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2016-2017学年四川省成都市武侯区高一(上)期末数学试卷


2016-2017 学年四川省成都市武侯区高一(上)期末数学试卷 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1( .5 分) 满足条件{0, 1}∪A={0, 1}的所有集合 A 的个数是 ( A.1 个 函数是( A.y=x
3

11. (5 分)平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1, 则| +2 |=( A. B. ) C.4 D.12
a



B.2 个 )

C .3 个

D.4 个

2. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的 B.y=|x|+1 C.y=﹣x +1
2

12 . (5 分)设 a,b,c 均为正数,且 2 =



D.y=2

﹣|x|

3. (5 分)下列函数中,与函数 y= A.f(x)=lnx B.

有相同定义域的是(
x

) A.a<b<c



,则(



C.f(x)=|x| D.f(x)=e 的值等于( )

B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<a<c

4. (5 分)若 tanα=3,则 A.2 B.3 C.4 D.6

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13 . ( 5 分 ) 求 值 sin160°?cos160° ( tan340°+ = .
2



5. (5 分)将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中,t 分钟后甲桶中 剩余的水符合指数衰减曲线 y=ae ,假设过 5 分钟后甲桶和乙桶 的水量相等,若再过 m 分钟甲桶中的水只有 ( ) ) 升,则 m 的值为
nt

14. (5 分)若函数 y=x ﹣8x 在区间(a,10)上为单调函数,则 a 的取值范围为 . . 15. (5 分)已知点 A(0,0) ,B(6,﹣4) ,N 是线段 AB 上的一 点,且 3AN=2AB,则 N 点的坐标是 16. (5 分)函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A,且 f(x1) =f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数.例如 f(x)=2x+1 (x∈R)是单函数,下列命题: ①函数 f(x)=x (x∈R)是单函数; ②函数 f(x)=2 (x∈R)是单函数, ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号)
x 2

A.7 B.8 C.9 D.10 6. (5 分)函数 y=cos2x+8cosx﹣1 的最小值是( A.0 B.﹣1 C.﹣8 ) D.﹣10

7. (5 分)函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如图,则函数 y=f(x) ?g(x)的图象为(

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) A. B. C. D. 17. (12 分)如图, (1)若 (2)若 A. B. C. D. ∥ ⊥ =(6,1) , =(x,y) , =(﹣2,3)

8. (5 分)将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位 后,得到函数 y=sin(x﹣ )的图象,则 φ 等于( )

,试求 x 与 y 之间的表达式; ,且 ,求 x,y 的值.

9. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) = A.﹣1 B.0 C.1 D.2 )+sinα= ,则 sin(α+ ) ,则 f(2009)的值为( ) 18. (12 分)函数 f1(x)=lg(﹣x﹣1)的定义域与函数 f2(x) =lg(x﹣3)的定义域的并集为集合 A,函数 g(x)=2 ﹣a(x≤2, a∈R)的值域为集合 B (1)求集合 A,B B. C. D. (2)若集合 A,B 满足 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 19. (12 分)已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合, 第 1 页(共 7 页)
x

10. (5 分)已知 cos(α﹣ 的值是( A. )

终边经过点 P(﹣3,

) .

(1)求 sin2α﹣tanα 的值; (2)若函数 f(x)=cos(x﹣α)cosα﹣sin(x﹣α)sinα,求函数 y= f( ﹣2x)﹣2f (x)在区间[0,
2 2

]上的取值范围.

20. (12 分)设 f(x)=mx +3(m﹣4)x﹣9(m∈R) (1)试判断函数 f(x)零点的个数 (2)若满足 f(1﹣x)=f(1+x) ,求 m 的值 (3)若 m=1 时,存在 x∈[0,2]使得 f(x)﹣a>0(a∈R)成 立,求 a 的取值范围. 21. (12 分)已知 O 为坐标原点, ﹣2 sinxcosx+1) ,f(x)= ? =(2sin x,1) , +m(m∈R) ,π],求 y=f(x)的单调递增
2

=(1,

(1)若 f(x)的定义域为[﹣ 区间 (2)若 f(x)的定义域为[

,π],值域为[2,5],求 m 的值. +ln +2

22. (10 分) (1)计算:log2.56.25+lg (2)已知 x+x =3,求 x ﹣x .
﹣1

2

﹣2

第 2 页(共 7 页)

