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高中数学三角试题

四、三角(命题人:广州市第 87 中学 赖青松)
1.(北师大版第 59 页 A 组第 2 题)正弦定理与余弦定理
在 ? ABC 中,若 ?a ? b ? c??c ? b ? a? ? 3bc ,则 A ? ? ? .

A. 150

B.120

C. 60

D. 30

变式 1:在 ? ABC 中,若 a ? 13 , c ? 4 , A ? 60 ,则 b ? __________.
答案:1 或 3
变式 2:在 ? ABC 中,若 b ? 2 ,A ? 30 ,C ? 105 ,则此三角形的周长为__________.

答案: 3 2 ? 6 ? 2 2
变式 3:已知 a、b、c 是△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边,S 是△ABC 的面积.若 a=4,b=5,
S=5 3 ,求 c 的长度.

解:∵S= 1 absinC,∴sinC= 3 ,于是∠C=60°或∠C=120°

2

2

又∵c2=a2+b2-2abcosC,

当∠C=60°时,c2=a2+b2-ab,c= 21

当∠C=120°时,c2=a2+b2+ab,c= 61

∴c 的长度为 21 或 61
2.(北师大版第 63 页 A 组第 6 题)三角形中的几何计算
在 ? ABC 中, AB ? AC ? 3 , BC ? 2 , ?B 的平分线交过点 A 且与 BC 平行的线于 点 D .求 ? ABD 的面积.
变式 1:已知 △ABC 的周长为 2 ?1,且 sin A ? sin B ? 2 sin C .
(I)求边 AB 的长; (II)若 △ABC 的面积为 1 sin C ,求角 C 的度数.
6
解:(I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ?1,

BC ? AC ? 2AB ,

两式相减,得 AB ?1.

(II)由 △ABC 的面积 1 BC AC sin C ? 1 sin C ,得 BC AC ? 1 ,

2

6

3

由余弦定理,得 cos C ? AC2 ? BC2 ? AB2 2AC BC

? ( AC ? BC)2 ? 2AC BC ? AB2 ? 1 ,

2AC BC

2

所以 C ? 60 .

变式 2:△ABC 中, A ? ? , BC ? 3, 则△ABC 的周长为( ). 3

A. 4 3 sin(B ? ? ) ? 3 3

B. 4 3 sin(B ? ? ) ? 3 6

C. 6sin(B ? ? ) ? 3 3

D. 6sin(B ? ? ) ? 3 6

解:在 ?ABC中,由正弦定理得: AC ? 3 , 化简得:AC= 2 3 sin B, sin B 3 2

sin[?

AB ? (B

?

?

)]

?

3 ,化简得:AB= 2 3

3 sin( 2? ? B) , 3

32

所以三角形△ABC 的周长为:3+AC+AB=3+ 2 3 sin B + 2 3 sin( 2? ? B) 3
? =3+ 3 3 sin B ? 3cos B ? 6sin(B ? ) ? 3
6
故选 D

变式 3:在 ?ABC中,?B ? 45?, AC ? 10, cos C ? 2 5 ,求(1) BC ? ? (2)若点 5

D是AB的中点,求中线CD的长度。

解:(1)由 cosC ? 2 5 得: sin C ? 5

5

5

sin A ? sin(180 ? 45 ? C) ? 2 (cosC ? sin C) ? 3 10 ,

2

10

由正弦定理知:

BC ? AC ? sin A ? sin B

10 ? 3 10 ? 3 2 10

2,

2

(2)

AB

?

AC sin B

?

sin

C

?

10 ? 2

5 5

?

2



BD

?

1 2

AB

?1

2

由余弦定理知: 3.(北师大版第 69 页练习 2 第 2 题)解三角形的实际应用

某观察站 B 在城 A 的南偏西 20 的方向,由 A 出发的一条公路走向是南偏东 40 ,

在 B 处测得公路上距 B31km 的 C 处有一人正沿公路向 A 城走去,走了 20km 之后到达

D 处,此时 B,D 间的距离为 21km。这个人要走多少路才能到达 A 城?

变式 1:如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向

相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船



立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ? ,

相距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少

度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1 ? )?

