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2017-2018学年北京市朝阳区高三上学期期末统一考试理科数学试卷答案

2017-2018 学年北京市朝阳区高三上学期期末统一考 试理科数学试卷 参考答案 1.C 2.A 3.C 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B 12.45,180 1 13 1 7 13.( , ), ( , ) 2 8 2 8 9.- 3 10.±36 2 11.-cosx 14.② 15.(1)所求不等式所表示的区域如图中阴影所示; (2) 如图作出直线 l:x+3y=0, 把直线向上平移至 l1 的位置, 使 l1 经过可行域上点 M,显然此时点 M 与原点距离最大,此 时 z=x+3y 的最大值是 0+3×3=9。 3 x 3 x 16.(1)a·b=cos x cos ? sin x sin ? cos 2 x. 2 2 2 2 3 x 3 x |a+b|= (cos x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos2 x 2 2 2 2 =2|cosx|,因为 x∈[- ? ? , ],所以 cosx>0。即|a+b|=2cosx。 3 4 1 3 (2)因为 f(x)=cos2x-2cox=2cos2x-2cosx-1=2(cosx- ) 2 ? , 2 2 且 x∈[- ? ? 1 , ] ,所以 ≤cosx≤1。 3 4 2 1 3 时,f(x)取得最小值- ; 2 2 所以当 cox= 当 cosx=1,f(x)取得最大值-1。 17. (1)每天不超过 20 人排队结算的概率为:P=0.1+0.5+0.25+0.25=0.75,即不 超过 20 人排队结算的概率为 0.75。 (2)每天超过 15 人排队结算的概率为:0.25+0.2+0.05= 1 , 2 1 7 ); 2 一周 7 天中,没有出现超过 15 人排队结算的概率为 C 0 7 ( 一周 7 天中,有一天出现超过 15 人排队结算的概率为 C 1 7( 2 一周 7 天中,有二天出现超过 15 人排队结算的概率为 C 7 ( 5 1 1 ) ( )6; 2 2 1 2 1 )( ) 2 2 ; 所以有 3 天或 3 天以上出现超过 15 人排队结算的概率为: 1-[C 0 7( 1 7 1 1 1 1 1 99 2 ) +C 7 ( )( )6+C 7 ( )2( )5]= >0.75, 128 2 2 2 2 2 所以,该医院需要增加结算窗口。 18. (1)由 f′(x)=-3x2+2ax=0 解得 x=0 或 x= 2a 2a 。∴ =4 得 a=6。 3 3 当 x<0 时,f′(x)<0;当 0<x<4 时,f′(x)>0。 故当 x=0 时,f(x)达到极小值 f(0)=(b),∴b=-1。 (2)当 x∈[0,1]时,-3x2+2ax≥-1 恒成立, 即 g(x)=3x2-2ax-1≤0 对一切 x∈[0,1]恒成立, ? g (0) ? ?1 ? 0, 只需 ? 即 a≥1。 ? g (1) ? 2 ? 2a ? 0, 反之,当 a≥1 时,g(x)≤0 对 x∈[0,1]恒成立, ∴a≥1 是 k≤-1 成立的充要条件。 19.(1)以 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴建立如图所示的直 角坐标系 则 A(2,0) ,设所求椭圆的方程为: 2), x2 y 2 ? ? 1 (0<b< 4 b2 BC ? 0 得 AC⊥BC。 由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,由 AC· ∵|BC|=2|AC|,∴|OC|=|AC|。 ∴△AOC 是等腰直角三角形, ∴C 的坐标为(1,1) 。 1 1 4 x2 y 2 ∵C 点在椭圆上,∴ ? 2 ? 1. ∴b2= . 所求的椭圆方程为 ? 2 ? 1 4 b 3 4 b (2)由于∠PCQ 的平分线垂直 OA(即垂直于 x 轴) ,不妨设直线 PC 的斜率为 k,则直线 QC 的斜率为-k,直线 PC 的方程为:y=k(x-1)+1,直线 QC 的方程为 y=-k(x-1)+1, ? y ? k ( x ? 1) ? 1, 由? 2 得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0(※) 2 ? x ? 3 y ? 4 ? 0, ∵点 C(1,1)在椭圆上, 3k 2 ? 6k ? 1 ∴x=1 是方程(※)的一个根,则其另一根为 。 1 ? 3k 2 设 P(xP,yP),Q(xQ,yQ),则 xP= 3k 2 ? 6k ? 1 3k 2 ? 6k ? 1 ,同时, x = 。 Q 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 6k ? 1 3k 2 ? 6k ? 1 k · ( ? ) ? 2k y ? yQ k ( xP ? xQ ) ? 2k 1 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 KPQ= P ? ? ? . 2 2 3k ? 6k ? 1 3k ? 6k ? 1 xP ? xQ xP ? xQ 3 ? 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1 而由对称性知 B(-1,-1) ,又 A(2,0) ,∴kAB= . 3 ∴KPQ=KAB, ∴ AB与PQ共线,且 AB ? 0. 即存在实数λ ,使 PQ ? ? AB. 1 20. (1)证明:∵ OM ? (OA ? OB ), 2 ∴M 是 AB 的中点。设 M 点的坐标为(x,y), 由 1 1 (x1+x2)=x= ,得 x1+x2=1,则 x1=1-x2 或 x2=1-x1。 2 2 1 1 (y1+y2)= [f(x1)+f(x2)] 2 2 而 y= = = = = 1 1 x 1 x ( +log2 1 ? ? log2 2 ) 2 2 1 ? x1 2 1 ? x2 1 x x (1+log2 1 ? log2 2 ) 2 1 ? x1 1 ? x2 1 x x (1+log2 1 · 2 ) 2 1 ? x1 1 ? x2 1 x· x 1 1 (

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