( 2016-2017 学年四川省成都市武侯区高一(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1( .5 分) 满足条件{0, 1}∪A={0, 1}的所有集合 A 的个数是 ( A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 【解答】解:由{0,1}∪A={0,1}易知: 集合 A? {0,1} 而集合{0,1}的子集个数为 2 =4 故选 D
2



A.7 B.8 C.9 D.10 【解答】解:令 即 ∵ =e , =e ,∴
5n nt

a=ae ,

nt



=e

15n



比较知 t=15,m=15﹣5=10. 故选:D. 6. (5 分)函数 y=cos2x+8cosx﹣1 的最小值是( )

2. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的 函数是( A.y=x
3

A.0 B.﹣1
2

C.﹣8

D.﹣10
2

) B.y=|x|+1 C.y=﹣x +1
2

【解答】解:函数 y=cos2x+8cosx﹣1=2cos x+8cosx﹣2=2(cosx+2) D.y=2
﹣|x|

﹣10,

【解答】解:逐一考查所给的选项: A.y=x 是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增,不合题意; B.y=|x|+1 是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递增; C.y=﹣x +1 是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,不合题 意; D.y=2
﹣|x|

因为 cosx∈[﹣1,1],所以 cosx=﹣1 时,函数取得最小值:﹣8. 故选:C. 7. (5 分)函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如图,则函数 y=f(x) ?g(x)的图象为( )

3

2

是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,不合题意.

故选:B.

3. (5 分)下列函数中,与函数 y= A.f(x)=lnx B.

有相同定义域的是(
x



C.f(x)=|x| D.f(x)=e 的定义域是{x|x>0},

【解答】解:函数

对于 A:定义域是{x|x>0}, 对于 B:定义域是{x|x≠0}, 对于 C:定义域是 R, 对于 A:定义域是 R, 故选:A. D. 4. (5 分)若 tanα=3,则 A.2 B.3 C.4 D.6 【解答】解: 故选 D 5. (5 分)将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中,t 分钟后甲桶中 剩余的水符合指数衰减曲线 y=ae ,假设过 5 分钟后甲桶和乙桶 的水量相等,若再过 m 分钟甲桶中的水只有 升,则 m 的值为 第 3 页(共 7 页)
nt

A.

B.

C.

的值等于(



【解答】解:由图象可知,y=f(x)为偶函数,其定义域为 R, y=g(x)为奇函数,其定义域为{x|x≠0} ∴f(﹣x)?g(x)=﹣f(x)?g(x) , ∴y=f(x)?g(x)为奇函数,且定义域为{x|x≠0} ∴f(x)?g(x)的图象关于原点对称, 故选:A. 8. (5 分)将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位 后,得到函数 y=sin(x﹣ )的图象,则 φ 等于( )

=

=2tanα=6

A.

B.

C.

D.

12 . (5 分)设 a,b,c 均为正数,且 2 =

a



【解答】解:将函数 y=sinx 向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位得到 函数 y=sin(x+φ) . 根据诱导公式知当 φ= 故选 D. 9. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) = A.﹣1 B.0 C.1 D.2 ,则 f(2009)的值为( ) π 时有: y=sin (x+ π) =sin (x﹣ ) . A.a<b<c , ,则( )

B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<a<c ,

【解答】解:分别作出四个函数 y=
x

y=2 ,y=log2x 的图象,观察它们的交点情况. 由图象知: ∴a<b<c. 故选 A.

【解答】解:∵当 x>3 时满足 f(x)=﹣f(x﹣3)=f(x﹣6) , 周期为 6, ∴f(2009)=f(334×6+5)=f(5)=f(﹣1) 当 x≤0 时 f(x)=1﹣x) ∴f(﹣1)=1 ∴f(2009)=f(﹣1)=log22=1 故选:C.

10. (5 分)已知 cos(α﹣ 的值是( A. 【 解 ) B. 答

)+sinα=

,则 sin(α+



C. 】

D. 解 : ∵ , 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分) 求值 sin160°?cos160° (tan340°+ ) = 1 . )

∴ ∴

, 【解答】解:原式= =﹣ sin320°(tan340°+ ) )

sin40°(﹣tan20°﹣ sin40°(tan20°+

. 故选 C

=

= 11. (5 分)平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1, 则| +2 |=( A.
2

?

