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解析几何易做易错题选


解析几何--易做易错题选
一、选择题: 1. 若双曲线

5 x2 y 2 ? 2 ? ?1 的离心率为 ,则两条渐近线的方程为 2 4 a b
B.

A.

x y ? ?0 9 16

x y ? ?0 16 9

C.

x y ? ?0 3 4

D.

x y ? ?0 4 3

解答:C 易错原因:审题不认真,混淆双曲线标准方程中的 a 和题目中方程的 a 的意义。 2. 椭圆的短轴长为 2,长轴是短轴的 2 倍,则椭圆的中心到其准线的距离是

8 3 3 解答:D 易错原因:短轴长误认为是 b
A. B. C.

8 5 5

4 5 5

D.

4 3 3

3.过定点 (1, 2) 作两直线与圆 x2 ? y 2 ? kx ? 2 y ? k 2 ?15 ? 0 相切,则 k 的取值范围是 A. k ? 2 解答:D B. ?3 ? k ? 2 C. k ? ?3 or k ? 2 D.以上皆不对
2 2

易错原因:忽略题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑 D ? E ? 4F ? 0

4.设双曲线

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距为 C,直线 L 过 (a,0),(0, b) 两点,已知原点到直线 L 的距离为 c, 2 a b 4

则双曲线的离心率为 A.2 B.2 或

2 3 3

C. 2

D.

2 3 3

解答:D. 易错原因:忽略条件 a ? b ? 0 对离心率范围的限制。 5.已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? , PA ? ? , PB ? ? ,A,B 为垂足,且 PA ? 4, PB ? 5 ,设 A、B 到二面 角的棱 l 的距离为别为 x, y ,当 ? 变化时,点 ( x, y ) 的轨迹是下列图形中的

A B C D x , y 解答:D. 易错原因:只注意寻找 的关系式,而未考虑实际问题中 x, y 的范围。 6.若曲线 y ? A. 0 ? k ? 1

x 2 ? 4 与直线 y ? k ( x ? 2) +3 有两个不同的公共点,则实数 k 的取值范围是
B. 0 ? k ?

3 4

C. ?1 ? k ?

3 4

D. ?1 ? k ? 0

解答: C. 易错原因: 将曲线 y ?

另外没有看清过点(2,-3) x 2 ? 4 转化为 x2 ? y2 ? 4 时不考虑纵坐标的范围;

且与渐近线 y ? x 平行的直线与双曲线的位置关系。
1

7. P(?2, ?2)、Q(0, ?1) 取一点 R(2, m) 使 PR ? RQ 最小,则 m ? ( A.



1 2

B. 0

C.–1

D. ?

4 3


正确答案:D

错因:学生不能应用数形结合的思想方法,借助对称来解题。

8.能够使得圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 上恰好有两个点到直线 2 x ? y ? c ? 0 距离等于 1 的一个值为( A.2 正确答案:C.
2

B. 5

C. 3

D. 3 5

错因:学生不能借助圆心到直线的距离来处理本题。 )

2 10.已知圆 ? x ? 3? ? y ? 4 和 直线 y ? mx 的交点分别为 P、Q 两点,O 为坐标原点,则 OP ? OQ =(

A. 1 ? m 正确答案:C.

2

B.

5 1? m2 5 3 2 2

C. 5

D. 10

错因:学生不能结合初中学过的切割线定︱OP︱·︱OQ︱等于切线长的平方来解题.

11.在圆 x 2 ? y 2 ? 5x 内过点 ( , ) 有 n 条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列首项 a1 ,最长弦长为 an ,若公差

? 1 1? d ? ? , ? ,那么 n 的取值集合为( ? 6 3?
A. ?4、 5、 6? B. ?6、 7、 8、 9?

) C. ?3、 4、 5? D. ?3、 4、 5、 6?

正确答案:A. 错因:学生对圆内过点的弦何时最长、最短不清楚,不能借助 d 的范围来求 n. 12.平面上的动点 P 到定点 F(1,0)的距离比 P 到 y 轴的距离大 1,则动点 P 的轨迹方程为( ) A. y 2 ? 2 x B. y 2 ? 2 x 和 ?

?y ? 0 ?x ? 0

C. y 2 ? 4 x

D. y 2 ? 4 x 和 ?

?y ? 0 ?x ? 0

正确答案:D. 错因:学生只注意了抛物线的第二定义而疏忽了射线。 13.设双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率分别为 e1、e2 ,则当 a、 b 变化时, e12 +e22 最小值 ? ? 1 与 b2 a 2 a 2 b2
B. 4 2 C.

是(

) A. 4

2

D. 2

2 正确答案:A. 错因:学生不能把 e 1 +e 2 2 用 a、 b 的代数式表示,从而用基本不等式求最小值.

14.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 中,被点 P(2,1)平分的弦所在直线方程是( 9 4
B. 8 x ? 9 y ? 25 C. 4 x ? 9 y ? 16



A. 8x ? 9 y ? 7 正确答案:D.

D. 不存在

错因:学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。

15.已知 ? 是三角形的一个内角,且 sin ? +cos ? = A.焦点在 x 轴上的双曲线 正确答案:D.

