
考点:等差数列通项公式,基本不等式,数列单调性 【易错点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基 本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数 ) 、“定”(不等式的另一边必须为定值 ) 、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.

18. (Ⅰ) 【解析】

A?

?

3 3 3 (Ⅱ) 7

试题分析: (Ⅰ)先根据向量数量积得 定 理将角 化为边 得

b ? sin B ? sin C ? ? ? c ? a ?? sin A ? sin C ? ? 0

,再由正弦

b ? b ? a ? ? ? c ? a ?? a ? c ? ? 0

? 2 2 , 即 b ? c ? a ? bc , 最后由 余弦定 理得

cos A ?
S?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? A? 3 (Ⅱ)三角形面积公式选用 2bc 2 ,结合三角形内角范围解出

1 bcsin A B 化为边的关系: 2 ,问题转化为求边:由正弦定理将条件 c ? 4 3 sin

a b 2 4 3b ? ? ? ? c ? 3b ? s i nA s iB n c sin 2 2 2 3 ,再结合余弦定理得 b ? c ? a ? bc ,解方程组可得

b2 ?

3 3 4 1 S ? 3b2 sin A ? 7 7 ,因此 2

试题解析:解: (1)因为 m ? n ,所以 由正弦定理得

b ? sin B ? sin C ? ? ? c ? a ?? sin A ? sin C ? ? 0
? 2 2 ,∴ b ? c ? a ? bc ,



b ? b ? a ? ? ? c ? a ?? a ? c ? ? 0

答案第 6 页,总 13 页

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∴由余弦定理得

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? A? 3 .????????6 分 2bc 2 ,∴ △ ABC 中,

a sin B ac c a b b? ? ? ? sin A 4 3 sin A 3 , (2)因为 a ? 2 , c ? 4 3 sin B , sin A sin B ,∴

c2 c2 2 ? c ? 4 ? 2 2 2 3 , 又 b ? c ? a ? bc ,∴ 9
c? 6 7 ,b ? 2
1 3 3 S ? bc sin A ? 7 ,∴ △ ABC 的面积 2 7 .??????????12 分



考点:正余弦定理 【名师点睛】1.选用正弦定理或余弦定理的原则 在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓 住能够利用某个定理的信息. 2.(1)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用. (2)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其它边角的问题时,首先必须判断 是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用. 19. (Ⅰ) x ? 1 (Ⅱ) m ? ?2 【解析】 试题分析: (Ⅰ)因为
f ?1? ? 2a

,所以不等式等价于
0 ,? ??

f ? x ? ? f (1)

,先利用导数研究函数

f ? x ? ? a ? x2 ? 1? ? ln x

单调性: 在?

上是增函数, 所以 x ? 1 (Ⅱ) 不等式恒成立问题,
x ? ?1 ,3?

一般转化为对应函数最值问题,而对双变量问题,先确定一变量,本题先看作 等式恒成立问题,等价于



ma ? a2 ? f ? x ?max

,而利用导数易得

f ? x?

1 ,3? 在? 上是减函数,所

2 a ? ? ?4 , ? 2? 以 ma ? a ? f (1) ? 2a , 即 m ? a ? 2 , 最 后 根 据 恒 成 立 得

m ? (a ? 2)min ,(a ? 2)min ? ?2 因此 m ? ?2

试题解析:解: (1) 当 a ? 0 时,恒有 又
f ?1? ? 2a

f ' ? x ? ? 2ax ?

1 2ax2 ? 1 ? ? x ? 0? x x ,
在?
0 ,? ??

f '? x? ? 0 f ? x ? ? 2a

,则 化为

f ? x?

上是增函数,

,∴

f ? x ? ? f ?1?

,∴ x ? 1 .??????4 分 时, ,

(2)由题意知对任意 恒有

a ? ? ?4 ,? 2 ?



x ? ?1 ,3?

ma ? f ? x ? ? a2

成立,等价于

ma ? a2 ? f ? x ?max

答案第 7 页,总 13 页

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a ? ? ?4 , ? 2?

时,由

f '? x? ?

1 2ax2 ? 1 ?0 x? ? 2a , x 得

因为 从而 所以 因为

a ? ? ?4 , ? 2? f ? x?

2 1 1 ? ? ? ?1 2a 2 ,所以 4 ,

1 ,3? 在? 上是减函数,
2 ,所以 ma ? a ? 2a ,即 m ? a ? 2 ,

f ? x ?max ? f ?1? ? 2a
a ? ? ?4 , ? 2?

