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步步高高中数学 步步高选修2-2 第三章3.1.2

3.1.2 复数的几何意义 [学习目标] 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数,及它们之间的一一对 应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法. 知识点一 复平面的概念和复数的几何意义 1.复平面的概念 根据复数相等的定义,任何一个复数 z=a+bi,都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定. 因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应,所以复数与平面直角坐标系中的 点之间可以建立一一对应. 如图所示,点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi 可用点 Z(a,b)表示.这个建立了 直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.显然,实轴上的点 都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的 每一个点,有唯一的一个复数和它对应.因此,复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是 一一对应的,即复数 z=a+bi 复平面内的点 Z(a,b),这是复数的一种几何意义. 3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系 在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复 数是一一对应的.这样,我们还可以用平面向量来表示复数. 如图所示,设复平面内的点 Z 表示复数 z=a+bi,连接 OZ,显然向量O→Z由点 Z 唯一确定; 反过来,点 Z(相对于原点来说)也可以由向量O→Z唯一确定.因此,复数集 C 与复平面内的向 量所成的集合也是一一对应的(实数 0 与零向量对应),即复数 z=a+bi 平面向量O→Z, 这是复数的另一种几何意义. 1 思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗? (2)象限内的点与复数有何对应关系? 答案 (1)不是. (2)第一象限的复数特点:实部为正,且虚部为正; 第二象限的复数特点:实部为负,且虚部为正; 第三象限的复数特点:实部为负,且虚部为负; 第四象限的复数特点:实部为正,且虚部为负. 知识点二 复数的模 1.如图所示,向量O→Z的模 r 叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|.如果 b=0, 那么 z=a+bi 是一个实数 a,它的模等于|a|(就是 a 的绝对值).由模的定义可知:|z|=|a+bi| =r= a2+b2(r≥0,r∈R). 2.复数的模的性质,设 z1,z2 是任意两个复数,则 (1)|z1·z2|=|z1|·|z2|,??zz12??=||zz12||(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|zn1|=|z1|n(n∈N*). (3)||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|,等号成立的条件是:①当|z1+z2|=|z1|+|z2|时,即 z1,z2 所对 应的向量同向共线;②当||z1|-|z2||=|z1+z2|时,即 z1,z2 所对应的向量反向共线. (4)||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|,等号成立的条件是:①当|z1-z2|=|z1|+|z2|时,即 z1,z2 所对 应的向量反向共线;②当||z1|-|z2||=|z1-z2|时,即 z1,z2 所对应的向量同向共线. 思考 复数的模的几何意义是什么? 答案 复数 z 在复平面内对应的点为 Z,复数 z0 在复平面内对应的点为 Z0,r 表示一个大于 0 的常数,则: ①满足条件|z|=r 的点 Z 的轨迹为以原点为圆心,r 为半径的圆,|z|<r 表示圆的内部,|z|>r 表示圆的外部; ②满足条件|z-z0|=r 的点 Z 的轨迹为以 Z0 为圆心,r 为半径的圆,|z-z0|<r 表示圆的内部, |z-z0|>r 表示圆的外部. 2 题型一 复数与复平面内的点 例 1 在复平面内,若复数 z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i 对应的点:(1)在虚轴上;(2)在 第二象限;(3)在第二、四象限;(4)在直线 y=x 上,分别求实数 m 的取值范围. 解 复数 z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i 的实部为 m2-2m-8,虚部为 m2+3m-10. (1)由题意得 m2-2m-8=0. 解得 m=-2 或 m=4. (2)由题意,?????mm22+-32mm--180<>00,, ∴2<m<4. (3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0, ∴2<m<4 或-5<m<-2. (4)由已知得 m2-2m-8=m2+3m-10,故 m=25. 反思与感悟 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标,在复平面内复 数所表示的点所处的位置,决定了复数实部、虚部的取值特征. 跟踪训练 1 实数 m 取什么值时,复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i. (1)对应的点在 x 轴上方; (2)对应的点在直线 x+y+4=0 上. 解 (1)由 m2-2m-15>0,得 m<-3 或 m>5,所以当 m<-3 或 m>5 时,复数 z 对应的点在 x 轴上方. (2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0, 得 m=1 或 m=-52,所以当 m=1 或 m=-52时, 复数 z 对应的点在直线 x+y+4=0 上. 题型二 复数的模的几何意义 例 2 设 z∈C,在复平面内对应点 Z,试说明满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形. (1)|z|=2; (2)1≤|z|≤2. 解 (1)方法一 |z|=2 说明复数 z 在复平面内对应的点 Z 到原点的距离为 2,这样的点 Z 的 集合是以原点 O 为圆心,2 为半径的圆. 方法二 设 z=a+bi,由|z|=2,得 a2+b2=4.故点 Z 对应的集合是以原点 O 为圆心,2 为半 径的圆. (

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