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一元二次方程-韦达定理的应用及答案


一元二次方程韦达定理的应用 知识点: 一元二次方程根的判别式 : 当△>0 时________方程_____________, 当△=0 时_________方程有_______________ , 当△<0 时_________方程___________ .

韦达定理的应用: 1.已知方程的一个根,求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系, 确定方程中字母系数的值 4.已知两数的和与积, 求这两个数
2 2 例 1.关于 x 的一元二次方程 x ? 2mx ? 3m ? 8m ? 4 ? 0 .求证: 当 m>2 时,原方程永远有两个实数

根.

例 2.已知关于 x 的方程 kx2 ? 2( x ? 1) x ? k ?1 ? 0 有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k, 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在, 求出 k 的值;若不存在, 说明理 由.

例 3.已知关于 x 的方程 x2 ? 2(k ? 3) x ? k 2 ? 4k ? 1 ? 0 (1)若这个方程有实数根, 求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为 1, 求 k 的值;

2 例 4.已知关于 x 的一元二次方程 x ? (m ? 2) x ?

1 m?3 ? 0 2

(1)求证: 无论 m 取什么实数值, 这个方程总有两个不相等的实数根。 (2)若这个方程的两个实数根 x1 , x2 满足 2 x1 ? x2 ? m ? 1 , 求 m 的值。

例 5.当 m 为何值时, 方程 8x2 ? (m ?1) x ? m ? 7 ? 0 的两根: (1) 均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数, 一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于 2.

例 6.已知 a,b,c,是△ ABC 的三边长, 且关于 x 的方程 b( x2 ?1) ? 2ax ? c( x2 ?1) ? 0 有两个相等的实 根, 求证: 这个三角形是直角三角形。
2 例 7.若 n>0 ,关于 x 的方程 x ? (m ? 2n) x ?

1 m mn ? 0 有两个相等的正的实数根, 求 的值。 4 n

课堂练习: 1.下列一元二次方程中, 没有实数根的是( ) A. x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 B. x ? 2 2 x ? 2 ? 0 C. x ? 2 x ? 1 ? 0 D. x 2 ? x ? 2 ? 0
2 2

2.已知 x1 , x2 是方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两个根,则 A.3 B.-3 CC.

1 1 ? 的值是( ) x1 x2

1 D .1 3

3.关于 x 的二次方程 (m ?1) x2 ? x ? m2 ? 2m ? 3 ? 0 的一个根为 0, 则 m 的值为( ) A.1 B.-3 C.1 或-3 D.不等于 1 的实数 4.方程 x2 ? (k 2 ? 25) x ? (k ? 2) ? 0 的两根互为相反数, k 的值为( ) A. k =5 或 - 5 B. k =5 C. k = -5 D.以上都不对
2 5.若方程 x ? mx ? 4 ? 0 的两根之差的平方为 48, 则 m 的值为( )

A.±8 B.8 C.-8 D.±4 6.已知关于 x 的方程 10 x2 ? (m ? 3) x ? m ? 7 ? 0 , 若有一个根为 0, 则 m=________ , 这时方程的 另一个根是 ________; 若两根之和为 ?
2

3 , 则 m=_______ , 这时方程的两个根为____________ 5

7.已知方程 x ? px ? 1 ? 0 的一个根为 ?2 ? 5 , 可求得 p=_______
2 8.若 2 ? 3 是关于 x 的方程 2 x ? 8 x ? k ? 0 的一个根, 则另一个根为 _____ , k = _____ 。 2 9.方程 2 x ? 6 x ? 5 ? 0 两根为 α,β, 则 ? 2 ? ? 2 ? ______,(? ? ? )2 = ______ 。