,所以 ?2 ? a ? 2 ? 0 ,所以实数 m 的取值范围为 m ? ?2 .??????12

分 考点:利用导数解不等式,利用导数研究不等式恒成立 【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 (1)分离参数法:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该 函数的最值, 根据要求得所求范围.一般地, f(x)≥a 恒成立, 只需 f(x)min≥a 即可; f(x)≤a 恒成立,只需 f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法:将不等式转化为某含待求参数的函数的最 值问题,利用导数求该函数的极值(最值),然后构建不等式求解.
30 20. (Ⅰ)详见解析(Ⅱ) 6

【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明面面平行,一般方法为利用线面平行给予证明,即先证线面平行,而 线面平行的证明, 往往利用线线平行给予证明, 线线平行的寻找与论证, 往往利用平几知识, 即三角形中位线性质得 EF ∥DP 及平行四边形性质得 BE ∥ QD (Ⅱ)求二面角,一般利用 空间向量进行求解,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出各面 法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角之间关系求解 ??? ? ???? ??? ? 试题解析:解: (1)方法一:以 A 点为原点,分别以 AB ,AD ,AP 的方向为 x 轴, y 轴,
z 轴的正方向,

建立空间直角坐标系 Axyz , 则 设 若
A ? 0 ,0 ,0? , B ?1 ,0 ,0 ? , D ?0 , a, 0? , P ?0 ,0 , 1? Q ?1 ,x ,0?
PQ ? QD

, ,??????????2 分

,则

??? ? PQ ? ?1 , x ,? 1?



???? DQ ? ? ?1 , a ? x ,0?


,则

??? ? ???? PQ ? QD ? ?1 ? x ? a ? x ? ? 0

2 2 即 x ? ax ? 1 ? 0 ,? ? a ? 4 ,

∴ ? ? 0 ,a ? 2 ,x ? 1 .???????4 分

答案第 8 页,总 13 页

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???? Q ?1 , 1 ,0? ,QD ? ?1 , 1 ,0?

, ,

又 E 是 AD 中点,∴

E ?0 , 1 ,0 ?

??? ? BE ? ? ?1 , 1, 0?

???? ??? ? ,∴ QD ? BE ,∴ BE ∥ DQ ,

又 BE ? 平面PDQ , DQ ? 平面PDQ ,∴ BE ∥平面PDQ , 又 F 是 PA 中点,∴ EF ∥PD , ∵ EF ? 平面PDQ , PD ? 平面PDQ ,∴ EF ∥平面PDQ , ∵ BE ? EF ? E , BE ,EF ? 平面PDQ ,∴平面 BEF ∥平面PDQ .????????6 分 方法二: (几何法)题意转化为矩形 ABCD 中只需 AQ 垂直于 QD 的点 Q 只有一个,则以 AD 为直径的圆与线段 BC 相切,易得 BC ? 2 ,Q 是线段 BC 的中点,由 BE ∥ QD ,EF ∥DP , 易得两平面平行.???6 分

?? ?? ??? ? ?? ??? ? m ? ?x , y, z? BFQ m ? BF ? m ? BQ ?0, (2)设平面 是一个法向量 ,则
??? ? ? 1? ? BF ? ? ?1 ,0 , ? ??? BQ ? ? 0 , 1 ,0? 2 ? ? 由(1)知 , ,

1 ?? z? y?0 m ? ?1 ,0 ,2? 2 ∴ ,取 z ? 2 ,得 , ? n ? ?1 , 1 ,2? 同样求平面 BEF 的一个法向量 , ?? ? ?? ? m?n 30 cos ? m ,n ?? ?? ? ? 6 m n , ?x ?
30 ∴二面角 E ? BF ? Q 的余弦值为 6 .????12 分

考点:面面平行的判定,利用空间向量求二面角 【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建 恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法 向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.

x ? 6? ? ? y ? 7? ? 25 21 . (1) E ?5 , ? ( 2 ) 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 15 ? 0 . ( 3 )
2 2

答案第 9 页,总 13 页

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? 2 ? 2 21 ,2 ? 2 21 ? ? ?

