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2013年北京市东城区高三二模数学(文)试题Word版带答案


北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(二) 数学 (文科)
一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1、 已知集合 A ? {x | x( x ? 1) ? 0, x ? R} , B ? {x | ?2 ? x ? 2, x ? R} ,那么集合 A ? B 是( ) A. ? C. ?x | ?2 ? x ? 2 ,x ? R? B. ?x | 0 ? x ? 1,x ? R? D. ?x | ?2 ? x ? 1,x ? R?
频率 组距 0.054

2、 如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图, 其 中 成 绩 分 组 区 间 是 : ? 40 , 50 ? , ?50 , 60 ? , ?60 , 70 ? ,
100? ,则图中 x 的值等于( ?70 ,80? , ?80 ,90? , ?90 ,


x 0.01 0.006 0

A. 0.754 C. 0.018 3、

B. 0.048 ? D. 0.012 )

成绩 40 50 60 70 80 90 100

? 2 x?0 ?? , ,则 f ? f ? ?1?? 等于( f ? x? ? ? x ? ?3 ? log 2 x ,x ? 0

A. ?2 B. 2 C. ?4 D. 4 4、 已知一个三棱锥的三视图如图所示, 其中三个视图都是直角三角形, 则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

5、 已知命题 p : ?x ? R , sin ? π ? x ? ? sin x ;命题 q : ? , ? 均是第一象限的角,且 ? ? ? ,则
sin? ? sin? .下列命题是真命题的是(

) D. p ? q

A. p ? ?q

B. ?p ??q

C. ?p ? q

?y ≤ x ? 6、 已知 x , y 满足 ? x ? y ≤1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? y ≥ ?1 ?



A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

7、 根据表格中的数据,可以断定函数 f ? x ? ? ln x ?

3 的零点所在的区间是( x



x
ln x

1
0
3

2
0.69
1.5

e

3

5

1
1.10

1.10

1.61
0.6

3 x

1

2? A. ?1,

e? B. ? 2 ,

3? C. ? e ,

5? D. ? 3 ,

8、 在数列 ?an ? 中,若对任意的 n ? N* ,都有

an ? 2 an ?1 ? ? t ( t 为常数) ,则称数列 ?an ? 为比等差 an ?1 an

数列, t 称为比公差.现给出以下命题: ①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;

2n?1 1 ,则数列 ?an ? 是比等差数列,且比公差 t ? ; 2 2 n ③若数列 ?cn ? 满足 c1 ? 1 , c2 ? 1 , cn ? cn ?1 ? cn ? 2 ( n ≥ 3 ) ,则该数列不是比等差数列;
②若数列 ?an ? 满足 an ? ④若 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列,则数列 ?anbn ? 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ? ? ? ? 9、 已知向量 a ? ? 2 , ? ? ,若 a ∥ b ,则 ? ? ________. ? 3? , b ? ?1, 10、 各项均为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 a3 ? 2 ,S4 ? 5S2 , 则 a1 的值为________, S4 的值为________. 11、 阅读程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值为 ? 25 时,输出 x 的值为 ________. C 的对边分别为 a , b,c, 12、 在 △ ABC 中, 角 A, 且 A+C ? 2 B 若 a ? 1 , B,
b ? 3 ,则 c 的值为________.
输出 x

开始 输入x x >1 是 x= x 1 否

x =3x +1

13、 过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点的直线交抛物线于 A , B 两点,若 AB ? 10 ,则 AB 的中点 P 到 y 轴的距离等于________.

结束

?1? 14、 对定义域的任意 x ,若有 f ? x ? ? ? f ? ? 的函数,我们称为满足“翻负”变换的函数,下列函数: ?x? ? ? x, 0 ? x ? 1 ? 1 x ?1 ① y ? x ? ,② y ? log a x ? 1 ,③ y ? ?0, x ? 1 ?? , x ? 1 ? x 其中满足“翻负”变换的函数是________. (写出所有满足条件的函数的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15、 (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x

?

3 cos x ? sin x .

?

⑴ 求 f ? x ? 的最小正周期;
2π ? ? ⑵ 当 x ? ? 0 , ? 时,求 f ? x ? 的取值范围. 3 ? ? 16、 (本小题共 13 分) 用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表: (单位:人)

年级 高一 高二 高三 ⑴ 求x, y;

相关人数 99 27 18

抽取人数 x

y
2

⑵ 若从高二、高三年级抽取的人中选 2 人,求这二人都来自高二年级的概率.

17、 (本小题共 14 分) 如图, △ BCD 是等边三角形, AB ? AD , ?BAD ? 90? , M , N , G 分别是 BD , BC , AB 的中点,将 △ BCD 沿 BD 折叠到 △BC ?D 的位置,使得 AD ? C ?B . ⑴ 求证:平面 GNM ∥ 平面 ADC ? ; ⑵ 求证: C ?A ? 平面 ABD .
A G B N C
B C

M

D
N G A M D

18、 (本小题共 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

a (a ? 0) . x

⑴ 求 f ? x ? 的单调区间;
3? , ⑵ 如果 P ? x0 ,y0 ? 是曲线 y ? f ? x ? 上的点, 且 x0 ? ? 0 , 若以 P ? x0 ,y0 ? 为切点的切线的斜

1 率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的最小值; 2

19、 (本小题共 13 分)
3 x2 y 2 0? , B ? 0 , ? b? 的 ,原点到过点 A ? a , ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? 2 2 a b 4 5 直线的距离是 . 5 ⑴ 求椭圆 C 的方程; ⑵ 如果直线 y ? kx ? 1 ( k ? 0 )交椭圆 C 于不同的两点 E , F ,且 E , F 都在以 B 为圆心的

已知椭圆 C :

圆上,求 k 的值.