A

B

20

?

解析:连接 BC,由余弦定理得:

10

BC2=202+102-2×20×10COS120°=700.

?C

即 BC=10 7

∵ sin ?ACB ? sin120? ,

20

10 7

∴sin∠ACB= 3 , 7
∵∠ACB<90°,∴ ?ACB ? 41 .
∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援.
变式 2:如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D .现测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为? , 求塔高 AB . 解:在△BCD 中, ?CBD ? π ?? ? ? . 由正弦定理得: BC ? CD . sin ?BDC sin ?CBD 所以 BC ? CD sin ?BDC ? s.sin ? . sin ?CBD sin(? ? ? )
在 Rt△ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ? s.tan? sin ? . sin(? ? ? )

变式 3:如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航

行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海 里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 B2 处,此

时两船相距10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?

解法一:如图,连结 A1B2 ,由已知 A2B2 ?10 2 ,



A1A2 ? 30

2 ? 20 ? 10 60

2,

? A1 A2 ? A2B1 ,

又∠A1A2B2 ? 180 ?120 ? 60 , ?△A1A2B2 是等边三角形,

甲 乙

? A1B2 ? A1A2 ?10 2 , 由已知, A1B1 ? 20 , ∠B1A1B2 ? 105 ? 60 ? 45 , 在 △A1B2B1 中,由余弦定理,得: ? 200 . ?B1B2 ?10 2 .

因此,乙船的速度的大小为 10 2 ? 60 ? 30 2 (海里/小时). 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里.

解 法 二 : 如 图 , 连 结 A2B1 , 由 已 知 A1B1 ? 20 , A1A2 ? 30

2 ? 20 ? 10 60

2,

∠B1A1A2 ? 105 ,

? 2(1? 3) ,



4

? 2(1? 3) . 4
在 △A2 A1B1 中,由余弦定理,

甲 乙

? 100(4 ? 2 3) .

? A2B1 ?10(1? 3) .
由正弦定理,得:

sin∠A1 A2 B1

?

A1B1 A2 B1

sin∠B1 A1 A2

?

20 10(1?

3)

2(1? 3) ? 2 ,

4

2

?∠A1 A2B1 ? 45 ,即∠B1A2B1 ? 60 ? 45 ? 15 ,

cos15 ? sin105 ? 2(1? 3) . 4
在 △B1A1B2 中,由已知 A1B2 ?10 2 ,由余弦定理,得: ? 200 . ?B1B2 ?10 2 ,

乙船的速度的大小为 10 2 ? 60 ? 30 2 海里/小时. 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里.
4.(北师大版第 60 页 A 组第 4 题)三角函数图像变换
将函数 y ? 2 cos(? x ? 1) 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? cos x 的图像? 32
变式 1:将函数 y ? cos x 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? 2 cos(2x ? ? ) 的图像? 4
解:(1)先将函数 y ? cos x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 2 倍(横坐标不变),即

可得到函数 y ? 2cos x 的图象;

(2)再将函数 y ? 2 cos x 上各点的横坐标缩小为原来的 1 (纵坐标不变),得到函数 2
y ? 2 cos 2x 的图象;

(3)再将函数 y ? 2 cos 2x 的图象向右平移 π 个单位,得到函数 y ? 2 cos(2x ? ? ) 的

8

4

图象.

变式 2:将函数 y ? 2 cos(1 x ? ? ) 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? cos x 的图像? 26

解:(1)先将函数 y ? 2 cos(1 x ? ? ) 图象上各点的纵坐标缩小为原来的 1 (横坐标不

26

2

变),即可得到函数 y ? cos(1 x ? ? ) 的图象; 26

(2)再将函数 y ? cos(1 x ? ? ) 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍(纵坐标不变),得 26

到函数 y ? cos(x ? ? ) 的图象; 6

(3)再将函数 y ? cos(x ? ? ) 的图象向右平移 π 个单位,得到函数 y ? cos x 的图象.

6

6

变式 3:将函数 y ? 1 sin(2x ? ? ) 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? sin x 的图像?