1 2 2 则方程 x sin ? -y cos ? =1 表示( 5
C.焦点在 x 轴上的椭圆



B.焦点在 y 轴上的双曲线

D.焦点在 y 轴上的椭圆

错因:学生不能由 sin ? +cos ? =

1 判断角 ? 为钝角。 5
2

16.过抛物线的焦点 F 作互相垂直的两条直线,分别交准线于 P、Q 两点,又过 P、Q 分别作抛物线对称轴 OF 的平

行线交抛物线于 M﹑N 两点,则 M﹑N﹑F 三点 A.共圆 B. 共线 C.在另一条抛物线上 D.分布无规律 正确答案:B. 错因:学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。 17.曲线 xy ? 1 的参数方程是(
1 ? 2 x= t ? A. ? 1 ?y ? t2 ?

)

B. ?

? x= sin ? ? y ? csc ?

C. ?

? x= cos ? ? y ? sec ?

D. ?

? x= tan ? ? y ? cot ?

正确答案:选 D.

错误原因:忽视了所选参数的范围,因而导致错误选项。 )

18.已知实数 x, y 满足 3x2 ? 2 y 2 ? 6 x ,则 x 2 ? y 2 的最大值是( A.

9 2

B.4

C.5

D.2

正确答案:B. 错误原因:忽视了条件中 x 的取值范围而导致出错。

19.双曲线

x2 ? y 2 ? 1 (n ? 1) 的焦点为 F1、F2 ,P 在双曲线上 ,且满足:|PF1|+|PF2|=2 n+2 ,则Δ PF1F2 的面 n
A.1 B.2 C.4 D.

积是(

)

1 2

正确答案:A .

错因:不注意定义的应用。

20.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y 2 ? 4 x 仅有一个公共点,这样的直线有( ) A.1 条 B.2 条 C. 3 条 D. 0 条

正确答案:C.

? y 2 ? 4x 2 错解:设直线的方程为 y ? kx ? 1 ,联立 ? ,得 ?kx ? 1? ? 4x , ? y ? kx ? 1

即: k 2 x 2 ? (2k ? 4) x ? 1 ? 0 ,再由Δ =0,得 k=1,得答案 A. 剖析:本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将斜率 k=0 的情形丢掉了,故本题应 有三解,即直线有三条。 21.已知动点 P(x,y)满足 5 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 3 x ? 4 y ? 11 ,则 P 点的轨迹是 (
2 2



A.直线 正确答案:A.

B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆 错因:利用圆锥曲线的定义解题,忽视了(1,2)点就在直线 3x+4y-11=0 上。

22.在直角坐标系中,方程 ?x ? y ? 1? 3 ? 2 x ? x 2 ? y ? 0 所表示的曲线为( ) A.一条直线和一个圆 B.一条线段和一个圆 正确答案:D. 错因:忽视定义取值。
2

?

?

C.一条直线和半个圆

D.一条线段和半个圆

23.设坐标原点为 O,抛物线 y ? 2 x 与过焦点的直线交于 A、B 两点,则 OA ? OB =( A.

??? ? ??? ?



3 4

B. ?

3 4

C. 3

D.-3

正确答案:B.

错因:向量数量积应用,运算易错。

3

x y x2 y2 24.直线 ? ? 1 与椭圆 ? ? 1 相交于 A、B 两点,椭圆上的点 P 使 ?PAB 的面积等于12,这样的点 P 4 3 16 9
共有( )个 正确答案:D 25.已知实数 x , A. 5 A.1 B.2 错因:不会估算。 C.3 D.4

y 满足 2 x ? y ? 5 ? 0 ,那么
B. 10 C. 2 5

x 2 ? y 2 的最小值为 (
D. 2 10

) 正确答案:A.

26.若直线 y ? x ? b 与曲线 x2 ? y 2 ? 4( y ? 0) 有公共点,则 b 的取值范围是 A. [?2, 2] B. [0, 2] C. [2, 2 2] D. [?2, 2 2] 正确答案:D.

27.设 f ( x) ? ax2 ? ax ? b ,且 1 ? f ( ? 1) ? 2,2 ? f (1) ? 4 ,则点 ( a, b) 在 aob 平面上的区域的面积是 A.

1 2

B.1

C.2

D.

9 2

正确答案:B.

? x ? 0, ? 28.当 x 、 y 满足约束条件 ? y ? x, ( k 为常数)时,能使 z ? x ? 3 y 的最大值为 12 的 k 的值为 ?2 x ? y ? k ? 0 ?
A.-9 正确答案:A. B.9 C.-12 D.12

29.已知关于 t 的方程 t 2 ? tx ? y ? 0 有两个绝对值都不大于 1 的实数根,则点 P ( x, y ) 在坐标平面内所对应的区域 的图形大致是

正确答案:A
2

A

B ) A.x=-1 B.y=-1

C C.x= ?