10.要使 9a

n2 ? 4 n ? 6

与 3a n 是同类项, 则 n=______________

11.解下列方程:
2 2 2 (1) (2 x ?1) ? 16 (2) x ? 4 x ? 3 ? 0 (3) 5 x ? 3x ? 2 ? 0

12.关于 x 的方程 ax ? (2a ?1) x ? (a ? 3) ? 0 有实数根, 求 a 的取值范围。
2

13.设 x1 , x2 是方程 2 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的两根, 利用根与系数关系求下列各式的值: (1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ; (2)

x1 x2 ? ; (3) x12 ? x22 . x2 x1

14.关于 x 的方程 x2 ? (2a ?1) x ? (a ? 3) ? 0 , 试说明无论 a 为任何实数, 方程总有两个不等实数根。

15.已知关于 x 的方程 x2 ? 2(m ?1) x ? 3m2 ? 11 ? 0 , ( 1) m 为何值时, 方程有两个相等的实数根? ( 2) 是否存在实数 m, 使方程的两根

x1 x2 + ? ?1?若存在, 求出方程的根; 若不存在, 请说明理 x2 x1

由。

16.关于 x 一元二次方程 (c ? b) x2 ? 2(b ? a) x ? a ? b ? 0 有两个相等的实数根,其中 a, b, c 是三角形 三边的长,试判断这个三角形的形状。

17.已知 Rt△ABC 中, 两直角边长为方程 x ? (2m ? 7) x ? 4m(m ? 2) ? 0 的两根, 且斜边长为 13, 求
2

S? ABC 的值.

韦达定理的应用测试题 日期:_______月________日 满分:_________ 100 分 姓名:______ 得分:__________
2 1.关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 中, 如果 a<0, 那么根的情况是( )

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定
2 2.将方程 x ? 4 x ? 1 ? 0 的左边变成平方的形式是( )

A. ( x ? 2) ? 1 B. ( x ? 2) ? 1 C. (x - 2) 2 =5 D. ( x ? 2) ? 5
2 2 2
2 2 3.设 x1 , x2 是方程 2 x ? 6 x ? 3 ? 0 的两根, 则 x12 ? x22 的值是( )

A.15 B.12 C.6 D.3 4.已知 x 方程 mx2 ? nx ? k ? 0(m ? 0) 有两个实数根, 则下列关于判别式的判断正确的是( ) A. n2 ? 4mk ? 0 ? 0 B. n2 ? 4mk ? 0 C. n2 ? 4mk ? 0 D. n2 ? 4mk ? 0 5.若关于 x 的一元二次方程 kx 2 ? 6 x ? 9 ? 0 有两个不相等的实数根, 则 k 的取值范围为( ) A.k<1B.k≠0 C.k>0 D.k<1 且 k≠0 6.关于 x 的方程 (a ? 2) x2 ? 2ax ? a ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,a 的值为( ) A. a<-2 B. - 2<a<2 C. a>-2 且 a ≠ 2 D. a ≥ -2 且 a ≠ 2 7.设 n 为方程 x2 ? mx ? n ? 0(n ? 0) 的一个根, 则 m ? n 等于________
2 2 8.如果一元二次方程 x ? 4 x ? k ? 0 有两个相等的实数根, 那么 k=_______

9. 如果关于 x 的方程 2x2 ? (4k ? 1) x ? 2k 2 ?1 ? 0 有两个不相等的实数根, 那么 k 的取值范围是 _______
2 10.已知 x1 , x2 是方程 ? x ? 5 x ? 2 ? 0 的两根, 则:

(1) x1 ? x2 =________ ; (2) x1 ? x2 ==________ ; (3) ( x1 ? x2 )2 =________ 11.解下列一元二次方程:
2 2 2 (1) 2 x ? 3x ? 1 ? 0 (2) 7 x ? 4 x ? 3 ? 0 (3) x ? 6 x ? 2 ? 0