3

3

解: y ? 1 sin(2x ? ? )

3

3

另解:

(1)先将函数 y ? 1 sin(2x ? ? ) 的图象向右平移 π 个单位,得到函数 y ? 1 sin 2x 的

3

3

6

3

图象;

(2)再将函数 y ? 1 sin 2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函 3

数 y ? 1 sin x 的图象; 3
(3)再将函数 y ? 1 sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍(横坐标不变),即可 3

得到函数 y ? sin x 的图象.

5.(北师大版第 60 页 B 组第 1 题)三角函数图像

函数 y ? Asin(?x ??)( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 2?) 一个周期的图像如图所示,试确定 A,

?,? 的值.

变式 1:已知简谐运动

f

(

x)

?

2

sin

? ??

π 3

x

?

?

? ??

? ??

?

?

π 2

? ??

的图象经过点

(0,1)

,则该简谐运动

的最小正周期T 和初相? 分别为( )

A.T ? 6 ,? ? π 6
C.T ? 6π ,? ? π 6
答案选 A

B.T ? 6 ,? ? π 3
D.T ? 6π ,? ? π 3

变式

2:函数

y

?

sin

? ??

2

x

?

π 3

? ??

在区间

????

π 2

,π???

的简图是(



答案选 A
变式 3:如图,函数 y ? 2 cos(?x ?? )(x ? R,0 ≤? ≤ π) 2
的图象与 y 轴交于点 (0,3) ,且在该点处切线的斜率为 ?2 . 求? 和? 的值.
解:将 x ? 0 , y ? 3 代入函数 y ? 2cos(?x ?? ) 得:

c o s? ? 3 , 2

因为 0 ≤? ≤ ? ,所以? ? ? .

2

6

又因为

y?

?

?2? sin(?x ?? )



y?

x?0

?

?2 ,?

?

? 6

,所以 ?

?

2,

因此

y

?

2

cos

? ??

2x

?

? 6

? ??



6.(北师大版第 60 页 A 组第 6 题)三角函数性质

求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时 x 的值的集合.

(1) y ? 3 sin(2? x ? 4? ) ;

2

3

(2) y ? ?6sin(2.5x ? 2) ? 2

变式

1:已知函数

f

(x)

?

2 sin ? x(?

?

0)

在区间

????

? 3

,? 4

? ??

上的最小值是 ?2 ,则?

的最小

值等于

()

(A) 2 3

(B) 3 2

(C)2

(D)3

答案选 B

变式 2:函数 y=2sinx 的单调增区间是( )

A.[2kπ - ? ,2kπ + ? ](k∈Z)

2

2

B.[2kπ + ? ,2kπ + 3? ](k∈Z)

2

2

C.[2kπ -π ,2kπ ](k∈Z) D.[2kπ ,2kπ +π ](k∈Z)
答案选 A.因为函数 y=2x 为增函数,因此求函数 y=2sinx 的单调增区间即求函数 y=sinx

的单调增区间.

变式 3:关于 x 的函数 f(x)=sin(x+? )有以下命题: ①对任意的? ,f(x)都是非奇非偶函数; ②不存在? ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数;

③存在? ,使 f(x)是奇函数;

④对任意的? ,f(x)都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当? =_____时,该命题的结论不成立。

答案:①,kπ (k∈Z);或者①, ? +kπ (k∈Z);或者④, ? +kπ (k∈Z)

2

2

解析:当? =2kπ ,k∈Z 时,f(x)=sinx 是奇函数.当? =2(k+1)π ,k∈Z 时 f(x)

=-sinx 仍是奇函数.当? =2kπ + ? ,k∈Z 时,f(x)=cosx,或当? =2kπ - ? ,k

2

2

∈Z 时,f(x)=-cosx,f(x)都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论? 为何值都

不能使 f(x)恒等于零.所以 f(x)不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题. 7.(北师大版第 66 页 B 组第 2 题)同角三角函数的基本关系

已知 sin x ? cos x ? 2 ,求 sin4 x ? cos4 x . 2

变式 1:已知 sin4 x ? cos4 x ? 23 ,求 sin x ? cos x 的值. 32

解:∵ sin4 x ? cos4 x ? 23 , 32

∴ (sin2 x ? cos 2x) 2? 2sin x2 cos x2? 23 32

即 s i nx c oxs? ? 3 8

∴ 当 sin x cos x ? 3 时, sin x ? cos x ? ? (sin x ? cos x)2 ? ? 1 ;

8

2

当 sin x cos x ? ? 3 时, sin x ? cos x ? ? (sin x ? cos x)2 ? ? 7 .

