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青海省青海师范大学附属第二中学高中数学人教版选修2-1导学案 3.2.4 二面角及其度量

3.2.4

二面角及其度量

学案编号:GEXX2-1T3-2-4

【学习要求】1.掌握二面角的概念,二面角的平面角的定义,会找一些简单图形中的二面角 的平面角.2.掌握求二面角的基本方法、步骤. 【学法指导】二面角可以通过作二面角的平面角来求,但作平面角比较困难,利用向量求二 面角的平面角只需求出两个平面的法向量,经过简单运算即可,体现了向量的工具性. 1.二面角的概念 (1)二面角的定义:平面内的一条直线把平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半 平面.从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角.如图所示,其 中,直线 l 叫做二面角的______,每个半平面叫做二面角的______,如图中的 α,β. (2)二面角的记法:棱为 l,两个面分别为 α,β 的二面角,记作 α—l—β.如图,A∈α, B∈β,二面角也可以记作 A—l—B. (3)二面角的平面角:在二面角 α—l—β 的棱上任取一点 O, 在两半平面内分别作射线 OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB 叫做二面角 α—l—β 的平面角,如图所示, 由等角定理知,这个平面角与点 O 在 l 上的位置无关. (4)直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角. (5)二面角的范围是[0° ,180° ]. 2.用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1)如图,分别在二面角 α—l—β 的面 α、β 内,并沿 α、β 延伸的方向, 作向量 n1⊥l,n2⊥l,则〈n1,n2〉等于该二面角的平面角. (2)如图,设 m1⊥α,m2⊥β,则〈m1,m2〉与该二面角相等或互补. 探究点一 定义法求二面角 问题 1 如何找二面角的平面角? 问题 2 如何利用面积射影求二面角? 例 1 如图,S 是△ABC 所在平面外一点,且 SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB,SB=BC,E 是 SC 的中点,DE⊥SC 交 AC 于 D.求二面角 E—BD—C 的大小.

跟踪 1 如图,ABCD 是正方形,V 是平面 ABCD 外一点,且 VA=VB=VC= AB,求二面角 A—VB—C 的余弦值.

探究点二 用向量方法求二面角 问题 怎样利用向量法求二面角? 例 2 (教材 P109 例 1)二面角的棱上有 A、B 两点,直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平 面内, 且都垂直于 AB.已知 AB=4, AC=6, BD=8, CD=2 17, 则该二面角的大小为________. 跟踪 2 如图所示,在 120° 的二面角 α—AB—β 中,AC?α,BD?β,且 AC⊥AB,BD⊥AB, 垂足分别为 A、B.已知 AC=AB=BD=6,试求线段 CD 的长.

-1-

例 3 如图所示, 在底面为直角梯形的四棱锥 S—ABCD 中, ∠ABC=90° , SA⊥平面 ABCD, 1 SA=AB=BC=1, AD= , 求平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角 α 的正切值. 2

跟踪 3 在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB, E 是 PD 的中点,求二面角 E—AC—D 的大小. 【达标检测】 1.所示,已知二面角 α—l—β 的大小为 60° ,m,n 为异面直线,且 m⊥α,n⊥β, 则直线 m, n 的夹角为 ( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 2.一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向 倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为 P1、P2、P3.

若屋顶斜面与水平面所成的二面角都是 α,则 ( ) A.P3>P2>P1 B.P3>P2=P1 C.P3=P2>P1 D.P3=P2=P1 3.已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为__________. 4.PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2.求二面角 A—PB—C 的余弦值.

【课堂小结】二面角的求法:①定义法. ②三垂线法,如图 A∈β,过 A 作 AB⊥α 于点 B,在 α 内作 BO⊥l 于点 O,连接 AO,则由三 垂线定理知 AO⊥l,故∠AOB 是二面角 α—l—β 的平面角. S′ ③用公式 cos θ= ,其中 S′为射影面积,S 为原图形面积. S → → ④利用向量夹角公式求〈OA,OB〉 . ⑤用法向量,若二面角 α—l—β 的大小为 θ,其两半平面的法向量分别为 n1、n2,其夹角为 φ, 则 θ=φ 或 θ=π-φ.一定要注意检验.

3.2.4
一、基础过关

二面角及其度量

1.一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面,那么这两个二面角( A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不确定

)

2.若分别与一个二面角的两个面平行的向量 m=(-1,2,0),n=(1,0,-2),且 m、n 都与二
-2-

面角的棱垂直,则二面角的正弦值为 1 A. 5 B. 24 5 1 C. 4

(

) D. 15 4

3.二面角α —l—β 中,平面α 的一个法向量 n1=? 1 ? n2=? ?0,2, 2?,则二面角α —l—β 的大小为 A.120° 120° B.150°

3 1 ?,平面β 的一个法向量 ? 2 ,-2,- 2? ( )

C.30°或 150°

D . 60 ° 或

4.在正方体 AC1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的二面角的余弦值为 ( ) 1 A.- 2 C. 3 3 2 B. 3 D. 2 2

5.平面α 的一个法向量 n1=(1,0,1),平面β 的一个法向量 n2=(-3,1,3),则α 与β 所成的角 是_____. 1 3 1 → 0,- ,- 2?,则 6.已知 A∈α ,P?α ,PA=?- , , 2?,平面α 的一个法向量 n=? 2 ? ? ? 2 2 ? 直线 PA 与平面α 所成的角为________. 二、能力提升 7.在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,将菱形沿对角线 AC 折起,使折起后 BD=1, 则二面角 B—AC—D 的余弦值为 1 A. 3 1 B. 2 2 3 C. 3 D. 3 2 ( )

8.A、B 是二面角α —l—β 的棱 l 上两点,P 是平面β 上一点,PB⊥l 于 B,PA 与 l 成 45° 角,PA 与平面α 成 30°角,则二面角α —l—β 的大小是 A.30° B.60° C.45° D.75° 9.如图,甲站在水库底面上的点 A 处,乙站在水坝斜面上的点 B 处.从 A,B 到直线 l(库底与水坝的交线)的距离 AC 和 BD 分别为 a 和 b,CD 的 长为 c,AB 的长为 d.水库底与水坝所成二面角的余弦值为________. ( )

10.如图,已知四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且 ABCD 为正方形,PA=AB=a,点 M 是 PC 的中点. (1)求 BP 与 DM 所成的角的大小; (2)求二面角 M—DA—C 的大小.

-3-

11.如图,四棱锥 F—ABCD 的底面 ABCD 是菱形,其对角线 AC=2,BD= 2.CF 与平面 ABCD 垂直,CF=2.求二面角 B—AF—D 的大小.

三、探究与拓展 12. 如图,在四棱锥 A—BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC⊥底面 BCDE,BC=2,CD = 2,AB=AC. (1)证明 AD⊥CE;(2)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45°,求二面角 C —AD—E 的余弦值.

-4-


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