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东北三校2012年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷及答案_图文

东北三校 2012 年高三第一次联合模拟考试文科数学

1

2

3

4

一模文科数学参考答案 一模文科数学参考答案
一、选择题 1 2 B 二、填空题 13. B 3 4 5 6 7 8 C 9 A 10 11 12

C

B
1 ; 3

D

C

C

C

D

C

3 2 ; 2

14. ?

15.-6;

16.-1.

三、解答题 解答题 17. 解:(Ⅰ) 数列 {an } 为公差不为零的等差数列,设公差为 d,且 d ≠ 0

Q a2 , a4 , a9 成等比数列

∴a42 = a2 ? a9 ,则 (a1 + 3d )2 = (a1 + d )(a1 + 8d )
即 d = 3a1d ,Q d ≠ 0 ,
2

∴d = 3a1
Q a3 = 7

…………………………2 分

∴a1 + 2d = 7 ∴a1 = 1, d = 3 ∴a n = 3n ? 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn = 2
3n ? 2

…………………………4 分

…………………………6 分



…………………………7 分

Q

bn +1 2 3( n +1) ? 2 = 3n? 2 = 8 bn 2
…………………………10 分

∴{bn } 是等比数列,公比为 8,首项 b1 = 2 , ∴Sn = 2(8
n

? 1)
…………………………12 分

7

18. (Ⅰ)证明:连结 AO,CO

Q O 为 BD 的中点,AB=AD,CD=CB

∴BD ⊥ AO,BD ⊥ CO
又Q AO I CO = O , AO ? 面AOC , CO ? 面AOC

……………………2 分

5

∴ BD ⊥ 面AOC Q AC ? 面AOC
∴ BD ⊥ AC .
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 AO=1,CO= 3 ,AC=2

……………………4 分

……………………6 分

∴ AO 2 + CO 2 = AC 2 ∴ AO ⊥ CO 又Q AO ⊥ BD,BD I CO=O,BD ? 面 BDC, CO ? 面 BDC

∴ AO ⊥ 面BDC ,

……………………9 分

Q E 为 BC 的中点,
∴ S ?DCE = 3 1 3 × 22 × = 4 2 2

1 3 3 ∴V E ? ADC = V A? DCE = × 1 × = . 3 2 6

……………………12 分

19. 解: (Ⅰ)从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆,共有 10 种不同的 CO 2 排放量结果:

80, 110 ; 80, 120 ; 80, 140 ; 80, 150 ; 110, 120 ; 110, 140 ; 110, 150 ; 120, 140 ; 120, 150 ; 140, 150
……………3 分

设“至少有一辆不符合 CO 2 排放量”为事件 A ,则事件 A 包含以下 7 种不同的结果:

80, 140 ; 80, 150 ; 110, 140 ; 110, 150 ; 120, 140 ; 120, 150 ; 140, 150
所以, P ( A) =

7 = 0 .7 10

……………………6 分

(Ⅱ)由题可知, x甲 = x乙 = 120 , x + y = 220
2 5S甲 = ( 80 ? 120 ) + (110 ? 120 ) + (120 ? 120 ) + (140 ? 120 ) + (150 ? 120 ) = 3000 2

2

2

2

2

2 5S乙 = (100 ? 120 ) + (120 ? 120 ) + ( x ? 120 ) + ( y ? 120 ) + (160 ? 120 ) 2 2 2 2

2

= 2000 + ( x ? 120 ) + ( y ? 120 )
2

2

…………………………8 分
2 2

2 Q x + y = 220,∴ 5S乙 = 2000 + ( x ? 120 ) + ( x ? 100 ) ,

6

令 x ?120 = t ,Q 90 < x < 130 ,∴ ?30 < t < 10 ,
2 ∴ 5S乙 = 2000 + t 2 + (t + 20) ,

2

2 2 ∴ 5S乙 ? 5S甲 = 2t 2 + 40t ? 600 = 2(t + 30)(t ? 10) < 0
2 2 Q x甲 = x乙 = 120 , S乙 <S甲 ,∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好。

……12 分

20. 解: (Ⅰ)由抛物线: y = 16 x, 知其焦点 F(4,0) ,故椭圆 C 中 a=4,
2

x2 y2 所以椭圆 C: + = 1. 16 2

……………………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直线 OP 的斜率为 2 ,所以直线 l 的斜率为 ?

2 2

设直线 l 方程为 y = ?

