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2010年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)文科数学试题答案


2010 年佛山市普通高中高三教学质量检测(二) 数学试题(文科)参考答案和评分标准
一、选择题 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 B 5 C 6 A 7 A 8 C 9 B 10 D

二、填空题 本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 150 12.

3 2

13. 0 ? a ?

1 2

14.

6 2

15. 2

三、解答题 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题中表格给出的信息可知,函数 f ( x ) 的周期为 T ? 所以 ? ?

3? ? ? ?? , 4 4

2?

?

?2.

……………………………………………………………2 分

注意到 sin(2 ? ( ?

?
4

) ? ? ) ? 0 ,也即 ? ?

?
2

? 2k? (k ? Z ) ,由 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?
2

………………4 分

所以函数的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅱ)∵ f ( A) ? cos 2 A ? ?

?
2

) (或者 f ( x) ? cos 2 x ) ………………………………………5 分
………………………………………6 分

1 ? 2? ,∴ A ? 或 A ? 2 3 3 ? BC AC ? 当 A ? 时,在 ?ABC 中,由正弦定理得, , 3 sin A sin B 3 2? AC ? sin A 2 ? 3, ? ∴ sin B ? BC 3 3 ? 6 ∵ BC ? AC ,∴ B ? A ? ,∴ cos B ? , 3 3
∴ sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

………………………………………7 分 ………………………………………8 分

3 6 1 3 3 2? 3 ? ? ? ? ,………………9 分 2 3 2 3 6

∴ S?ABC ?

1 1 3 2? 3 3 2? 3 ? AC ? BC ? sin C ? ? 2 ? 3 ? ? . …………………………………10 分 2 2 6 2
2? 1 1 3 2? 3 3 2? 3 ? 时, S?ABC ? ? AC ? BC ? sin C ? ? 2 ? 3 ? .………12 分 3 2 2 6 2

同理可求得,当 A ?

(注:本题中第一问由于取点的不同而导致求周期和 ? 方法众多,只要言之有理并能正确求出即给分).

第1页

共5页

17. (本题满分 12 分) 解: ( I )依题意,得 f ?( x) ? x2 ? 2ax ? b ……………………………………………………………1 分 …………………3 分

由于 x ? ?1 为函数的一个极值点,则 f ?(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 ,得 b ? 2a ? 1 (Ⅱ)由(I)得 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (2a ? 1) x , 3

故 f ?( x) ? x2 ? 2ax ? 2a ?1 ? ( x ? 1)( x ? 2a ?1) 令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a 由于 ?1 ? (1 ? 2a) ? 2a ? 2 ? 2(a ? 1) ①当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下表: …………………………………………………5 分

x
f ?( x )
f ( x)

(??,1 ? 2a)

(1 ? 2a, ?1)

(?1, ??)

?
?

?
?

?
?

由上表可得,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ;………8 分 ②当 a ? 1 时,1 ? 2a ? ?1 ,此时, f ?( x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f ?( x) ? 0 ,故函数 f ( x ) 的单调区 间为 R; …………………………………………………9 分

③当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 ,同理可得函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为

(?1,1 ? 2a)

…………………………………………………11 分

综上:当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a) …………………………………………………12 分 18. (本题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)∵ AD ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴四边形 ACED 为梯形,且平面 ABC ? 平面 ACED ,
2 2 2 ∵ BC ? AC ? AB ,∴ AB ? AC ,

…………………………………………………2 分
第2页 共5页

∵平面 ABC ? 平面 ACED ? AC ∴ AB ? 平面 ACED ,即 AB 为四棱锥 B ? ACED 的高,……………………………………………… 4 分 ∵ VB ? ACED ? ∴ CE ? 2 , 作 BE 的中点 G ,连接 GF , GD , ∴ GF 为三角形 BCE 的中位线, ∴ GF // EC // DA , GF ?