12.已知关于 x 的方程 2 x2 ? (m ? 1) x ? 1 ? m ? 0 的一个根为 4, 求 m 值及此方程的另一个根。

13.已知: 关于 x 的一元二次方程 x ? 2(2m ? 3) x ? 4m ?14m ? 8 ? 0 , 若 m>0, 求证: 方程有两
2 2

个不相等的实数根。

14.若规定两数 a, b 通过“ ※” 运算, 得到 4ab, 即 a※b=4ab. 例如 2※6=4×2×6=48. (1) 求 3※5 的值; (2) 求 x※x+2 ※x-2※4=0 中 x 的值。

15.求证: 不论 k 取什么实数, 方程 x2 ? (k ? 6) x ? 4(k ? 3) ? 0 一定有两个不相等的实数根.

一元二次方程韦达定理的应用参考答案

知识点: 一元二次方程根的判别式 : 当△>0 时 b2 ? 4ac ? 0 方程有两个不相等的实数根, 当△=0 时 b2 ? 4ac ? 0 方程有有两个相等的实数根, 当△<0 时 b2 ? 4ac ? 0 方程没有实数根.

韦达定理的应用: 1.已知方程的一个根,求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系, 确定方程中字母系数的值 4.已知两数的和与积, 求这两个数
2 2 例 1.关于 x 的一元二次方程 x ? 2mx ? 3m ? 8m ? 4 ? 0 .求证: 当 m>2 时,原方程永远有两个实数

根. 分析: ? ? b2 ? 4ac ? (?2m)2 ? 4 ?1? (8m ? 4) 配方法 论证 例 2.已知关于 x 的方程 kx2 ? 2(k ? 1) x ? k ?1 ? 0 有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k, 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在, 求出 k 的值;若不存在, 说明理 由. (1) k ? ? 且 k ? 0 (2)不存在,k=-1 时无实数根 例 3.已知关于 x 的方程 x ? 2(k ? 3) x ? k ? 4k ? 1 ? 0
2 2

1 3

(1)若这个方程有实数根, 求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为 1, 求 k 的值; (1)k≤5 (2) k ? 3 ? 3

2 例 4.已知关于 x 的一元二次方程 x ? (m ? 2) x ?

1 m?3 ? 0 2

(1)求证: 无论 m 取什么实数值, 这个方程总有两个不相等的实数根。 (2)若这个方程的两个实数根 x1 , x2 满足 2 x1 ? x2 ? m ? 1 , 求 m 的值。
2 2 2 2 (1) ? ? b ? 4ac ? (m ? 2) ? 4( m ? 3) ? m ? 6m ? 16 ? (m ? 3) ? 7 ? 0

1 2

(2) 2x1 ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? x1 ? ?m ? 2 ? m ? 1 , x1 ? 2m ? 1

x1 ? 2m ? 1,代入方程求 m 的值, m1 ? 0, m2 ?

12 17

例 5.当 m 为何值时, 方程 8x2 ? (m ?1) x ? m ? 7 ? 0 的两根: (2) 均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数, 一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于 2. 分析: ? ? b2 ? 4ac ? (m ?1)2 ? 4 ? 8 ? (m ? 7) ? 0 两根之和和两根之积去判断。 例 6.已知 a,b,c,是△ ABC 的三边长, 且关于 x 的方程 b( x2 ?1) ? 2ax ? c( x2 ? 1) ? 0 有两个相等的实 根, 求证: 这个三角形是直角三角形。 证明: ? ? b2 ? 4ac ? 4a2 ? 4(b ? c)(b ? c) ? 0

a 2 ? c 2 ? b2
2 例 7.若 n>0 ,关于 x 的方程 x ? (m ? 2n) x ?

1 m mn ? 0 有两个相等的正的实数根, 求 的值。 4 n

分析: ? ? (m ? 2n) ? mn ? (m ? n)(m ? 4n) ? 0
2

m ? 1, 4 n
课堂练习: 1.下列一元二次方程中, 没有实数根的是(C)

A. x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

B. x ? 2 2 x ? 2 ? 0
2

C. x ? 2 x ? 1 ? 0
2

D. x 2 ? x ? 2 ? 0

2.已知 x1 , x2 是方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两个根,则 A.3 B.-3 C C.

