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2.2

二项分布及其应用

2.2.3 独立重复试验与二项分布
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复习巩固

1.事件A与事件B相互独立的充要 条件是什么? 事件A与B相互独立 ? P(AB)=P(A)P(B) 2.若事件A1,A2,?,An两两之间 相互独立,则P(A1A2?An)等于什么? P(A1A2?An)=P(A1)P(A2)?P(An)

问题提出

在研究随机现象时,经常要在相同 条件下重复做大量试验来发现规律, 在大量重复试验中,如何计算随机事 件发生的概率,又成为一个新的研究 课题,对此,我们又需要建立相应的 理论来进行分析与阐述.

问题探究

1、在同等条件下,将一枚硬币重复抛 掷100次,记Ai(i=1,2,?,100)表 示“第i次抛掷硬币正面朝上”,那么 事件A1,A2,?,A100两两之间是否相 互独立?

相互独立

问题探究

2、在同等条件下,某射手连续射击 20次,记Ai(i=1,2,?,20)表示 “第i次射击不小于8环”,那么事件 A1,A2,?,A20两两之间是否相互独 立?

问题探究

3、一般地,在相同条件下重复做的n 次试验称为n次独立重复试验.那么在 n次独立重复试验中,每次试验的结 果具有什么特点? 不受其它试验结果的影响,具有相同 结果的随机事件彼此相互独立.

问题探究

4、投掷一枚图钉,设针尖向上的概率 为p,连续投掷3次,则仅出现1次针尖 向上有哪几种情形?如何计算仅出现1 次针尖向上的概率? 记Ai(i=1,2,3)表示第i次投掷针尖 向上,则
P1 = P (A1 A2 A3 ) + P (A1A2 A3 ) + P (A1 A2A3 ) = 3p(1 - p)2

问题探究

5、在上述投掷图钉的试验中,出现0 次,2次,3次针尖向上的概率分别是 多少?

P0 = (1 - p)
2

3

P2 = 3p (1 - p)

P3 = p

3

问题探究

6、在上述投掷图钉的试验中,设恰 好出现k(k=0,1,2,3)次针尖向上 的概率为Pk,则Pk的一般表达式是什 么?

Pk = C p (1 - p)

k 3

k

3- k

,k=0,1,2,3.

问题探究

7、假设在投掷图钉的试验中,每次抛 掷针尖向上的概率都是0.7,则连续抛 掷10次恰有6次针尖向上的概率如何计 算?

P6 = C 0.7

6 10

6

0.3

4

形成结论

设在每次试验中事件A发生的概率为 p,则在n次独立重复试验中,事件A恰 好发生k次的概率如何计算?

Pk = C p (1 - p)

k n

k

n- k

k=0,1,2,?,n.

问题探究

1、在n次独立重复试验中,每次试验 的结果是一个随机变量,如果在每次 试验中事件A发生称为“成功”,则在 n次独立重复试验中“成功”的次数X 又是一个随机变量,那么随机变量X的 值域是什么? X∈{0,1,2,?,n}

问题探究

2、假设在每次试验中事件A发生的概 率为p,则在n次独立重复试验中,事 件A发生的次数X的分布列用哪种方式 表示较好?如何表示? k k n- k 解析法: P (X = k ) = C n p (1 - p)

k=0,1,2,?,n.

问题探究

解析法: P (X = k ) = C p (1 - p)

k n

k

n- k

k=0,1,2,?,n.

3、上述概率与二项式定理有什么联系? 表达式与二项展开式的通项一致

形成结论

若随机变量X的分布列为,

P (X = k ) = C p (1 - p) ,
k=0,1,2,?,n,则称X服从二项 分布,记作X~B(n,p),并称p为成功 概率.

k n

k

n- k

问题探究

二项分布与两点分布有什么内在联系?
两点分布与二项分布的随机变量都只有 两个可能结果.

典例讲评

例1 某射手每次射击击中目标的概 率都是0.8,若这名射手射击10次,求 (1)恰有8次击中目标的概率; 0.3 (2)至少有8次击中目标的概率.(结 果保留两个有效数字). 0.68

典例讲评

例2 某车间有5台机床,在1小时内 每台机床需要工人照管的概率都是 0.25,求在1小时内这5台机床中至少 有2台需要工人照管的概率.(结果保 留两个有效数字) 0.37

课堂小结

1.在独立重复试验中,若每次试 验结果只有事件A发生或不发生两种 可能,则事件A发生的次数服从二项 分布;若每次试验结果有多种可能, 则可以根据需要适当设定事件A,将 其转化为二项分布.

课堂小结

2.二项分布B(n,p)中有两个参数, 其中n是独立重复试验的总次数,p是 每次试验事件A发生的概率,书写时n 在左,p在右.

课堂小结

3.二项分布是来自于独立重复试验 的一个概率模型,对于求在n次独立重 复试验中,事件A恰好发生k次的概率, 就直接利用概率公式求解.


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