20、 (本小题共 13 分) 已知数列 ?an ? , a1 ? 1 , a2 n ? an , a4n?1 ? 0 , a4 n ?1 ? 1 ( n ? N* ) . ⑴ 求 a4 , a7 ; ⑵ 是否存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N* ,有 an?T ? an .

北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(二) 数学参考答案(文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (2)C (3)D (4)D (5)A (6)C (7)C (8)D 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 3 1 15 (9) ? (10) (11) 4 2 2 2 (12)

? 3

2

(13) 4

(14)①③

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x)
? 3 sin x cos x ? sin 2 x

1 = (2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x) 2

1 1 = ( 3 sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2 ? 1 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2
所以 f ( x) 的最小正周期 T ? (Ⅱ) 因为 0 ? x ? 所以

2? ? ?. ?

2? , 3

? ? 3? . ? 2x ? ? 6 6 2

3 1 所以 f ( x) 的取值范围是 (? , ] . ………………………………13 分 2 2 (16) (共 13 分) x y 2 解: (Ⅰ)由题意可得 ? ? ,所以 x ? 11 , y ? 3 . 99 27 18
(Ⅱ)记从高二年级抽取的 3 人为 b1 , b2 , b3 ,从高三年级抽取的 2 人为 c1 , c 2 , 则从这两个年级中抽取的 5 人中选 2 人的基本事件有:(b1 , b2 ) ,(b1 , b3 ) ,(b1 , c1 ) ,(b1 , c2 ) ,(b2 , b3 ) ,
(b2 , c1 ) , (b2 , c2 ) , (b3 , c1 ) , (b3 , c2 ) , (c1 , c2 ) 共 10 种. ……8 分

设选中的 2 人都来自高二的事件为 A , 则 A 包含的基本事件有: (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) 共 3 种.

P ( A) ?
因此

3 ? 0.3 10 .
………………………………………13 分

故选中的 2 人都来自高二的概率为 0.3 . (17) (共 14 分)

证明: (Ⅰ)因为 M , N 分别是 BD , BC 的中点, 所以 MN // DC ? . 因为 MN ? 平面 ADC ? ,
C

'

DC ? ? 平面 ADC ? ,
所以 MN // 平面 ADC ? . 同理 NG // 平面 ADC ? . 又因为 MN ? NG ? N , 所以平面 GNM // 平面 ADC ? .
B

N A G M D

(Ⅱ)因为 ?BAD ? 90 ,
?

所以 AD ? AB . 又因为 AD ? C B ,且 AB ? C B ? B ,
'

'

所以 AD ? 平面 C AB . 因为 C A ? 平面 C AB ,
' '

'

所以 AD ? C A .
'

因为△ BCD 是等边三角形, AB ? AD , 不防设 AB ? 1 ,则 BC ? CD ? BD ? 可得 C ?A ? 1 . 由勾股定理的逆定理,可得 AB ? C A .
'

2,

因为 AB ? AD ? A , 所以 C A ? 平面 ABD .
'

………………………………………………14 分

(18) (共 14 分)

f ( x) ? ln x ?
解:(Ⅰ)

a x ,定义域为 (0, ??) ,

f | ( x) ?


1 a x?a ? ? 2 x x2 x .

? ? 因为 a ? 0 ,由 f ( x) ? 0, 得 x ? (a, ??) , 由 f ( x) ? 0, 得 x ? (0, a) ,
所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a ) . (Ⅱ)由题意,以

P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k 满足
( 3? x0 ? 0 , )

k ? f ?( x0 ) ?

x0 ? a 1 ? 2 x0 2

1 a ? ? x0 2 ? x0 3 ? x0 ? 0 恒成立. 2 所以 对

x ? 0 时, 又当 0

?

3 1 1 ? ? x0 2 ? x0 ? 2 2 2,

1 所以 a 的最小值为 2 .
(19) (共 13 分)

……14 分

c 3 ? 2 , a 2 ? b2 ? c 2 , 解(Ⅰ) 因为 a
所以 a ? 2b .

ab 4 5 x y d? ? ? ?1 5 , a 2 ? b2 因为原点到直线 AB : a b 的距离
解得 a ? 4 , b ? 2 .

x2 y ? ?1 故所求椭圆 C 的方程为 16 4 .
(Ⅱ) 由题意

2

? y ? kx ? 1, ? 2 ?x y2 ? ?1 ? y ,整理得 ?16 4 消去

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ?12 ? 0 .
可知 ? ? 0 . 设

E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , EF 的中点是 M ( xM , yM ) ,
xM ? x1 ? x2 ?4k 1 ? yM ? kxM ? 1 ? 2 2 1 ? 4k , 1 ? 4k 2 .



k BM ?
所以 所以

yM ? 2 1 ?? xM k.

xM ? kyM ? 2k ? 0 .

?4k k ? ? 2k ? 0 2 2 1 ? 4 k 1 ? 4 k 即 .
又因为 k ? 0 ,

k2 ?
所以

1 2 k ?? 8 .所以 4 .

………………………………13 分

(20) (共 13 分) 解: (Ⅰ)

a4 ? a2 ? a1 ? 1 ;

a7 ? a4?2?1 ? 0 .
(Ⅱ)假设存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有

an?T ? an . an?T ? an .

则存在无数个正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ? 1 ( t ? N * ) , 则

a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1?2T ? a4( n?t )?1 ? 0
a4n?1 ? 1 矛盾.



与已知

若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ) , 则 而

a2n?T ? a2n ? an , a2n?T ? a2n?2t ? an?t

从而

an?t ? an .

而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有

an?T ? an .…………13 分


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