D

30.抛物线 y ? 4 x 的准线方程为( 答案:D.

1 16

D.y= ?

1 16

点评:误选 B,错因把方程当成标准方程。
2

31 .对于抛物线 C : y ? 4x ,称满足 y0 2 ? 4 x0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线内部,若点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线内部, 则直线 l : y0 y ? 2( x ? x0 ) 与曲线 C( ) D.无公共点

A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点 C.可能有一个公共点也可能有 2 个公共点 答案:D. 点评:条件运用不当,易误选 C。 32.直线 l 过点 A(2,1), B(1, m ) ,那么直线 l 倾斜角 ? 的取值范围是(
2

) 。

A.[0, ? )

B.[0,

? ? ]? ( , ? ) 4 2
2

C.[

? ,? ] 4

D.[0,

? ? ] ?( , ?) 4 2

2 正解:B. ? A(2,1), B(1, m ) m ? 0

? 点 A 与射线 x ? 1( y ≥0)上的点连线的倾斜角,选 B。

4

误解:选 D,对正切函数定义域掌握不清,故 x ?

?
2

时,正切函数视为有意义。

33. 设F 1 和 F2 为双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点, 点在双曲线上且满足 ?F1 PF2 ? 90? , 则 ?F1 PF2 的面积是 ( ) . 4
C.2 D. 5

A.1

B.

5 2

正解:A.

x2 ? y 2 ? 1 a ? 2, C ? 5 ? || PF1 | ? | PF2 ||? 4 ?| PF1 |2 ?2 | PF1 || PF2 | ? | PF2 |2 ? 16 ① 4
联立①②解得? | PF1 || PF2 |? 2 ? S ?F1PF2 ? 1

2 2 2 又? ?F1 PF2 ? 90? ? | PF ② 1 | ? | PF 2 | ? (2 5 )

误解:未将? || PF1 | ? | PF2 ||? 4 两边平方,再与②联立,直接求出 | PF1 || PF2 | . 34.已知直线 l1 和 l 2 夹角的平分线为 y ? x ,若 l1 的方程是 ax ? by ? c ? 0(ab ? 0) ,则 l 2 的方程是( A. bx ? ay ? c ? 0 B. ax ? by ? c ? 0 C. bx ? ay ? c ? 0 D. bx ? ay ? c ? 0 ) 。

a c x ? ,而 l1 与 l 2 关于直线 y ? x 对称,则 l 2 所表示的函数是 l1 所 b b a c 表示的函数的反函数.由 l1 的方程得 x ? ? y ? ? bx ? ay ? c ? 0 选 A. b b
正解:A. 法一: l1 : ax ? by ? c ? 0 ? y ? ? 法二:找对称点(略) 误解:一般用找对称点法做,用这种方法有时同学不掌握或计算有误。 35.直线 y ? kx ? 1 ,当 k 变化时,直线被椭圆

x2 ? y 2 ? 1 截得的最大弦长是( 4



A.4

B.2

C.

4 3 3

D.不能确定

正解:C. 直线 y ? kx ? 1 ,恒过 P(0,1),又是椭圆的短轴上顶点,因而此直线被椭圆的弦长即为点 P 与椭圆上任 意一点 Q 的距离, 设椭圆上任意一点 Q (2 cos? , sin ? ) 。 ? | PQ |2 ? (2 cos? ) 2 ? (sin? ? 1) 2 ? ?3sin 2 ? ? 2 sin ? ? 5

1 16 ?当sin ? ? ? 时, | PQ | 2 max ? 3 3

?| PQ | max ?

4 3 ,故选 C 3

误解:不能准确判断 y ? kx ? 1 的特征:过 P(0,1)。若用标准方程求解,计算容易出错。 36.已知直线 l1 : y ? x sin ? 和直线 l 2 : y ? 2 x ? c ,则直线 l1 与 l 2 ( A.通过平移可以重合 正解:D。只要 B.不可能垂直 ) 。

C.可能与 x 轴围成等腰直角三角形 D.通过 l1 上某一点旋转可以重合

sin a ? 1 ? ,那么两直线就相交,若相交则可得到(D) 。 2 ?1 sin a ? 1 ? 误解:A,忽视了 sin ? 的有界性,误认为 . 误解:B、C,忽视了 sin ? 的有界性。 2 ?1 37.一条光线从点 M(5,3)射出,与 x 轴的正方向成 ? 角,遇 x 轴后反射,若 tan ? ? 3 ,则反射光线所在的直线
5

方程为(



A. y ? 3x ? 12

B. y ? ?3x ? 12

C. y ? 3x ? 12

D. y ? ?3x ? 12

正解:D。 直线 MN; 3x ? y ? 12 ? 0 ,? 与 x 轴交点 N (4,0) ,反射光线方程为 y ? ?3x ? 12 ,选 D。

y

M? (5)

M (5,3)

?
N
N 的斜率计算错误,得 误解:反射光线 M ?