2 x + b [来源:学*科*网] 2

? x2 y2 =1 ? + ? 16 2 由? ,整理得 5 x 2 ? 8 2bx + (8b 2 ? 16) = 0 ?y = ? 2 x + b ? ? 2
因为动直线 l 与椭圆 C 交于不同两点,所以 ? = 128b 2 ? 20(8b 2 ? 16) > 0 解得 ? 10 < b < 10 设 M( x1 , y1 ) 、N( x 2 , y 2 ) ,则 x1 + x 2 =

……………………6 分

8 2 8b 2 ? 16 b, x1 x 2 = 5 5

2 2 1 2b b2 ? 8 2 y1 y 2 = (? x1 + b)(? x 2 + b) = x1 x 2 ? ( x1 + x 2 ) + b = 2 2 2 2 5
8分 因为 QM = ( x1 +

………

2 , y1 ), QN = ( x 2 + 2 , y 2 ) 2 , y1 )( x 2 + 2 , y 2 ) = x1 x 2 + 2 ( x1 + x 2 ) + y1 y 2 + 2

所以 QM ? QN = ( x1 +

9b 2 + 16b ? 14 = 5
因为 ? 10 < b < 10 ,所以当 b = ?

8 时, QM ? QN 取得最小值 9
7

其最小值等于 分

9 8 16 8 14 38 × (? ) 2 + (? ) ? =? 5 9 5 9 5 9

………… 12

21. 解: (Ⅰ)定义域为 (0,+∞ )

……………………1 分

Q f / ( x) = ln x +

1+ x x

∴ f / (1) = 2 且切点为(1,0) …………………… 4 分 故 f (x ) 在 x = 1 处的切线方程 y = 2 x ? 2. ……………………-6 分 1+ x (Ⅱ)由已知 a ≠ 0 ,因为 x ∈ (0,1) ,所以 ln x < 0 . 1? x (1)当 a < 0 时, g ( x ) > 0 ,不合题意. ……………………8 分 2a (1 ? x) (2)当 a > 0 时, x ∈ (0,1) ,由 g ( x ) < ?2 ,可得 ln x + < 0. 1+ x x 2 + ( 2 ? 4a ) x + 1 2a (1 ? x ) 设 h( x ) = ln x + ,则 x ∈ (0,1) , h( x) < 0 . h ′( x ) = . 1+ x x (1 + x ) 2
设 m( x ) = x 2 + (2 ? 4a ) x + 1 ,方程 m( x ) = 0 的判别式 ? = 16 a ( a ? 1) . 若 a ∈ (0,1] , ? ≤ 0 , m( x ) ≥ 0 , h ′( x ) ≥ 0 , h(x) 在 (0,1) 上是增函数,又 h (1) = 0 ,所 以 x ∈ (0,1) , h( x) < 0 . …………………… 10 分 若 a ∈ (1,+∞ ) , ? > 0 , m (0) = 1 > 0 , m (1) = 4(1 ? a ) < 0 ,所以存在 x 0 ∈ (0,1) ,使得

m( x 0 ) = 0 ,对任意 x ∈ ( x 0 ,1) , m( x ) < 0 , h ′( x ) < 0 , h(x) 在 ( x 0 ,1) 上是减函数,又
h(1) = 0 ,所以 x ∈ ( x 0 ,1) , h( x) > 0 . 综上,实数 a 的取值范围是 (0,1] .
……………………12 分

(22)解: (Ⅰ)∵ AB 是⊙ O 的一条切线, ∴ AB 2 = AD ? AE .又∵ AC = AB ,∴ AC = AD ? AE
2

…… 4 分

(Ⅱ)∵ AC = AD ? AE ,∴
2

∴ ?CAD ∽ ?EAC ∴ ∠CFG = ∠AEC ∴ FG // AC . 分

AC AE = ,又∵ ∠DAC = ∠CAE , AD AC ∴ ∠ACD = ∠AEC .

…… 8 分

又∵四边形 DEGF 是⊙ O 的内接四边形, ∴ ∠ACD = ∠CFG …… 10

(23)解: (Ⅰ)圆的标准方程为 x 2 + y 2 = 16 . …… 2 分

8

1 ? π ? ?x = 2 + 2 t ? x = 2 + t cos 3 ? ? 直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ( t 为参数) ? y = 2 + t sin π ?y = 2+ 3 t ? ? 3 ? ? 2


…… 4

1 ? x = 2+ t ? 2 ? 2 2 (Ⅱ)把直线 ? 代入 x + y = 16 , ?y = 2+ 3 t ? ? 2
得 (2 +

…… 6 分

1 2 3 2 t ) + (2 + t ) = 16 ,t 2 + 2( 3 + 1)t ? 8 = 0 , 2 2

…… 8 分

所以 t1t2 = ?8 ,即 PA ? PB =8 . 分 (24)解:

……

10

1 ? ?? x ? 4 ( x < ? 2 ) ? 1 ? (Ⅰ) f ( x) = 2 x + 1 ? x ? 3 = ?3 x ? 2 ( ? ≤ x ≤ 3) 2 ? ? x + 4 ( x > 3) ? ?
分 所以 f ( x ) ≥ 4 的解集为 { x|x ≤ ?8 或 x ≥ 2} . (Ⅱ)根据函数的单调性可知函数 y = f ( x) 的最小值在 x = ? 此时 f ( x ) min = ?

…… 6

…… 8 分

1 处取得, 2
…… 10 分

7 . 2

9

10


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