) C.4 D.12

=1. 故答案为:1. 14. (5 分)若函数 y=x ﹣8x 在区间(a,10)上为单调函数,则 a 的取值范围为
2 2

B.
2 2

【解答】解:由已知|a|=2, |a+2b| =a +4a?b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12, ∴|a+2b|= 故选:B. .

[4,10) .
2

【解答】解:函数 y=x ﹣8x 的对称轴为:x=4, 由函数 y=x ﹣8x 在区间(a,10)上为单调函数, 第 4 页(共 7 页)

可得:4≤a, 即 a∈[4,10) . 故答案为:[4,10) . 15. (5 分)已知点 A(0,0) ,B(6,﹣4) ,N 是线段 AB 上的一 点,且 3AN=2AB,则 N 点的坐标是 (4,﹣ ) .

17. (12 分)如图, (1)若 (2)若 ∥ ⊥

=(6,1) ,

=(x,y) ,

=(﹣2,3)

,试求 x 与 y 之间的表达式; ,且 ,求 x,y 的值.

【解答】解:设 N 的坐标为: (x、y) , ∵点 A(0,0) ,B(6,﹣4) , ∴ =(x,y) , =(6,﹣4) ,

∵3AN=2AB, ∴3(x,y)=2(6,﹣4) , ∴ , ∴ 解得 x=4,y=﹣ , ∵ 故答案为: (4,﹣ ) ∴ 16. (5 分)函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A,且 f(x1) =f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数.例如 f(x)=2x+1 (x∈R)是单函数,下列命题: ①函数 f(x)=x (x∈R)是单函数; ②函数 f(x)=2 (x∈R)是单函数, ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中的真命题是 ②③④ (写出所有真命题的编号) ⊥ ,且 , 【解答】解:∵若 x1,x2∈A,且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2, 则称 f(x)为单函数 ∴①函数 f(x)=x 不是单函数, ∵f(﹣1)=f(1) ,显然﹣1≠1, ∴函数 f(x)=x (x∈R)不是单函数; ②∵函数 f(x)=2 (x∈R)是增函数, ∴f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2, 即②正确; ③∵f(x)为单函数,且 x1≠x2, 若 f(x1)=f(x2) ,则 x1=x2,与 x1≠x2 矛盾 ∴③正确; ④同②; 故答案为:②③④. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 18. (12 分)函数 f1(x)=lg(﹣x﹣1)的定义域与函数 f2(x) =lg(x﹣3)的定义域的并集为集合 A,函数 g(x)=2 ﹣a(x≤2, a∈R)的值域为集合 B (1)求集合 A,B (2)若集合 A,B 满足 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)由题意可得 M={x|﹣x﹣1>0}={x|x<﹣1}, N={x|x﹣3>0}={x|x>3}, ∴A=N∪M={x|x<﹣1,或 x>3}. 由于 x≤2,可得 2 ∈(0,4],故函数 g(x)=2 ﹣a(x≤2)的 值域为 B=(﹣a,4﹣a]. (2)若函数 A∩B=B,则 B? A,∴B=?,或 B≠?. 第 5 页(共 7 页)
x x x x 2 2 x 2

【解答】解: (1)∵ =﹣( ∥ , ,

=(6,1) ,

=(x,y) ,

=(﹣2,3)

)=﹣(4+x,4+y)=(﹣4﹣x,﹣4﹣y) ,

解得 x=y. (2)∵ ∴ =(6,1) , =(x,y) , =(﹣2,3) ,

=(6+x,1+y) , =﹣(

=(x﹣2,y+3) , )=﹣(4+x,4+y)=(﹣4﹣x,﹣4﹣y) ,





解得 x=y=



当 B=?时,﹣a≥4﹣a,a 无解. 当 B≠?,则有 4﹣a<﹣1,或﹣a≥3,求得 a>5,或 a≤﹣3, 综合可得,a>5 或 a≤﹣3. 19. (12 分)已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合, 终边经过点 P(﹣3, ) . (1)求 sin2α﹣tanα 的值; (2)若函数 f(x)=cos(x﹣α)cosα﹣sin(x﹣α)sinα,求函数 y= f( ﹣2x)﹣2f (x)在区间[0,
2

解得:m=



(3)依题原命题等价于 f(x)﹣a>0 有解,即 f(x)>a 有解 ∴a<f(x)max ∵f(x)在[0,2]上递减, ∴f(x)max=f(0)=﹣9, 故 a 的取值范围为 a<﹣9.