x

1 1 或? 。 3 3 b x, (a ? 0, b ? 0) ,若双曲线上有一点 M( x0 , y0 ) ,使 a

38.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 y ? ?

a | y0 |? b | x0 | ,那双曲线的交点(
A.在 x 轴上 B.在 y 轴上

) 。 D.当 a ? b 时在 y 轴上

C.当 a ? b 时在 x 轴上

正解:B。 由 a y0 ? b x0 得

y0 b ? ,可设 x0 ? 0, y0 ? 0 ,此时 OM 的斜率大于渐近线的斜率,由图像的性质, x0 a

可知焦点在 y 轴上。所以选 B。 误解: 设双曲线方程为

x2 y2 2 2 2 ? 2 ? ? ,化简得:b2 x2 ? a2 y 2 ? ?a2b2 ,代入 ( x0 , y0 ) ,b2 x0 , ? ?a2b2 ? a2 y0 ? b2 x0 2 a b

? ? ? 0 ,? 焦点在 x 轴上。这个方法没错,但 ? 确定有误,应 ? ? 0 ,? 焦点在 y 轴上。
误解:选 B,没有分组。 39.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点作一条直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则
2

y1 y 2 为( x1 x 2



A.4

B.-4

C. p 2

D. ? p 2

正解:D。 特例法:当直线垂直于 x 轴时, A(

yy p p ? p2 , p), B( , ? p), 1 2 ? 2 ? ?4 p 2 2 x1 x2 4

注意:先分别求出 x1 x2 , y1 y2 用推理的方法,既繁且容易出错。

x2 y2 40.过点 A(a, 0) 作椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 的弦,弦中点的轨迹仍是椭圆,记为 C 2 ,若 C1 和 C 2 的离心率分别为 e 和 a b
e ' ,则 e 和 e ' 的关系是( ) 。 A. e = e ' B. e =2 e ' C.2 e = e '
D.不能确定
2 2

a 4( x ? ) 2 (2 x ? ? ) 4 y 4y2 a2 b2 2 2 ? 正解: A。 设弦 AB 中点 P ( x, y ) , 则B ( 2 x ? ? ,2 y ) 由 + 2 =1, + 2 =1*? c ? 4 4 ?2 b b a2
6

?e ?

a2 ? b2 a2 ? b2 2 ? e ? e' = a a 2

误解:容易产生错解往往在*式中前一式分子不从括号里提取 4,而导致错误。 41.直线 y ? ? x ? tan ? ? 2, ? ? ( A. ? B. ? ?

?
2

, ? ) 的倾斜角是(
C. ? ?

) 。

?
2

D. ? ??

正解:D。由题意得:κ = ? tan? ? tan( ? ??) 误解:倾斜角与题中显示的角 ? 混为一谈。

? 在[0,π ]内正切值为κ 的角唯一

? 倾斜角为 ? ??

? ? ? ( , ? ) ? ? ? ? ? (0, ) 2 2

?

?

42.过点(1,3)作直线 l ,若 l 经过点 ( a,0) 和 (0, b) ,且 a, b ? N * ,则可作出的 l 的条数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 多于 3 正解: B.



错解: D.错因:忽视条件 a, b ? N * ,认为过一点可以作无数条直线.

43.已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 与 l 2 : x ? (a ? 1) y ? a 2 ? 1 ? 0 平行,则实数 a 的取值是 A.-1 或 2 错解:A B.0 或 1 C.-1 D.2 正解:C

错因:只考虑斜率相等,忽视 b1 ? b2

44.若圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 5) 2 ? r 2 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离为 1,则半径 r 的取值范围是 ( 错解: B 或 C 正解: A ) . A. (4,6) B.[4, 6) C. (4, 6] D.[4,6]

错因::数形结合时考虑不全面,忽视极限情况,当 r =4 时,只有一点,当 r =6 时,有三点.

45.半径不等的两定圆 O1、O2 无公共点,动圆 O 与 O1、O2 都内切,则圆心 O 是轨迹是( A. 双曲线的一支 错解: A 或 B 正解: C. 46.与圆 x ? ( y ? 5) ? 3 相切,且纵截距和横截距相等的直线共有(
2 2



B. 椭圆

C. 双曲线的一支或椭圆

D. 抛物线或椭圆

错因:两定圆 O1、O2 无公共点,它们的位置关系应是外离或内含,只考虑一种二错选.



A、2 条 答案:C
2

B、3 条 错解:A
2

C、4 条 D、6 条 错因:忽略过原点的圆 C 的两条切线 )

47.若双曲线 x ? y ? 1 的右支上一点 P(a,b)直线 y=x 的距离为 2 ,则 a+b 的值是( A、 ?

1 2

B、 错解:C

1 2

C、 ?

