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北京市人大附中2018届高三2月内部特供卷理科数学(一)Word版含答案


人大附中 2018 届高三 2 月份内部特供卷

高三理科数学(一)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则此几何体的体 积为( ) A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 3 3

2.已知复数 z1 ? 3 ? 2i , z2 ? 2 ? i , z1 ? z2 的虚部为( A. ? 1 B. ?i C. 1

) D. i

3 .函数 f ( x) ? 3 sin(2x ?

π 11 )的图象为 C ,命题 p : 图象 C 关于直线 x ? π 对称;命题 q : 由 3 12 π ) y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C ;则下列命题为真命题的是( 3

A. p ? q

B. p ? (?q)

C. (?p) ? q

D. ?( p ? q)

4.在 ? ? 3, 3 ? 内随机地取一个数 k ,则事件“直线 y ? kx ? k 与圆 ? x ?1? ? y2 ? 1有公共点”
2

发生的概率为( A. 1 3

) B. 1 4 C. 1 2 D. 3 2 )

5.已知集合 A ? ? x ? N 2 x ? 7 ? 0? , B ? x x 2 ? 3x ? 4≤0 ,则 A ? B ? ( A. ?1, 2,3? B. ?0,1,2,3?

?

?

? 7? C. ? x x≤ ? 2? ?

? 7? D. ? x 0 ? x≤ ? 2? ?

1

? x≤0 ? 6.设点 P( x, y ) 是平面区域 ? x ? y ? 1≤0 内的任意一点,则 x2 ? y 2 ? 4 x 的最小值为( ?2 x ? y ? 2≥0 ?



A.

1 2

B. 1

C.

9 2

D. 5 ) D.12

7.执行如图所示的程序框图,输出 S ,则 log2 ? S ?1? ? ( A .9 B.10 C.11

? x ? sin x ? 8.函数 f ? x ? ? ln ? ? 的图象大致是( ? x ? sin x ?



9.已知 a ? b ? 1 ,若 log a b ? log b a ? A.
3 2

10 , a3b ? ba , b ? ( 3

) D. 27

B. 2

C. 3

10.正三棱柱的顶点都在同一个球面上,若球的半径为 4,则该三棱柱的侧面面积的最大值为 ( ) 1728 576 A. 48 3 B. 64 3 C. D. 7 31

2

11.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两条渐近 a 2 b2

线于 A , B 点,且与双曲线在第一象限的交点为 P ,设 O 为坐标原点,若 ??? ? ??? ? ??? ? 3 ,该双曲线的离心率为( ) OP ? ?OA ? ?OB(?, ? ? R) , ?? ? 20 A.
2 3 3

B.

3 5 5

C.

15 3

D.

3 15 5

1 12.已知函数 f ( x) ? (kx ? )e x ? 2 x ,若 f ( x) ?0 的解集中有且只有一个正整数,则实数 k 的取 2 值范围为( ) ? 2 1 2 1? ? 2 1 2 1? ? 2 1 2 1? ? 2 1 2 1? A. ? 2 ? , ? ? B. ? 2 ? , ? ? C. ? 3 ? , 2 ? ? D. ? 3 ? , ? ? ?e 4 e 2 ? ? e 4 e 2? ?e 6 e 4 ? ?e 6 e 2 ?

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13.平面向量 a , b 满足 a ? b ? b ? 7 , a ? 3 , b ? 2 ,则向量 a 与 b 夹角为____.

?

?

14.命题“ ?x0 ? R , e x0 ? x0 ? 1”的否定是____________________. 15.已知 P 是椭圆
1 1 x2 y 2 ? ? 1 上的一点, Q , R 分别是圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 和 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 上 4 4 16 7

的点,则 PQ ? PR 的最小值是__________. 16.如图,在平面四边形 ABCD 中, AB ? 1 , BC ? 3 , AC ? CD ,CD ? 3 AC ,当 ?ABC 变 化时,对角线 BD 的最大值为__________.
A D B C

3

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且满足 a3 ? 7 , S9 ? 99 . (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)若 bn ?
an ( n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . n 2

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? 3 cos 2 x ? (1)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)若 f ? x0 ? ?
3 ? π? , x0 ? ?0, ? ,求 cos 2 x0 的值. 5 ? 2?