1 1 1 1 ? S ACED ? AB ? ? ? (1 ? CE ) ?1?1 ? , 3 3 2 2
……………………………………………… 6 分

1 CE ? DA , 2

……………………………………………… 8 分

∴四边形 GFAD 为平行四边形, ∴ AF // GD ,又 GD ? 平面 BDE ,∴ AF // 平面 BDE .…………………………………………… 10 分 (Ⅱ)∵ AB ? AC , F 为 BC 的中点, ∴ AF ? BC ,又 GF ? AF ,∴ AF ? 平面 BCE , ……………………………………………… 12 分 ∵ AF // GD ,∴ GD ? 平面 BCE , 又 GD ? 平面 BDE , ∴平面 BDE ? 平面 BCE . 19. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)依题意,从第 13 个月开始,每个月的还款额为 an 构成等差数列,其中 a1 ? 500 ? x ,公差为 ……………………………………………… 14 分

x.
从而,到第 36 个月,凌霄共还款 12 ? 500 ? 24a1 ? 令 12 ? 500 ? (500 ? x) ? 24 ?

……………………………………………… 2 分

24 ? (24 ? 1) ?x 2

……………………… 4 分

24 ? (24 ? 1) ? x ? 24000 ,解之得 x ? 20 (元). …………………… 6 分 2
………………… 7 分

即要使在三年全部还清,第 13 个月起每个月必须比上一个月多还 20 元. (Ⅱ)设凌霄第 n 个月还清,则应有

12 ? 500 ? (500 ? 50) ? ( n ? 12) ?
2

(n ? 12) ? (n ? 12 ? 1) ? 50 ? 24000 2

………………… 8 分

整理可得 n ? 3n ? 828 ? 0 ,解之得 n ? 即凌霄工作 31 个月就可以还清贷款. 这个月凌霄的还款额为

3 ? 3321 ? 30 ,取 n ? 31 . 2

………………… 10 分

24000 ? [12 ? 500 ? (500 ? 50) ? (30 ? 12) ?
19

(30 ? 12) ? (30 ? 12 ? 1) ? 50] ? 450 元………………… 12 分 2

第 31 个月凌霄的工资为 1500 ?1.05 ? 1500 ? 2.526 ? 3789 元. 因此,凌霄的剩余工资为 3789 ? 450 ? 3339 ,能够满足当月的基本生活需求.
第3页 共5页

………………… 14 分

20. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵抛物线 C1 : y 2 ? 8x 的焦点为 F2 (2,0) , ∴双曲线 C2 的焦点为 F1 (?2,0) 、 F2 (2,0) , 设 A( x0 , y0 ) 在抛物线 C1 : y 2 ? 8x 上,且 AF2 ? 5 , 由抛物线的定义得, x0 ? 2 ? 5 ,∴ x0 ? 3 ,
2 ∴ y0 ? 8 ? 3 ,∴ y0 ? ?2 6 ,

……………………………………………… 1 分 ……………………………………………… 2 分

………………………………………………3 分 ……………………………………………… 4 分 ……………………………………………… 5 分

∴ | AF1 |?

(3 ? 2) 2 ? (?2 6) 2 ? 7 ,

又∵点 A 在双曲线上, 由双曲线定义得, 2a ?| 7 ? 5 |? 2 ,∴ a ? 1 , ∴双曲线的方程为: x ?
2

……………………………………………… 6 分

y2 ? 1. 3

……………………………………………… 7 分

(Ⅱ)

s 为定值.下面给出说明. t

……………………………………………… 8 分

设圆 M 的方程为: ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 ,双曲线的渐近线方程为: y ? ? 3x , ∵圆 M 与渐近线 y ? ? 3x 相切,∴圆 M 的半径为 r2 ? 故圆 M : ( x ? 2) ? y ? 3 ,
2 2

2 3 1 ? ( 3 )2

? 3,

………………… 9 分

………………………… 10 分

设 l1 的方程为 y ? 3 ? k ( x ?1) ,即 kx ? y ? 3 ? k ? 0 , 设 l2 的方程为 y ? 3 ? ?