1 2

D、 ? 2

答案:B

错因:没有挖掘出隐含条件 a ? b

7

x2 y2 48.双曲线 ? ? 1 中,被点 P(2,1)平分的弦所在的直线方程为( 9 4
A、 8x ? 9 y ? 7 答案:D
2



B、 8x ? 9 y ? 25

C、 4 x ? 9 y ? 6

D、不存在

错解:A
2

错因:没有检验出 8x ? 9 y ? 7 与双曲线无交点。 )

49.已知圆 (x-3) +y =4 和直线 y=mx 的交点分别为 P,Q 两点,O 为坐标原点,则 OP ? OQ 的值为( A.1+m
2

B.

5 1? m2

C.5

D.10

正确答案: (C) 错误原因:遗忘了初中平几中的相关知识 50.设 f(x)=x +ax+b, 且 1 ? f (?1) ? 2,2 ? f (1) ? 4, 则点(a,b)在 aob 平面上的区域的面积是 (
2

)

A、

1 2

B、1

C 、2

D、

9 2

正确答案: (B) 错误原因:未能得出准确平面区域 51.设 P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支异于顶点的任一点, F1, F2 为两个焦点,则△ PF1F2 的内心 M 的轨迹方程是 16 9
B.x=3 ,(y≠0) C.x=5 ,(y≠0) D.x=



) A.x=4, (y≠0)

16 , (y≠0) 5


正确答案:(A) 56.过函数 y ? ?

错误原因:未能恰当地运用双曲线的定义解题。

4x ? 9 的图象的对称中心,且和抛物线 y 2 ? 8x 有且只有一个公共点的直线的条数共有( x?2

A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.不存在 正确答案: (B) 错误原因 :解本题时极易忽视中心(2,4)在抛物线上,切线只有 1 条,又易忽视平行于抛物 线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。 二、填空题: 1.若直线 y ? k ( x ? 1) 与抛物线 y ? x2 ? 4x ? 3 的两个交点都在第二象,则 k 的取值范围是______________. 解答: (-3, 0) 2.双曲线 易错原因:找不到确当的解答方法。本题最好用数形结合法。

x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 8.5,则点 P 到点( ? 5,0 )的距离_______。 16 9
由双曲线定义知 || PF 1 | ? | PF 2 ||? 8

错解 设双曲线的两个焦点分别为 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 所以 | PF 1 |? 16.5 或 | PF 1 |? 0.5

剖析: 由题意知,双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为 1,所以 | PF1 |? 0.5 不合题意,事实上,在求解此类问 题时, 应灵活运用双曲线定义, 分析出点 P 的存在情况, 然后再求解。 如本题中, 因左顶点到右焦点的距离为 9>8.5, 故点 P 只能在右支上,所求 | PF 1 |? 16.5 3.直线 xCosx+y—1=0 的倾斜角θ 的取值范围为__________。
8

正确答案:θ ∈[0,

? 3? ]∪[ ,π ]. 4 4

错误原因:由斜率范围求倾角范围在三角知识上出现错误;或忽视直

线倾角的定义范围而得出其它错误答案。 4.已知直线 l1:x+y—2=0 l2:7x—y+4=0 则 l1 与 l2 夹角的平分线方程为______。 正确答案:6x+2y—3=0 错语原因:忽视两直线夹角的概念多求了夹角的邻补角的平分线方程。 2 2 5.过点(3,—3)且与圆(x—1) +y =4 相切的直线方程是:___________。 正确答案:5x+12y+21=0 或 x=3. 错误原因:遗漏了斜率不存在的情形造成漏解。 6.已知双曲线的右准线为 x=4,右焦点 F(10,0)离心率 e=2,则双曲线方程为______。 正确答案:

( x ? 2) 2 y 2 ? ? 1 . 错误原因:误认为双曲线中心在原点,因此求出双曲线的标准方程而出现错误。 16 48
2

7.过点(0,2)与抛物线 y =8x 只有一个共点的直线有______条。 正确答案:3. 错误原因:认为与抛物线只有一个共点的直线只能与抛物线相切而出错。 8.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 e,且 e∈(1,2)则 k 的范围是________。 4 k
错误原因:混淆了双曲线和椭圆的标准方程。

正确答案:k∈(—12,0).

9. 已知 P 是以 F1、 F2 为焦点的双曲线

1 x2 y2 ? ? 1 上一点, PF1⊥PF2 且 tan∠PF1F2= , 则此双曲线的离心率为______。 2 2 b a

正确答案: 5 .

错误原因:忽视双曲线定义的应用。
2

10.过点 M(—1,0)的直线 l1 与抛物线 y =4x 交于 P1,P2 两点,记线段 P1P2 的中点为 P,过 P 和这个抛物线的焦点 F 的直线为 l2,l1 的斜率为 K,试把直线 l2 的斜率与直线 l1 的斜率之比表示为 k 的函数,其解析式为________,此函 数定义域为________。 正确答案:f(k)=

1 1? k 2

(—1,0)∪(0,1)

错误原因:忽视了直线 l1 与抛物线相交于两点的条件,得出错误的定义域。 11.已知 F1、F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点,P 是椭圆上一点,且∠F1PF2=90°, a 2 b2


则椭圆的离心率 e 的取值范围是

答案: ?