3 . 2

4

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, PD ? AC . AC 交 BD 于点 O . (1)证明:平面 PBD ⊥平面 PAC ; (2)若 DP ? DA ? DB ? 3 PB ,求二面角 A ? PB ? C 的余弦值. 3
P

D O A B

C

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 x2 ? py( p ? 0) 上点 P 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (1)求抛物线的方程; (2)设 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) 为抛物线上的两个动点,其中 y1 ? y2 且 y1 ? y2 ? 2 ,线段 AB 的垂 直平分线 l 与 y 轴交于点 T ,求 △ABT 面积的最大值.

5

21. (本小题满分 12 分) m 1 已知函数 f ( x) ? ? ln( mx) ? 1( m ? 1) 有两个零点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) . x 2 (1)求实数 m 的取值范围; (2)证明:
1 1 1 ? ? . x1 x2 m

请考生在 22 、 23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (选修 4-4:坐标系与参数方程) (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l ? 2 t ?x ? 1? ? 2 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ; ?y ? 2 t ? ? 2 (1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程; 1 1 (2)若直线 l 与曲线 C 交点分别为 A , B ,点 P(1,0) ,求 的值. ? PA PB

23. (选修 4-5:不等式选讲) (本小题满分 10 分) 设函数 f ? x ? ? x ? 2 ? 2x ?1 . (1)解不等式 f ? x ?≤0 ; (2) ?x ? R , f ? x ? ? 2m2≤4m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

6

2018 届高三 2 月份内部特供卷

高三理科数学(一)答 案
一、选择题 1. 【答案】D 2. 【答案】C 3. 【答案】B 4. 【答案】A 5. 【答案】B 6. 【答案】B 7. 【答案】B 8. 【答案】A 9. 【答案】C 10. 【答案】A 11. 【答案】C 12. 【答案】A 二、填空题 13. 【答案】
π 6

14. 【答案】 ?x ? R , e x ≤x ? 1

15. 【答案】7

16. 【答案】 3 3

三、解答题 17. (本小题满分 12 分)

?a1 ? 2d ? 7 ?a ? 3 ? 【解析】 (1)由题意得: ? ,解得 ? 1 , 9?8 9a1 ? d ? 99 ?d ? 2 ? ? 2
故 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1, n ? N? .
2n ? 1 , 2n 3 5 7 9 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ,· · · · · · ① 2 2 2 2 2 1 3 5 7 2n ? 1 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ? n ?1 ,· · · · · · ② 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 1 2n ? 1 5 2n ? 5 ①-②得: Tn ? ? 2( 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ) ? n ?1 ? ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n ? 5 故 Tn ? 5 ? . 2n 18. (本小题满分 12 分)

(2)由(1)得: bn ?

2π ? ? 【解析】 (1) f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? , 3 ? ? 7π π? ? 函数 f ? x ? 的单调递增区间为: ? kπ ? , kπ ? ? ? k ? Z ? ; 12 12 ? ? 2π ? 3 2π ? 4 ? ? π? ? (2) f ? x0 ? ? sin ? 2 x0 ? ? ? , x0 ? ?0, ? ,? cos ? 2 x0 ? ??? , 3 ? 5 3 ? 5 ? ? 2? ?

?? 2π ? 2π ? ? 4 ? ? 1 ? 3 3 4?3 3 . ?cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? 5? ? 2? 5 2 10 ??

19. (本小题满分 12 分) 【解析】 (1) Q 底面 ABCD 是菱形,? AC ? BD , 又 PD ? AC , PD I BD ? D , PD , BD ? 平面 PBD , ? AC ? 平面 PBD ,又 AC ? 平面 PAC ,? 平面 PBD ? 平面 PAC . (2)不妨设 PB ? 3 ,则 DP ? DA ? DB ? 1 ,作 AE ? PB 于 E ,连结 CE ,
P

D O A

E

C

B

由(1)知 AC ? BP , PB ? 平面 AEC ,故 CE ? PB , 则 ?AEC 即二面角 A ? PB ? C 的平面角, 在 △ACE 中, AC ? 3 , OP ? 7 , PA ? 10 , AE ? 13 ? CE , 2 2 4 cos ?AEC ? ? 11 . 13 (另解:也可以以 O 为原点建立空间坐标系,并注意 ?DBP ? 30? ,建系过程未说明扣 2 分. ) 20. (本小题满分 12 分) 【解析】 (1)设点 P( x0 ,
2 x0 x2 2x , ) ,由 x 2 ? py 得 y ? ,求导 y? ? p p p

因为直线 PQ 的斜率为 ?1 ,所以 所以抛物线的方程为 x 2 ? 4 y .