]上的取值范围.

21. (12 分)已知 O 为坐标原点, ﹣2 sinxcosx+1) ,f(x)= ?

=(2sin x,1) , +m(m∈R)

2

=(1,

【解答】解: (1)∵角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重 合,终边经过点 P(﹣3, ∴x=﹣3,y= ∴sinα= = ,r=|OP|= ,cosα= =﹣ ) , =2 ,tanα= + , =﹣ =﹣ , .

(1)若 f(x)的定义域为[﹣ 区间 (2)若 f(x)的定义域为[

,π],求 y=f(x)的单调递增

∴sin2α﹣tanα=2sinαcosα﹣tanα=﹣

,π],值域为[2,5],求 m 的值.

(2)函数 f(x)=cos(x﹣α)cosα﹣sin(x﹣α)sinα=cos[(x﹣ α)+α]=cosx, ∴函数 y= f ( ﹣2x) ﹣2f (x) = sin2x﹣
2

【解答】解: (1) f(x)= sin2x =2+m﹣2sin(2x+ ?

=(2sin x,1) ,
2

2

=(1,﹣2

sinxcosx+1) ,

cos (

﹣2x) ﹣2cos x )

2

+m=2sin x ﹣ 2

sinxcosx+1+m=2+m ﹣ cos2x ﹣

=

sin2x﹣cos2x﹣1=2 (

cos2x) ﹣1=2sin (2x﹣

﹣1, 在区间[0, ﹣ 或 ]上, 2x﹣ ∈[﹣ , ], 故当 2x﹣ =

) , ≤ 2kπ+ (k∈Z) ,即为 +kπ ≤ x ≤

由 kπ+

+2kπ ≤ 2x+ ,k∈Z,

时,函数 y 取得最小值为﹣2; = 时,函数 y 取得最大值为 1, ]上的取值范围为[﹣2,1].

当 2x﹣

得 y=f(x)在 R 上的单调递增区间为[ 又 f(x)的定义域为[﹣ ∴y=f(x)的增区间为:[﹣ (2)当 ≤x≤π 时, )≤ , ,π], ,﹣

+kπ,kπ+

],k∈Z,

故函数 y 在区间[0,

20. (12 分)设 f(x)=mx +3(m﹣4)x﹣9(m∈R) (1)试判断函数 f(x)零点的个数 (2)若满足 f(1﹣x)=f(1+x) ,求 m 的值 (3)若 m=1 时,存在 x∈[0,2]使得 f(x)﹣a>0(a∈R)成 立,求 a 的取值范围. 【解答】解: (1)①当 m=0 时,f(x)=﹣12x﹣9 为一次函数, 有唯一零点; ②当 m≠0 时,由△=9(m﹣4) +36m=9(m﹣2) +108>0 故 f (x)必有两个零点; (2)由条件可得 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, ∴﹣ =1,且 m≠0,
2 2

2

],[ ≤

, ,

].

∴﹣1≤sin(2x+

即有 1+m≤2+m﹣2sin(2x+ ∴1+m≤f(x)≤4+m, 由题意可得 解得 m=1. ,

)≤4+m,

第 6 页(共 7 页)

22. (10 分) (1)计算:log2.56.25+lg (2)已知 x+x =3,求 x ﹣x . 【解答】解: (1)log2.56.25+lg 2+ +6=
﹣1 ﹣1

+ln

+2

2

﹣2

+ln

+2

=2+0﹣


2
﹣2

(2)x+x =3,可得:x +x +2=9,x +x ﹣2=5,x﹣x = x ﹣x =(x+x ) (x﹣x )=
2
﹣2 ﹣1 ﹣1

2

﹣2

﹣1

第 7 页(共 7 页)


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