? 2 ? ,1? ? ? 2 ?
2

错因:范围问题主要是找不等关系式,如何寻求本题中的不等关系,忽视椭圆的范围。

12.已知一条曲线上面的每一点到点 A(0,2)的距离减去它到 x 轴的距离的差都是 2,则这曲线的方程是____. 正确答案: x ? 8 y 或 x ? 0? y ? 0? .错因:数形结合时考虑不全面。 13.已知 F1 、 F2 是双曲线 的距离为___________. 14.已知点 F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点,点 P 是双曲线上一点,若 P 到焦点 F1 的距离为9,则 P 到焦点 F2 16 20
错因:不注意取舍。

正确答案:17.

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,点 A(4,1) 是椭圆内的一点,点 P( x, y)( x ? 0) 是椭圆上的一个动点, 25 16
. (答案:5)
9

则 | AP ? FA | 的最大值是

??? ? ??? ?

15.若直线 l:y=kx-2 交抛物线 y =8x 于 A、B 两点,且 AB 中点横坐标为 2,则 l 与直线 3x-y+2=0 的夹角的正切 值为___________

2

1 1 . 点评:误填 或 2,错因:忽略直线与抛物线相交两点的条件△>0 7 7 x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围为 x=___________ 16.直线 y=kx-2 与焦点在 x 轴上的椭圆 5 m
答案: 答案:4≤m<5. 点评:易忽略条件“焦点在 x 轴上” 。 2 2 17.与圆 x +y -4x=0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为__________ 2 答案:y =8x(x≥0)或 y=0(x<0). 点评:易数列结合,忽略“y=0(x<0) ” 。 18.一动点到 y 轴的距离比到点(2,0)的距离小 2,这个动点的轨迹方程是_______ 2 2 答案:y =8x 或 y=0(x<0). 点评:易用抛物线定义得“y =8x”而忽略“y=0(x<0) ” 19.一个椭圆的离心率为 e=

1 ,准线方程为 x=4,对应的焦点 F(2,0),则椭圆的方程为____________ 2 c 1 2 2 答案:3x +4y -8x=0. 点评:易由条件得:c=2, ? 错写成标准方程,而忽略条件 x=4 未用。 a 2
2

20.已知 a、b、c 分别是双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距,若方程 ax +bx+c=0 无实根,则此双曲线的离心率 e 的取值范围是___________ 答案:1<e<2+ 5 .
2

点评:易忽视双曲线离心率的基本范围“e>1” 。
2

21.若方程(9-m)x +(m-4)y =1 表示椭圆,则实数 m 的取值范围是_________ 答案:4<m<9 且 m ?

13 . 点评:易误填:4<m<9,而忽略方程可能表示圆的情况。 2

22.一双曲线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有共同焦点,并且与其中一个交点的纵坐标为 4,则这个双曲线的方程为_____。 27 36

正解:-

x2 y2 x2 y2 ? ? 4 ,设双曲线的方程为 ? ? ? 1 (27 ? k ? 36 ) 5 4 k ? 27 36 ? k x 2 42 15 42 x2 y2 ? ? 1? x 2 ? 15 ? ? ? ? 1 ? k ? 32 .故所求双曲线方程为 ? ? ?1 27 36 k ? 27 36 ? k 5 4

又由题意知

误解:不注意焦点在 y 轴上,出现错误。 23.已知直线 l 与点 A(3,3) 和 B(5, 2) 的距离相等,且过二直线 l1 :3x-y-1=0 和 l 2 :x+y-3=0 的交点,则直线 l 的 方程为 错解: x ? 2 y ? 5 ? 0 错因:应该有两种可能,忽视经过 AB 中点的情况. 正解: x ? 6 y ? 11 ? 0 或 x ? 2 y ? 5 ? 0 24.已知直线 x=a 和圆(x-1) +y =4 相切,那么实数 a 的值为_______________ 错解:a = 3 错因:只考虑一种情况。 正解:a = 3 或 a =-1 正解:5
2 2

F2 是椭圆 25. 已知 F1 、
错解:

x2 y2 ? ? 1 的左、 右焦点, P 为椭圆上一个点, 且 | PF1 |:| PF2 |? 1 : 2 , 则 PF2 的斜率为_______. 9 5
错因:忽视对称性,只求出一解. 正解: ?
2 2

15 15 ,或 ? 7 7

15 7

26.过圆外一点 P(5,-2)作圆 x +y -4x-4y=1 的切线,则切线方程为__________。 错解:3x+4y-7 = 0 错因:忽视斜率不存在的情况,导致缺解。 正解:3x+4y-7 = 0 或 x = 5 2 2 27.已知圆方程为 x +y +8x+12=0,在此圆的所有切线中,纵横截距相等的条数有____________ 错解:2 错因:忽视过原点的直线纵横截距相等. 正解:4
10

28.如果方程 x +ky =2 表示椭圆,那么实数 k 的取值范围是____________ 错解: k ? 0 . 错因:忽视圆是椭圆的特殊情况。正解: k ? 0, k ? 1 29.过双曲线 x -
2