8

2

变式 2:已知 cos? tan? ? 0 ,那么角? 是( ).

A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角

C.第三或第四象限角

D.第一或第四象限角

答案选 C.

变式 3:? 是第四象限角, tan? ? ? 5 ,则 sin? ? ( ). 12

A. 1 5

B. ? 1 5

C. 5 13

D. ? 5 13

答案选 D.

8.(北师大版第 132 页 A 组第 4 题)两角和与差及二倍角的三角函数

已知 cos? ? 3 ,? ?(0, ? ) ,求 sin(? ? ? ) , tan(? ? ? ) 的值.

5

2

6

4

变式 1:在 △ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3, cos A ? ? 4 . 5

(Ⅰ)求 sin B 的值;

(Ⅱ)求

sin

? ??

2

B

?

? 6

? ??

的值.

(Ⅰ)解:在 △ABC 中, sin A ?

1? cos2 A ?

1?

? ??

?

4 ?2 5 ??

?

3 5



由正弦定理, BC ? AC . sin A sin B

所以 sin B ? AC sin A ? 2 ? 3 ? 2 .

BC

35 5

(Ⅱ)解:因为 cos A ? ? 4 ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角, 5

于是 cos B ?

1? sin2 B ?

1

?

? ??

2 5

?2 ??

?

21 , 5

cos 2B ? 2 cos2 B ?1 ? 2 ? ( 21)2 ?1 ? 17 ,

5

25

sin 2B ? 2sin B cos B ? 2? 2 ? 21 ? 4 21 . 5 5 15



sin

? ??

2B

?

? 6

? ??

?

sin

2B

cos

? 6

?

cos

2B

sin

? 6

? 12 7 ?17 . 50

变式 2:在 △ABC 中, tan A ? 1 , tan B ? 3 .

4

5

(Ⅰ)求角 C 的大小;

(Ⅱ)若 △ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

解:(Ⅰ) C ? π ? (A ? B) ,

1?3

?tan C

?

? tan(A ?

B)

?

?

1

4 ?

1

5 ?3

?

?1.

45

又 0 ? C ? π ,?C ? 3 π . 4

(Ⅱ) C ? 3 ? , 4

? AB 边最大,即 AB ? 17 .



tan

A

?

tan

B,A,B

?

? ??

0,? ?

? ??



?角 A 最小, BC 边为最小边.



??tan ?

A

?

sin cos

A A

?

1, 4且

??sin2 A ? cos2 A ? 1,

A

?

? ??

0,π 2

? ??



得 sin A ? 17 .由 AB ? BC 得: BC ? AB sin A ? 2 .

17 sin C sin A

sin C

所以最小边 BC ? 2 .

变式 3:已知 cos? ? 1 ,cos(? ? ?) ? 13 ,且 0 ? ? ? ? ? ? ,

7

14

2

(Ⅰ)求 tan 2? 的值;

(Ⅱ)求 ? .

解:(Ⅰ)由 cos? ? 1 ,0 ? ? ? ? ,得 sin? ?

7

2

1? cos2 ? ?

1

?

? ??

1 7

2
? ??

?

43 7

? ? ∴ tan? ? sin? ? 4 3 ? 7 ? 4 cos? 7 1

3 ,于是 tan 2?

?

1

2 ?

tan ? tan2 ?

? 2?4 1? 4

3
2
3

??8 3 47

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ? ? ,得 0 ? ? ? ? ? ?

2

2

又∵ cos ?? ? ? ? ? 13 ,∴ sin ?? ? ? ? ?
14

1? cos2 ?? ? ? ? ?

1

?

? ??

13 14

2
? ? ?

?

