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上海市上海理工大学附属中学2014届高三上学期摸底考试数学试题(无答案)

一. 填空题(每题 4 分,共 72 分) 1. z ? C , 且 z ? z ? 8 ? 4i ,则 z =________。 2. x ? 0,则 x ?
11

1 的取值范围为_________________ x
, x 2 ? 4 x ? k ? 0 有 一 个 根 为 ?2 ? 3i ( i 为 虚 数 单 位 ) 则 实 数

3. ? x ? 1? 展开式中系数最小项为_________________ 4.关于 x 的方程

k ? _________

?2 x ? 3 x ? 0 ? 5. 函数 f ( x) ? ? x ? 3 0 ? x ? 1 的最大值是______________ ?? x ? 5 x ? 1 ?
2 ? ? 6. 在 ? x ? 3 ? 的二项展开式中,含 x 2 项的系数等于 x? ?
7. 如图,已知 PA ? 平面 ABC , AC ? AB , AP ? BC ? 2 ,
6

?CBA ? 30? , D , E 分别是 BC , AP 的中点.求异面直线 AC 与 ED
所成的角的大小为______________________

8. 不等式

x?2 ? 1 的解集为_________________ 1? 2x
?

9.在北纬 45 圈上有 A、B 两点,若该纬度圈上 A、B 两点间的劣弧长为 的半径 ) ,则 A、B 两点间的球面距离是 .

2 ?R( R 为地球 4

10.若 z ? 2, 求 z ? 3 ? 4i 取最大值时的 z =_____________ 11. 在棱长为 a 的正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,二面角 B ? A1C ? D 的大小为___________. 12.在体积为 4 3? 的球的表面上有 A 、B 、C 三点, AB ? 1 , BC ?

2 , A 、C 两点的

球面距离为

3 ? .则求球心到平面 ABC 的距离为_______________. 3

13.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为

4? ,半径为 18 cm 的扇形,则圆锥母线与底面所成 3

角的余弦值为________. 14. 1、F2 分别为椭圆 C: 2 ? F

x2 a

y2 ? 3? 椭圆 ? 1 ?a ? b ? 0? 的左右两个焦点, C 上的点 A?1, ? 2 b ? 2?

到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,椭圆 C 的方程为______________. 15. 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的八个顶点都在同一球面上, AB ? 1 ,AA1 ? 若 则 A 、 C 两点间的球面距离是 .

2,

16.数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an ?1 ? 3an ? 4 ? n ? N *? ,则通项公式 an ? __________________。

22? ? 的 17. 方 程 x? x m0 两 个 复 数 根 为 ? , ? , 且 |??? |?3, 则 实 数 m 的 值 为
2

___________________ 18.设 a 为实常数, y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 9 x ? 若 f ? x ? ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________________.

a2 ?7 , x

二.选择题(每题 4 分,共 16 分)
2 2 19. x ? y ? 1是 x ? 1 且 y ? 1 的





(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要
? 20 . 正 四 棱 锥 的 侧 棱 长 为 2 3 , 侧 棱 和 底 面 所 成 角 为 60 , 则 该 棱 锥 的 体 积 为

( (A)3 (B)6 (C)9 (D) 18



21.数列 ?a n ? 中, a n ?

? ?

? ?

n?4 6

? ? (n ? N ), 那么数列 ?a n ? 前 20 项中最大项和最小项分别 n ? 98 ? ?
( )

是 (A) a1 , a 20 (B) a1 , a9 (C) a10 , a9 (D) a9 , a10

22. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是(



1 ? 2? (A) 2?

1 ? 4? (B) 4?

1 ? 2?
(C)

?

1 ? 4? (D) 2?

三.解答题(10+10+10+10+10+12=62 分)

23. 如图, 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC ? 2 ,AC1 与底面成 60? 角,E 、F 分别为 AA1 、

AB 的中点.
(1)求异面直线 EF 与 AC1 所成角的大小; (2)求 EF 与平面 ACC1 A1 所成角的大小.

24.已知函数 f ( x) ? (1)若 a ?

x2 ? 2x ? a x ? ?1, ?? ? . x

1 ,求函数的最小值; 2

(2)若对任意 x ? ?1, ?? ? , f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围

25.一个圆锥形的空杯子,上面放着一个半球形的冰淇淋,形成如图所示的几何体. (1)求该几何体的表面积; (精确到 0.1 cm ) (2)如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?请用有关数据说明. (杯壁的厚度忽略不计)
2

26.正数数列 ?an ? 前 n 项和 S n ,且 S n ? ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式

n ? an ? 1 ? ? , bn ? ? ?1? Sn , ? 2 ?

2

(2)求 ?bn ? 前 n 项和 Tn .

27.. 动点 P 到点 F(1,0)和直线 x=-1 的距离相等, 直线 l : kx ? y ? 1 ? 0 与点 P 的轨迹 C 交于 A,B 两点 (1)求 P 点的轨迹 C 的方程 (2)当 k 变化时,求 OA? OB 最小值.
? ?

28. 若函数 y ? f ? x ?? x ? D ? 同时满足以下条件: ①它在定义域 D 上是单调函数;②存在区间 ? a , b ? 。 ? a, b ? ,我们将这样的函数称作“ A 类函数” (1)函数 y ? 2 x ? log 2 x 是不是“ A 类函数”?如果是,试找出 ? a , b ? ;如果不是,试说 明理由; (2)求使得函数 f ( x) ?

D 使得 f ? x ? 在 ? a, b ? 上的值域也是

1 k x ? ? 1, x ? (0, ??) 是“ A 类函数”的常数 k 的取值范围。 2 x


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