2

2

y2 ? 1 的右焦点作直线交双曲线于 A、B 两点,且 AB ? 4 ,则这样的直线有___________条。 2

错解:2.错因:设 y ? k ( x ? 3) 代入椭圆的方程算出有两条,当 k 不存在,即直线 AB ? x 轴时, |AB|=4,忽视此种情况。 正解:3

30.一动点到定直线 x=3 的距离是它到定点 F(4,0)的距离的比是

1 ,则动点轨道方程为 2



8 (x ? )2 2 3 ? y ? 1. 错解:由题意有动点的轨迹是双曲线,又 F(4,0) 答案: ,所以 c=4,又准线 x=3,所以 4 4 9 3
a2 x2 y2 ? 3, a 2 ? 12, b 2 ? 4 ,故双曲线方程为 ? ?1 c 12 4
错因:没有明确曲线的中心位置,而套用标准方程。 31.经过双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 30 ? 的弦 AB,则 ?F1 AB 的周长为 3



答案: 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 其中 x1 ? 0, x2 ? 0, a ? 1, e ? 2, 则 AF , BF ), 1 ? ex1 ? a ? 2x1 ? 1 1 ? ?(2x2 ? 1 所 以 AF 1 ? BF 1 ? 2( x1 ? x2 ) , 将 弦 AB 的 方 程 y ?

3 ( x ? 2) 代 入 双 曲 线 方 程 , 整 理 得 3

1 13 3 3 8 x 2 ? 4 x ? 13 ? 0, 所以 x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? ? , 则 AB ? 3 ,可求得 x1 ? x2 ? 故答案为 3 ? 3 3 2 8 2
错解:10.错因:作图错误,没有考虑倾斜角为 30 ? 的直线与渐近线的关系,而误将直线作成与右支有两交点。 32.若椭圆的两准线之间的距离不大于长轴长的 3 倍,则它的离心率 e 的范围是 。 答案: [ ,1)

1 3

错解: [ ,?? )

1 3

错因:只注重对显性已知条件的翻译,不注意隐性条件椭圆离心率 0<e<1 而导致错误。 33. 曲线 C 的方程为 (1 ? k ) x 2 ? (3 ? k 2 ) y 2 ? 4(k ? R), 则曲线 C 为圆时 k= 答案: ? 1;1或 ? 3 错解:k =2 或 k=-1;k=1或 k= ? 3 , 曲线 C 为两直线时 k= 错因:忽视对结果的检验。 。 。

2 2 34.如果不论实数 b 取何值,直线 y ? kx ? b 与双曲线 x ? 2 y ? 1总有公共点,那么 k 的取值范围为

答案: (?

2 2 , ) 2 2

错解: [?

2 2 , ] 2 2

错因:没考虑 b=0 时,直线不能与渐近线平行。

2 35.若直线 y=x+b 与曲线 x ? 1 ? y 恰有一个公共点,则有 b 的取值范围是



答案: (?1,1] ? {? 2}

错解: ?

2 . 错因:将 x ? 1 ? y 2 所作变形不是等价变形,扩大为圆研究。
11

36.与 X 轴和射线 y ? ? 3x( x ? 0) 都相切的圆的圆心轨迹方程为 答案: y ? ?



3 3 x( x ? 0) .错因:忽略动圆与 y ? ? 3x 及 x 正半轴相切. x( x ? 0), y ? 3x( x ? 0) .错解: y ? ? 3 3


37.若平面上两点 A(-4,1) ,B(3,-1) ,直线 y ? kx ? 2 与线段 AB 恒有公共点,则 k 的取值范围是 答案: k ?

1 或k ? ?1 4

错解: ? 1 ? k ?

1 4

错因:没理清斜率与倾斜角的变化关系。

?2 x ? y ? 2 ? 0 2 1? ? ? 2 38.已知 ? x ? 2 y ? 4 ? 0则? x ? 1? ? ? y ? ? 的最小值为 2? ? ?3x ? y ? 3 ? 0 ?
正确答案:

81 20

错误原因:未能准确实施数面形的转换。

2 39.若直线 y=x+b 和曲线 x ? 1 ? y 恰有一个公共点,则 b 的取值范围是

正确答案:-1< b≤1 或 b =- 2

错误原因:考虑问题不全面

?x ? y ? z ? 1 ?0 ? x ? 1 ? 40.设 x,y,z 满足约束条件组 ? 则 t=3x+6y+4z 的最大值为 0 ? y ? 2 ? ? ?3 x ? z ? 2
正确答案:5 41.双曲线 错误原因:未想到利用等量关系 z=1-x+y 转化为我们熟悉的线性规则问题。

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到左焦点距离为 20,则点 P 到右准线的距离为 64 36
16 144 或 5 5
错误原因:忽视本题应为两解.
2 2

正确答案:

42.如果不论实数 b 取何值,直线 y=Kx+b 和双曲线 x -2y =1 总有公共点,那么 K 的取值范围为 正确答案: (-

.