33 14

由 ? ? ? ??? ? ? ? 得:

所以 ? ? ? . 3
9.(北师大版第 144 页 A 组第 1 题)三角函数的简单应用
电流 I 随时间 t 变化的关系式 I ? Asin?t ,t ??0, ??? ,设? ?10? rad / s ,A ? 5.

(1) 求电流 I 变化的周期;

I

(2) 当 t ? 0, 1 , 1 , 3 , 1 (单位 s )时,求电流 I.

300

200 100 200 50

变式 1:已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I ? Asin(?t ??) .

1o

1

- 900

180

t

(1)右图是 I ? Asin(?t ??) (ω >0,| ? |? ? ) 2

-300

在一个周期内的图象,根据图中数据求 I ? Asin(?t ??) 的解析式;

(2)如果 t 在任意一段 1 秒的时间内,电流 I ? Asin(?t ??) 都能取得最大值和最 150
小值,那么ω 的最小正整数值是多少?

解:(1)由图可知 A=300.

设 t1=- 1 ,t2= 1 ,

900

180

则周期 T=2(t2-t1)=2( 1 + 1 )= 1 . 180 900 75

∴ ω = 2? =150π . T

又当 t= 1 时,I=0,即 sin(150π · 1 +? )=0,

180

180

而| ? |? ? , ∴ ? = ? .

2

6

故所求的解析式为 I ? 300sin(150?t ? ? ) . 6

(2)依题意,周期 T≤ 1 ,即 2? ≤ 1 ,(ω >0) 150 ? 150

∴ ω ≥300π >942,又ω ∈N*,

故最小正整数ω =943.

变式 2:如图,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似
满足函数 y=Asin(ω x+? )+b.
(Ⅰ)求这段时间的最大温差; (Ⅱ)写出这段曲线的函数解析式.
解:(1)由题中图所示,这段时间的最大温差是: 30-10=20(℃).
(2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ω x+? )+b 的半个周期的图象,

∴ 1 · 2? =14-6,解得ω = ? .

2?

8

由图示,A= 1 (30-10)=10,b= 1 (30+10)=20.

2

2

这时 y=10sin( ? x+? )+20.
8

将 x=6,y=10 代入上式,可取? = 3? .
4

综上,所求的解析式为 y=10sin( ? x+ 3? )+20,x∈[6,14] 84
变式 3:如图,单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动, 离开平衡位置 O 的距离 s 厘米和时间 t 秒的函数关系
为 s ? 6sin(2?t ? ? ) . 6
(1)单摆摆动 5 秒时,离开平衡位置多少厘米? (2)单摆摆动时,从最右边到最左边的距离为多少厘米? (3)单摆来回摆动 10 次所需的时间为多少秒? 10.(北师大版第 150 页 B 组第 6 题)三角恒等变换

(1? sin? ? cos? )(sin ? ? cos ? )

化简:

2

2.

2 ? 2 cos?

变式 1:函数 y=

1

的最大值是( ).

2 ? sin x ? cos x

A. 2 -1 2
答案选 B

B. 2 +1 2

C.1- 2 2

变式 2:已知 cos 2? ? ? 2 ,求 cos? ? sin? 的值.

sin

????

?

π 4

? ??

2

D.-1- 2 2

解:∵ cos 2? ? ? 2 ,

sin

????

?

π 4

? ??

2



cos2 ? ? sin2 ? sin? cos ? ? cos? sin ?

??

2 2

4

4

即 cos? ? sin? ? 1 . 2

变式

3:已知函数

f

(x)

?

2 sin2

? ??

π 4

?

x

? ??

?

3 cos

2x,x

?

? ??

π 4

,π 2

? ??

.求

f

(x)

的最大值和最

小值.

解:



f

(x)

?

???1

?

cos

? ??

π 2

?

2x

?? ????

?

3 cos 2x ?1? sin 2x ?

3 cos 2x

?

1

?

2

sin

? ??

2x

?

π 3

? ??



又∵

x

?

? ??

π ,π 42

? ??

,∴

π 6



2x

?

π 3



2π 3

,即

2

≤1?

2 sin

? ??

2x

?

π 3

? ??



3



∴ f (x)max ? 3,f (x)min ? 2 .


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