【解析】 试题分析: (1) 切点在圆上, 代入圆方程可得 E ? 5 , 由于两圆外切, 所以 M 在直线 AN 上, 又圆 M 的半径为 5 ,所以 AM ? 5 ,解方程组可得圆心 M 坐标,即得圆方程,注意根的取舍
d? m?5 5

(2) 实际为弦长问题, 根据垂径定理列等量关系: 设直线 l 的方程为 y ? 2 x ? m , 则
2



? BC ? r2 ? d 2 ? ? ? P x , y1 ? Q ? x2 ,y2 ? ? 2 ? , 再由 得 m ? 5 或 m ? ?15 . (3) 先确定坐标关系: 设 ? 1 , , ? x ? x1 ? 2 ? t ??? ??? ??? ? ? 2 2 2 y ? y1 ? 4 x ? 6? ? ? y2 ? 7? ? 25 由 TA ? TP ? TQ 得 ? 2 ,而点 Q 在圆 M 上,所以 ? 2 ,代入化

简得 ?

x1 ? t ? 4? ? ? y1 ? 3? ? 25
2 2

,即点

P ? x1 , y1 ?

? x ? ? t ? 4?? ? ? ? y ? 3? ? 25 上,而点 在圆 ?
2 2

P ? x1 , y1 ?

又 在 圆 M 上 , 所 以 两 圆 有 交 点 , 根 据 两 圆 位 置 关 系 得
2

2 ? ? 5?5? ? ?? t ? 4 ? ? 6 ? ? ? ? 3 ? 7 ? ? 5 ? 5 ,解得实数 t 的取值范围是 ? 2 ? 2 21 ,2 ? 2 21 ? .

试 题 解 析 : 解 :( 1 ) 由
E ? 5 ,????????1 分

A ? 2 ,4 ?

2 2 在 圆 x ? y ? Ey ? 0 得 4 ? 16 ? 4 E ? 0 , ∴

5? 25 5? ? ? N ?0 , ? x2 ? ? y ? ? ? 2 2 2? , x ? y ? Ey ? 0 2 4 ? ? 圆 化为 ,圆心为 ?

2

直线 AN 方程为 设
M ?a , b?
2

y?

3 5 x? 4 2,

3 5 b? a? 4 2 ,且 a ? 2 , ,则
2

又?

a ? 2? ? ?b ? 4? ? 25
2

,∴ a ? 6 ,b ? 7 .
2

∴圆 M 的方程为 ?

x ? 6? ? ? y ? 7? ? 25

.????????????4 分

4?0 ?2 (2)因为直线 l ∥ OA ,所以直线 l 的斜率为 2 ? 0 ,
设直线 l 的方程为 y ? 2 x ? m ,即 2 x ? y ? m ? 0 ,
d? 2?6 ? 7 ? m 5 ? m?5 5 ,

则圆心 M 到直线 l 的距离

答案第 10 页,总 13 页

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2 2 因为 BC ? OA ? 2 ? 4 ? 2 5 ,

? BC ? ? m ? 5? MC ? d ? ? 25 ? ?5 ? ? 2 ? ,所以 5 而 ,解得 m ? 5 或 m ? ?15 .
2
2

2

2

故直线 l 的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 15 ? 0 .??????????8 分 (3)设
P ? x1 , y1 ?



Q ? x2 ,y2 ?



? x2 ? x1 ? 2 ? t ??? ??? ??? ? ? y ? y1 ? 4 A 2 ,4 ? T ? t ,0? TA ? TP ? TQ 因为 ? , , ,所以 ? 2 ,①

因为点 Q 在圆 M 上,所以 ? 将①代入②,得 ? 于是点
P ? x1 , y1 ?
2 2

x2 ? 6? ? ? y2 ? 7? ? 25
2 2 2

,②

x1 ? t ? 4? ? ? y1 ? 3? ? 25


2 2

? x ? ? t ? 4?? ? ? ? y ? 3? ? 25 上, 既在圆 M 上,又在圆 ?
2

x ? 6? 从而圆 ?

? ? y ? 7? ? 25
2

? x ? ? t ? 4?? ? ? ? y ? 3? ? 25 有公共点, 与圆 ?
2 2
2

5?5? ? ?? t ? 4 ? ? 6 ? ? ? ?3 ? 7 ? ? 5 ? 5 , 所以

解得 2 ? 2 21 ? t ? 2 ? 2 21 .
? 2 ? 2 21 ,2 ? 2 21 ? ? .??????????12 分 因此,实数 t 的取值范围是 ?

考点:圆方程,直线与圆位置关系,两圆位置关系 【方法点睛】确定圆的方程方法 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a, b)和半径 r 有关, 则设圆的标准方程依据已知条件列出关于 a, b, r 的方程组,从而求出 a,b,r 的值; ②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于 D、 E、F 的方程组,进而求出 D、E、F 的值. 1 a?? ?? ,0 ? 0 ,? ?? ? ? 2 22. (Ⅰ)单调递减区间为 ,单调递增区间为 (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先明确函数定义域,再求函数导数

f ' ? x ? ? ex ? 1

,根据导函数零点进行分

答案第 11 页,总 13 页

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类讨论: 当

x ? ? ?? ,0?

f ' x ?0 ?? ,0 ? x ? ?0 , ? ? 时, ? ? , 因此减区间为 ? , 当 0 ,? ??