2 2 , ) 错误原因:因为出现了两个字母 K 和 b,所以无法处理。 2 2
.

43.已知 F1,F2 分别为双曲线的左右焦点,点 P 在双曲线上,若△POF2 是面积为 1 的正三角形,则 b 的值为 正确答案: 2 错误原因:点 P(

C 3 , C )未能正确写出. 2 2

44.已知 OF ? ?1 , 0?, OT ? ?? 1 ,t ?, FM ? MT , PM ? FT, PT ∥ OF ,O 为坐标原点,当 t 变化时,则点 P 的轨 迹方程为 2 正确答案: 抛物线 y =4x.错误原因: 本题是以向量形式给出的已知条件, 故很多学生未能看出这些条件的几何意义。

2 *45.已知正方形 ABCD 对角线 AC 所在直线方程为 y ? x .抛物线 f ( x) ? x ? bx ? c 过 B,D 两点

(1)若正方形中心 M 为(2,2)时,求点 N(b,c)的轨迹方程。
12

(2)求证方程 f ( x) ? x 的两实根 x1 , x2 满足 | x1 ? x2 |? 2 解答: (1)设 B(2 ? s, 2 ? s), D(2 ? s, 2 ? s), s ? 0

因为 B,D 在抛物线上 所以 ?

? 2 ? s ? (2 ? S ) 2 ? b(2 ? S ) ? c
2 ?2 ? S ? (2 ? S ) ? b(2 ? S ) ? c

两式相减得

2s ? ?8s ? 2sb
2

则 b ? ?5 代入(1)
2

得 2 ? s ? s ? 4s ? 4 ? 10 ? 5s ? c ? c ? 8 ? s ? 8 (2)设 B(t ? s, t ? s), D(t ? s, t ? s)s ? 0 (1)-(2)得 t ? ? 同上 ?

故点 N (b, c) 的方程 x ? ?5( y ? 8) 是一条射线。

? t ? s ? (t ? s ) 2 ? b(t ? s ) ? c ??(1)
2 ?t ? s ? (t ? s ) ? b(t ? s ) ? c ??(2)

b ?1 ??(3) 2
2

(1)+(2)得 s2 ? (b ?1)t ? t 2 ? c ? 0??(4)

(3)代入(4)消去 t 得 s ? 得 (b ? 1)2 ? 4c ? 4

b2 ? 1 (b ? 1)2 ? ?c ? 0 2 4

又 f ( x) ? x 即 x2 ? (b ?1) x ? c ? 0 的两根 x1 , x2 满足 x1 ? x2 ? 1 ? b 故 | x1 ? x2 |? 2 。

x1 ? x2 ? c

? | x1 ? x2 |2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? (b ?1)2 ? 4c ? 4
易错原因:审题不清,忽略所求轨迹方程的范围。 46.已知双曲线两焦点 F1 , F2 ,其中 F 1为 y ? ?

1 ( x ? 1) 2 ? 1 的焦点,两点 A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上, (1)求 4

点F (2)求点 F2 的轨迹方程,并画出轨迹的草图; (3)若直线 y ? x ? t 与 F2 的轨迹方程有且只有一个公 1 的坐标; 共点,求实数 t 的取值范围。 解答: (1)由 y ? ?

1 ( x ? 1) 2 ? 1 得: ( x ? 1)2 ? ?4( y ?1) 4



F1 (? 1, 0 )

(2)设点 F2 ( x, y)

则又双曲线的定义得 || AF 1 | ? | AF 2 ||?|| BF 1 | ? | BF 2 ||? 0

又? | AF2 |?| AF1 |? 2 2

? | AF2 |?| BF 2| 或 | F2 A | ? | F2 B |?| AF1 | ? | BF1 |? 4 2

? 点 F2 的轨迹是以 A, B 为焦点的椭圆
? x ? 1 ? 0 除去点 (?1,0),(?1, 4) 或
( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ? ? 1 除去点 (?1,0),(?1, 4) 8 4
图略.

y ? x?t ? ? 2 2 (3)联列: ? ( x ? 1)2 ( y ? 2) 消去 y 得 ( x ? 1) ? 2( x ? t ? 2) ? 8 ? ?1 ? 4 ? 8
整理得: 3x ? (4t ? 6) x ? 2t ? 8t ? 1 ? 0
2 2

当?? 0 时 得 t ? 3? 2 3

从图可知: t ? (??,3 ? 2 3) ? (3 ? 2 3, ??) ,
13

又因为轨迹除去点 (?1,0),(?1, 4) 所以当直线过点 (?1,0),(?1, 4) 时也只有一个交点,即 t ? 1 或 5

?t ?( ? ? , 3 ?2 3 ?)

(3 ? 2 3 ?? ,? )

{1, 5}

易错原因: (1)非标准方程求焦点坐标时计算易错; (2)求点 F2 的轨迹时易少一种情况; (3)对有且仅 有一个交点误认为方程只有一解。

14


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