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双曲线定义及标准方程(第一课时)


1.椭 圆 的 定 义
| MF1 | ? | MF2 |? 2 a ? 2 c ?| F1 F2 |

M
F1 F2

2.椭 圆 的 标 准 方 程
x a
2 2

?

y b

2 2

?1

y a

2 2

?

x b

2 2

( a ? b ? 0)

?1

3.a , b , c 三 者 的 关 系

a ?b ?c
2 2

2

平面内与两定点的距离的差为常数的点 的轨迹是怎样的曲线呢?

平面内与两定点的距离的差为非零常数的点

的轨迹是怎样的曲线呢?

①如图(A), ②如图(B),

|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a

|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得:

| |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支。

定义: 平面内与两个定点F1,F2的距离的差
的绝对值等于常数 ( 2a <︱F1F2|=2c) 的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——焦点 ② |F1F2|=2c ——焦距.
M

注意:
(1)若2a=2c (2)若2a>2c (3)若2a=0

F1

o

F2

两条射线 无轨迹

F1F2中垂线

1. 建系: 以F1,F2所在的直线为x轴,线 段F1F2的中点为原点建立直角坐标系, 则F1(-c,0),F2(c,0) 2.设元: 设双曲线上任意一点M(x,y), 3.方程:
M F1 ? M F2 ? 2 a
( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

y
M

F1

O

F2

x

5.化简:

移项平方得:
2 2

5.化简 .

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

?

( x ? c) ? y
2

2

? ? ? ?2a ?
2

( x ? c) ? y
2

2

?

2

? ( x ? c) ? y ? 4a ? 4a ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y
2 2 2 2

2

整理得:cx ? a 2 ? ? a ( x ? c ) 2 ? y 2
4 2 2 2 2 2
2

,平方得:
2 2 2 2

a ? 2 a cx ? c x ? a x ? 2 a cx ? a c ? a y
2
2

整理得:(c ? a ) x ? a

2

2

2

y

2

? a (c ? a )
?a
2

2

2

令:c2-a2=b2
即:a 2
x
2

b x ?a y
? y b
2 2

2

2

2

2

b

2

?1

(a>0,b>0)

y
M

y
M F2

思考:

如何判断双曲线 焦点的位置?
x

F1
2 2

O

F2
2 2

x

O

F1

x a

?

y b

?1

y a

2 2

?

x b

2 2

?1

( a ? 0, b ? 0)

c ? a ?b
2 2

2

判断焦点的位置方法:

椭圆要看分母,焦点跟着大的走 双曲线看正负,焦点跟着正的走

双曲线的标准方程
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0)
它所表示的双曲线的焦点 在 x 轴 上 , 焦 点 是 F1 ( ? c , 0), F2 ( c , 0), 这 里 c ? a ? b .
2 2 2

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0)
它所表示的双曲线的焦点 在 y 轴 上 , 焦 点 是 F1 (0, ? c ), F2 (0, c ), 这 里 c ? a ? b .
2 2 2

椭圆和双曲线的标准方程以及它们之间的关系 椭圆 |MF1|+|MF2|=2a
∵ a>c>0, ∴ 令a2-c2=b2(b>0)
x a y a
2 2

双曲线 |MF1|-|MF2|=±2a
∵ c>a>0 , ∴ 令c2-a2=b2(b>0)
x a
2 2

?

y b x b

2 2

?1

?

y b

2 2

?1

2 2

2 2

?

?1

(a>b>0)

y a

2 2

?

x b

2 2

(a>0,b>0 ,a 不一定大于b )

?1

1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线 上一点到焦点的距离差的绝对值等于6,则
x
2

(1)双曲线的标准方程为______________ 9 16

?

y

2

?1

4或16 (2)双曲线上一点P, |PF1|=10,则|PF2|=_________

2.如 果 方 程

x

2

2?m

?

y

2

m ?1

? 1表 示 双 曲 线 ,

求 m的 取 值 范 围 .
变式一: 方程
x
2

2?m

?

y

2

m ?1

? 1 表示双曲线时,则m的取值范围

变式二:
x
2

m ? ?1 或 m ? 2

2?m

?

y

2

m ?1

? 1表示焦点在y轴的双曲线时,求m的范围。

?m ? 1 ? 0 ? m?2 ? ?2 ? m ? 0

3.动圆经过A(5,0),且与定圆B(x+5)2+y2=49 外切,求动圆的圆心轨迹.y
M(x,y) B(-5,0)
O

A(5,0)

x

变 式 . 求 与 圆 O1:( x ? 5) ? y =49, O 2:( x ? 5 ) ? y =1
2 2 2 2

都外切的圆心的轨迹方程.
y

M(x,y)

略解:

| M A |? 7 ? r
(-5,0)
O
(5,0)

x

| MB |? r ? 1

| MA | ? | MB |? (7 ? r ) ? ( r ? 1) ? 6
? 6 ? | AB |? 10 ? M 点 的 轨 迹 是 以 A , B为 焦点的双曲线的一支.

1.已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3), 求k的值. 2.已知双曲线方程为 k 求焦点的坐标.
x
2

? 4

?

y

2

k ? 4

?1

,

3) 3.求经过两点P( 2 7, 和Q( ? 7, 6 2) 的双 ? 曲线方程.

例.一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间 比在B处晚2s. (1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A、B两地相距800m,并且此时声速为 340m/s,求曲线的方程.
y
x
2

(2)

115600

?

y

2

44400

? 1(x ? 0)

A

?

0

? B

x

1.已知双曲线3x2-5y2=75及其焦点F1,F2,

P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=1200,
试求△F1PF2的面积.
2.若双曲线
?
4
x
2

3

? y ? 1 过其左焦点 F1
2

,作一倾斜角为

的直线,交双曲线于 A, B 两点,求 AB 弦长.

若其右焦点为 F2 ,求 ? ABF2 的周长和面积.

3) 3.求经过两点P( 2 7, 和Q( ? 7, 6 2) 的双 ? 曲线方程.
4. 若 椭 圆
x
2

x

2

?

y

2

m

n

? 1? m ? n ? 0?

和 双 曲 线 和 F2 , P 是 点

?

y t

2

s

? 1 ? s ? 0, t ? 0 ? 有相同的焦点 F1

两条曲线的一个公共点,求 PF1 ? PF2 的值.

5.方程 x sin ? ? y cos ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,
2 2

则角 ? 是第几象限的角?

小结: 1、双曲线及其焦点,焦距的定义,双曲线的 标准方程以及方程中的a、b、c之间的关系 2、焦点位置的确定方法

作业:红对勾课时45(第14题选做)

定义 图
F1

||MF1|—|MF2||=2a(2a<|F1F2|)
y F2 x

y F2

o

o
F1

x


方程
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0)

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0)

焦点
a.b.c的 关系

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

c2=a2+b2

例2.设双曲线与椭圆 27 36 有共 同的焦点,且与此椭圆一个交点的纵坐 标为4,求双曲线的方程.

x

2

?

y

2

?1

说明下列方程各表示什么曲线
(1) ( x ? 4) ? y ?
2 2

( x ? 4) ? y
2

2

?6

(2) ( x ? 4) ? y ? ( x ? 4) ? y ? 6
2 2 2 2

(3)

( x ? 4) ? y ?
2 2

( x ? 4) ? y
2

2

?8


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