1 ( x ? 1) ,即 x ? ky ? 3k ?1 ? 0 , k

∴点 M 到直线 l1 的距离为 d1 ?

| 3k ? 3 | 1? k
2

,点 N 到直线 l2 的距离为 d 2 ?
2

| 3k ? 1| 1? k 2

,……………… 11 分

? 3k ? 3 ? 6 3k ? 6k 2 ∴直线 l1 被圆 M 截得的弦长 s ? 2 3 ? ? , 2 ? 1? k 2 ? ? ?2 1 ? k ? ?


………………………… 12

? 3k ? 1 ? 2 3k ? 2k 2 直线 l2 被圆 N 截得的弦长 t ? 2 1 ? ? , ? 2 ? 1? k 2 ? ? 1? k 2 ? ?


2

………………………… 13 分

s 6 3k ? 6k 2 6( 3k ? k 2 ) s ? ? ? 3 ,故 为定值 3 . 2 2 t t 2 3k ? 2k 2( 3k ? k )
第4页 共5页

………………………… 14 分

21. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)? f / ( x) ? (n ? 1) xn (n ? N * ) , ………………………… 1 分

? 1? ∴点 P 处的切线斜率 kn ? (n ? 1) ? ? ? , ? 2?
∴切线方程为: y ? ? ? ?

n

………………………… 2 分
n

? 1? ? 2?

n ?1

1 ? 1? ? (n ? 1) ? ? ? ( x ? ) , 2 ? 2?
n

………………………… 3 分
n

? 1? 令 x ? 0 得: yn ? ? ? ? ? 2?

n ?1

n ?1 ? 1 ? n ? 1? ? ? ? ? ? ,故数列 { yn } 的通项公式为: yn ? ? ? ? ? .…………… 4 分 2 ? 2? 2 ? 2?
2 3 n

1 ? 1? 2 ? 1? 3 ? 1? n ? 1? (2) Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ------① 2 ? 2? 2 ? 2? 2 ? 2? 2 ? 2?
两边同乘 ?

1 1 1 ? 1? 2 ? 1? 3 ? 1? n ? 1? 得: ? ? Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2? 2 ? 2? 2 ? 2? 2 ? 2?
2 3 n

2

3

4

n ?1

------②
n ?1

3 1 ? 1? 1 ? 1? 1 ? 1? 1 ? 1? n ? 1? ① ? ②得: ? sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2? 2 ? 2? 2 ? 2? 2 ? 2? 2 ? 2? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?3Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
1 ? 1? ? ??? ? 2 ? 2? ? 1 1? 2
n ?1

……………… 6 分

2

3

n

n ?1

? 1? ? n ?? ? ? ? 2?

n ?1

? 1? 1? ? ? ? n ?1 2? ? 1? ? ?? ? n?? ? ? 3 ? 2?

n

n ? 1 ? 2 ? 3n ? 1 ? ? ? ? ? ? 1? ∴ Sn ? ? 9? ? 2 ? 2? ? ?

…………………… 8 分

其中 S1 ? y1 ? ?

1 3 1 , S2 ? y1 ? y2 ? 0 , S3 ? ? , S4 ? ? 4 16 16
…………………… 10 分

猜测 Sn 的最大值为 S2 ? 0 .证明如下:
n ? 1 ? 2 ? 3n ? 1 ? ? ? ? ? 1? ? 0 ; (i)当 n 为奇数时, S n ? ? ? 9? ? 2 ?2? ? ?

…………………… 11 分

(ii)当 n 为偶数时, Sn ?

2 ? 3n 8 ? 3n 1 ? 2 ? 3n ? ? ? n?1 ? 1? ,设 h(n) ? n ?1 ,则 h(n ? 2) ? n ?3 . 2 2 9 ? 2 ?
…………………… 13 分 …………………… 14 分

h(n ? 2) ? h(n) ?
故 h( n) ?

8 ? 3n 2 ? 3n 9n ? n ?1 ? ? n ?3 ? 0 , ∴ h(n ? 2) ? h(n) . n ?3 2 2 2

2 ? 3n 的最大值为 h(2) ? 1 ,即 Sn 的最大值为 S2 ? 0 . 2n ?1
第5页 共5页


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