1 1 ? 的值是(A) x1 x2
D .1

1 3

3.关于 x 的二次方程 (m ?1) x2 ? x ? m2 ? 2m ? 3 ? 0 的一个根为 0, 则 m 的值为(B ) A.1 B.-3 C.1 或-3 D.不等于 1 的实数

4.方程 x2 ? (k 2 ? 25) x ? (k ? 2) ? 0 的两根互为相反数, k 的值为(C ) A. k =5 或 - 5 B. k =5 C. k = -5 D.以上都不对

2 5.若方程 x ? mx ? 4 ? 0 的两根之差的平方为 48, 则 m 的值为(A)

A.±8

B.8

C.-8

D.±4

6.已知关于 x 的方程 10 x2 ? (m ? 3) x ? m ? 7 ? 0 , 若有一个根为 0, 则 m=__7______ , 这时方程的

3 , 则 m=_-9_,这时方程的两个根为____________ 5 8 7.已知方程 x 2 ? px ? 1 ? 0 的一个根为 ?2 ? 5 , 可求得 p=__ x1 ? , x2 ? ?1_____ 5
另一个根是__0__; 若两根之和为 ?
2 8.若 2 ? 3 是关于 x 的方程 2 x ? 8 x ? k ? 0 的一个根, 则另一个根为 2 ? 3 ,k = __2___ 。 2 9.方程 2 x ? 6 x ? 5 ? 0 两根为 α,β, 则 ? 2 ? ? 2 ? __14 _,(? ? ? )2 = __19 ____ 。

10.要使 9a

n2 ? 4 n ? 6

与 3a n 是同类项, 则 n=___2 或 3____

11.解下列方程: (1) (2 x ?1)2 ? 16
2 (2) x ? 4 x ? 3 ? 0 2 (3) 5 x ? 3x ? 2 ? 0

x1 ?

5 3 2 , x2 ? ? x1 ? 1, x2 ? 3 x1 ? ? , x2 ? 1 2 2 5
2

12.关于 x 的方程 ax ? (2a ?1) x ? (a ? 3) ? 0 有实数根, 求 a 的取值范围。

1 a ? ? 且a ? 0 8
2 13.设 x1 , x2 是方程 2 x ? 4 x ? 1 ? 0 的两根, 利用根与系数关系求下列各式的值:

(1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ; (2)

x1 x2 ? ; (3) x12 ? x22 . x2 x1

( 1) (2)6 (3)3

7 2

14.关于 x 的方程 x2 ? (2a ?1) x ? (a ? 3) ? 0 , 试说明无论 a 为任何实数, 方程总有两个不等实数根。 分析: ? ? (2a ?1)2 ? 4(a ? 3) ? 4a2 ?11

15.已知关于 x 的方程 x2 ? 2(m ?1) x ? 3m2 ? 11 ? 0 , ( 1) m 为何值时, 方程有两个相等的实数根? ( 2) 是否存在实数 m, 使方程的两根

x1 x2 + ? ?1?若存在, 求出方程的根; 若不存在, 请说明理 x2 x1

由。 (1) ? ? 4(m ?1)2 ? 4(3m2 ?11) ? ?8m2 ? 8m ? 48 ? 0 , m1 ? 2, m2 ? ?3 ( 2)

7 x2 x1 ( x1 ? x2 )2 ? ? ? 2 ? ?1,可得 3m2 ? 4m ? 7 ? 0 ,解得 m1 ? , m ? ?1 3 x1 x2 x 1 x2

16.关于 x 一元二次方程 (c ? b) x2 ? 2(b ? a) x ? a ? b ? 0 有两个相等的实数根,其中 a, b, c 是三角形 三边的长,试判断这个三角形的形状。 解答: ? ? 4(b ? a)2 ? 4(a ? b)(c ? b) ? 4(a ? b)(a ? c) ? 0 , a ? b 或 a ? c 等腰三角形