? 时,f ' ? x ? ? 0

递增区间为

,递减区间为 ?

(Ⅱ)根据导数几何意义得切线的斜率

k ? f ' ?t ? ? et ? 2at ? b
得点 Q 的纵坐标

,再根据点斜式写出切线方程

y ? ? et ? at 2 ? bt ? ? ? et ? 2at ? b? ? x ? t ?



y ? ?1 ? t ? et ? at 2 ? 0 ? t ? 1?

1 ? t ? et ? at 2 ? 1 ,即不等式 ? 恒成立,而不等式恒

成立问题,一般转化为对应函数最值问题: :

a?

(1 ? t )et ? 1 , ? 0 ? t ? 1? t2 的最大值,利用导数

研究函数

y?

( 1? t e )t ? 1 , ? 0? t ? ? 1 t2 单调性,为单调递减,再利用洛必达法则得

x ? 0, y ?
求解

(1 ? t )et ? 1 ?et 1 ?1 ? ?? a… 2 2 ,也可直接构造差函数,分类讨论最值进行 t 2 2 ,因此

试题解析:解: (1)当 a ? 0 ,b ? ?1 时, 分 所以,当 所以函数 分 (2)因为
x ? ? ?? ,0? f ? x? f '? x? ? 0

f ? x ? ? ex ? x , f '? x ? ? e x ? 1

.????????1

时,

;当

x ? ?0 ,? ??

时,

f '? x? ? 0

.??????3 分 .????????4

的单调递减区间为 ?

?? ,0 ?

, 单调递增区间为 ?

0 ,? ??

f ' ? x ? ? ex ? 2ax ? b

,所以

P ?t , f ?t ? ?

处切线的斜率 ,

k ? f ' ?t ? ? et ? 2at ? b



所以切线 l 的方程为 令 x ? 0 得,

y ? ? et ? at 2 ? bt ? ? ? et ? 2at ? b? ? x ? t ?

y ? ?1 ? t ? et ? at 2 ? 0 ? t ? 1?

.????????????5 分

当 0 ? t ? 1 时,要使得点 Q 的纵坐标恒小于 1,

1 ? t ? et ? at 2 ? 1 t ? 1? et ? at 2 ? 1 ? 0 ? 0 ? t ? 1? 只需 ? ,即 ? .??????????6 分


g ? t ? ? ? t ? 1? et ? at 2 ? 1

,则

g ' ?t ? ? t ? et ? 2a ?

.????????????7 分

t 因为 0 ? t ? 1 ,所以 1 ? e ? e ,

①若 2 a ? ?1 ,即 所以,当

a??

1 t 2 时, e ? 2a ? 0 ,
g ' ?t ? ? 0

t ? ?0 , 1?

时,

,即

g ?t ?

在?

0, 1?

上单调递增,

答案第 12 页,总 13 页

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所以

恒成立,所以 e a?? t 2 a ? ? e 2 时, e ? 2a ? 0 , ②若 即 所以,当 所以
t ? ?0 , 1?

g ?t ? ? g ? 0? ? 0

a??

1 2 满足题意.????????????8 分

时,

g ' ?t ? ? 0

,即

g ?t ?

在?

0, 1?

上单调递减,

,所以 e 1 ? ?a?? 2 时, 0 ? ln ? ?2a ? ? 1 , ③若 ?e ? 2a ? ?1 ,即 2 则t 、
g '?t ?

g ? t ? ? g ? 0? ? 0

a??

e 2 不满足题意.??????????9 分



g ?t ?

的关系如下表:

t
g '?t ? g ?t ?

?0 ,ln ? ?2a??
?

ln ? ?2a ?

? ln ? ?2a ? ,1?
?
递增

0 极小值

递减

所以

g ? ln ? ?2a ?? ? g ? 0? ? 0

e 1 ? ?a?? 2 不满足题意, ,所以 2 1 ? 时,此时点 Q 的纵坐标恒小于 2 时 , g ? t? ? 0 ? 0 ? t ? 1

结 合 ①②③ , 可 得 , 当 1.??????12 分 考点:利用导数求函数单调区间,利用导数研究不等式恒成立

a??

答案第 13 页,总 13 页


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