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余弦函数的图像与性质


1.6 余弦函数的图像与性质
y
1

-3?

?

5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

主备人:周家玉

正弦函数 y ? sin x, x ? R 的图像

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图像在 ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, …与y=sinx,x∈[0,2π]的图像相同

由 sin( x ? ) ? cos x 能得到余弦函数的图像吗? 2

?

1.会用“图像变换法”和“五点法”作余弦函数的 图像.(重点) 2.掌握余弦函数y=cosx的图像和性质.(重点)

3.会应用余弦函数y=cosx的图像与性质解决一些简
单问题.(难点)

探究点1 余弦函数y=cosx (x∈R) 的图像 思考:如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数?

根据诱导公式,可得:

π y ? cosx? sin( ? x) 2

注:余弦曲线的图像可以通过将正弦曲线向左平移
π 个单位长度而得到.余弦函数的图像叫作余弦曲线. 2

y
1 -4? -3?
-2 ?

-?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图像

y=cosx=sin(x+ ), x?R

余弦函数的图像
-4? -3? -2?

? 2y

形状完全 一样,只 是位置不 同
?
2? 3? 4?

正弦曲线

余弦曲线

1 -?

o
-1

5?

6? x

方法:利用图像平移

探究点2

余弦函数的性质
y

在函数 y ? cos x, x ? [0, 2? ] 的图像上,起关键作用的点有:

? 6

1
o

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-

-

-1

(0,1), (2? ,1) 最高点:
最低点:(? , ?1) ? 3? ( , 0), ( , 0) 与x轴的交点:
2
2

五点法作图

余弦曲线:y=cosx,x∈R

思考 1 :观察图中所示的余弦曲线,说出它们的

图像的对称性?
提示:由图像可以看出,关于y轴对称. 奇偶性:关于y轴对称

思考2:如何判断三角函数的奇偶性? 提示: (1) 利用图像法:若图像关于原点对称,则函 数为奇函数;若图像关于y轴对称,则函数为偶函数. (2)根据奇偶性的定义判断:若对定义域内的任意x都 有f(-x)=f(x),则函数为偶函数;若对定义域内的任 意x都有f(-x)=-f(x),则函数为奇函数.

函数y=cosx的对称性
y ? cos x
-3?
? 5? 2

y
1

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

对称轴方程x=k?(k∈Z)

π 对称中心为(k?+ ,0)(k∈Z) 2 由于正、余弦曲线无限延
伸,对称轴、对称中心有 无限多个.

提升总结:正弦和余弦函数的性质对比
?3?
?? ? ? 2

5 ? ? 2

?2? ? 3 ? 2

? 2

3? 2

2? 5? 2

3? 7 ? 2

性质 函数 定义域

y=sinx
R

y=cosx
R





π 当x ? ? 2kπ,k ? Z时,y max ? 1 2 当x ? 2kπ,k ? Z时,y max ? 1 π 当x ? ? ? 2kπ,k ? Z时,y min ? ?1 当x ? (2k ? 1)π,k ? Z时,y min ? ?1 2

周 期 奇偶性

2?

2?

奇函数:图像关于原点对称 偶函数:图像关于y轴对称
π π 2kπ](k ? Z),函数是增加的 [? ? 2kπ, ? 2kπ](k ? Z),函数是增加的 [(2k ? 1) π, 2 2 [2kπ,(2k ? 1) π](k ? Z),函数是减少的 π 3π [ ? 2kπ, ? 2kπ](k ? Z),函数是减少的 2 2

单调性

例1 画出函数 y = cos x - 1 的简图,根据 图像讨论函数的性质. 解:列表 x
y=cosx
y=cosx-1

0
1 0

?
2


?
-1

3? 2
0 -1

2?


-1

-2

0

y
1
-3?
5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

y=cosx
?
3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

-2

y=cosx-1

函数
定义域

y=cosx-1
R [-2,0] 偶函数 2π
当x ? ? 2k? ? ?, 2k?? (k ? Z)时,函数是增加的; 当x ? ? 2k?, 2k? ? ?? (k ? Z)时,函数是减少的

值域
奇偶性 周期性 单调性

最值

当x ? 2k?(k ? Z)时,最大值为0; 当x ? (2k ? 1)?(k ? Z)时,最小值为 ? 2

思考交流:
1 根据余弦函数的图像,求满足cosx≥ 的x的集合. 2 y
1 o -1
1 2

-4?

-3?

-2?

-?

?

y?

2?

3?

4?

5?

6? x

1 解析:画直线y = 的图像. 2

1 在区间? -π,π中直线 y = 与余弦函数图像有两个交点, ? 2 ππ 在区间? -π,π中两个交点对应的自变量为 ,, ? 3 3 π π? ? π π? ? 在区间 ?- , ? 两端点加上周期即为所求,即 ?2kπ - ,2kπ + ?(k ∈ Z). 3 3? ? 3 3? ?

4? 5? 例2 比较cos 与cos 的大小. 7 8 π ? ? 解: 因为y = cosx在区间 ? ,π ? 上是减少的, ?2 ?

4π 5π 且 < , 7 8

4π 5π 所以cos > cos . 7 8

1.函数f(x)=cos4x,x∈R是( C ) A.最小正周期为π 的偶函数 B.最小正周期为π 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为
2 ? 2

的奇函数

2.下列函数,在[ ? ,π ]上增加的是( A ) 2 A.y=cos2x C.y=sin2x B.y=cosx D.y=sinx

3.不求值比较下列两个三角函数值的大小.
cos 7? 10

>

cos

8? . 11

解:因为y = cosx在区间? , π? 上是减少的, ? ?

7? 8? 且 ? , 10 11 7? 8? 所以cos ? cos . 10 11

π ?2

?

4.对于实数范围内的x,分别写出满足 sinx=cosx,sinx>cosx,sinx<cosx的x的集合

? ? ? 答案: ? x x ? k? ? , k ? Z ? 4 ? ?

? ? ? 5? ? x 2k? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z ? 4 4 ? ? ? ? 3? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z ? ? x 2k? ? 4 4 ? ?

5.用五点法画函数y=2cosx,x?R的图像. 解:

x

0

π 2

π
-1 -2

3π 2

2?

y=cosx y=2cosx
y
2 -?
?
2

1 2

0 0

0 0

1 2
x

y=2cosx ,x?R
?
2

?

o

?

-2

3? 2

2?

由周期性得整个图像.

6.判断函数的奇偶性:

y ? sin x cos x .
解:x ? R, 定义域关于原点对称,
把函数y ? sin x cos x记为 f ( x) ? sin x cos x .

通过本节学习应掌握以下几点:
1.余弦函数y=cosx的图像和性质及其运用. 2.用“五点法”和“图像变换法”作余弦函数的 图像.

被人揭下面具是一种失败,自己揭下面具 却是一种胜利. ——雨果


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