17.已知 Rt△ABC 中, 两直角边长为方程 x ? (2m ? 7) x ? 4m(m ? 2) ? 0 的两根, 且斜边长为 13, 求
2

S? ABC 的值.
答案: m ? 5, S? ABC ? 30

韦达定理的应用测试题 日期:_______月________日 满分:_________ 100 分 姓名:______ 得分:__________
2 1.关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 中, 如果 a<0, 那么根的情况是(C )

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根
2 2.将方程 x ? 4 x ? 1 ? 0 的左边变成平方的形式是(D )

D.不能确定

A. ( x ? 2)2 ? 1

B. ( x ? 2)2 ? 1

C. (x - 2) 2 =5

D. ( x ? 2)2 ? 5

2 2 3.设 x1 , x2 是方程 2 x ? 6 x ? 3 ? 0 的两根, 则 x12 ? x22 的值是(C )

A.15

B.12

C.6

D.3

4.已知 x 方程 mx2 ? nx ? k ? 0(m ? 0) 有两个实数根, 则下列关于判别式的判断正确的是(D )
2 2 A. n ? 4mk ? 0 ? 0 B. n ? 4mk ? 0 2 C. n ? 4mk ? 0 2 D. n ? 4mk ? 0

2 5.若关于 x 的一元二次方程 kx ? 6 x ? 9 ? 0 有两个不相等的实数根, 则 k 的取值范围为(D)

A. k<1

B.k≠0

C. k>0 D. k<1 且 k≠0
2

6.关于 x 的方程 (a ? 2) x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,a 的值为(C ) A. a<-2 B. - 2<a<2
2

C. a>-2 且 a ≠ 2

D. a ≥ -2 且 a ≠ 2

7.设 n 为方程 x ? mx ? n ? 0(n ? 0) 的一个根, 则 m ? n 等于___-1_____
2 2 8.如果一元二次方程 x ? 4 x ? k ? 0 有两个相等的实数根, 那么 k=___±2____

9. 如果关于 x 的方程 2x ? (4k ? 1) x ? 2k ?1 ? 0 有两个不相等的实数根, 那么 k 的取值范围是 __
2 2

k??

9 _____ 8

10.已知 x1 , x2 是方程 ? x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两根, 则: (1) x1 ? x2 =___-5_____ ; (2) x1 ? x2 ==_____2___ ; (3) ( x1 ? x2 )2 =____17____ 11.解下列一元二次方程: (1) 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 (2) 7 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 (3) x 2 ? 6 x ? 2 ? 0

(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 (7 x ? 3)( x ? 1) ? 0 x ?

3? 7 2

1 3 x1 ? ? , x 2 ? ?1 x1 ? , x2 ? 1 2 7
12.已知关于 x 的方程 2 x2 ? (m ? 1) x ? 1 ? m ? 0 的一个根为 4, 求 m 值及此方程的另一个根。

m?

29 6 , x1 ? ? 5 5

13.已知: 关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2(2m ? 3) x ? 4m2 ?14m ? 8 ? 0 , 若 m>0, 求证: 方程有两 个不相等的实数根。

14.若规定两数 a, b 通过“ ※” 运算, 得到 4ab, 即 a※b=4ab. 例如 2※6=4×2×6=48. (1) 求 3※5 的值; (2) 求 x※x+2 ※x-2※4=0 中 x 的值。 (1)4x3x5=60(2) x1 ? ?4, x2 ? 2

15.求证: 不论 k 取什么实数, 方程 x ? (k ? 6) x ? 4(k ? 3) ? 0 一定有两个不相等的实数根.
2

分析: ? ? b ? 4ac ? (k ? 6) ?16(k ? 3) ? 0
2 2


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