2 x0 x2 ? ?1 且 x0 ? 0 ? 1 ? 0 ,解得 p ? 4 , p p

(说明:也可将抛物线方程与直线方程联立,由 ? ? 0 解得) x ?x y ? y2 (2)设线段 AB 中点 M ? x0 , y0 ? ,则 x0 ? 1 2 , y0 ? 1 , 2 2
x2 2 x12 ? y ?y 4 ? 1 ? x ? x ? ? x0 , ? 2 1? 4 1 2 x2 ? x1 x2 ? x1 4 2

k AB

∴直线 l 的方程为 y ? 1 ? ?

2 ( x ? x0 ) , x0

即 2 x ? x0 (?3 ? y) ? 0 ,? l 过定点 T (0,3) .

x0 ? ? AB : y ? 1 ? ( x ? x0 ) 2 联立 ? ? x 2 ? 2 xx0 ? 2 x0 ? 4 ? 0, 2 ? x2 ? 4 y ?
2 2 得 ? ? 4x0 ? 4(2x0 ? 4)>0 ? ?2<x0<2 ,

AB ? 1 ?

? x2? x0 2 2 x1 ? x2 ? ?1 ? 0 ? ?16 ? 4 x0 ?? 4 4 ? ?

? 4 ? x ?? 4 ? x ? ,
2 0 2 0

2 ?4, 设 T ? 0,3? 到 AB 的距离 d ? x0

? S△ABT ?

1 1 AB ? d ? 2 2

?4 ? x ? ?4 ? x ?
2 2 0 2 0

?

1 1 2 1 1 16 3 16 6 2 2 , ( x0 ? 4) ? x0 ? 4 ? (8 ? 2 x0 )≤ ( ) ? 2 2 2 2 3 9
2 3 ? (?2,2) 时取等号, 3

2 2 当且仅当 x0 ,即 x0 ? ? ? 4 ? 8 ? 2x0

? S△ABT 的最大值为

16 6 . 9
1 2 t (8 ? t ) ,构造函数 g ( x) ? 8t 2 ? t 3 ,求导亦可) 2

(另解:可以令 t ? 4 ? x02 , S ?

21. (本小题满分 12 分) m 1 【解析】 (1) f ( x) ? ? ln( mx) ? 1( m ? 1) , x 2 m 1 x ? 2m ? ∴ f ?( x) ? ? 2 ? , x 2x 2x2 ∴ f ( x) 在 ? 0, 2m? 单调递减,在 ? 2m, ??? 单调递增, ∴ f (2m) ?
m 1 ? ln(2m 2 ) ? 1 ? 0 , 2m 2

∴ 2m2 ? e ,?1 ? m ? 又 f (2m ?

e , 2

2 m 1 1 )? ? ln(2m2 ? 2) ? 1 ? ?1 ? 0 , 4 m 2m ? 2 2 2? m e m 1 1 f (2m ? e 2 ) ? ? ln(2m 2 ? me 2 ) ? 1 ? ln e 2 ? 1 ? 0 , 2m ? e 2 2 2

∴1 ? m ?

e 满足函数有两个零点. 2

1 1 1 (2)令 g ( x) ? f ( ) ? mx ? ln x ? ln m ? 1. x 2 2 1 1 ) ? ,( , ??) ? , 由(1)知 g ( x) 在 (0, 2m 2m 1 1 1 ? x) ? g ( ? x) , x ? (0, ), 令 G ( x) ? g ( 2m 2m 2m 1 1 1 1 1 ?G?( x) ? g ?( ? x) ? g ?( ? x) ? ?2m ? ? 2m( ? 1) ? 0 , 2 2 1 2m 2m 2m 1 ? 4 m x 2 ?x 4m2

? 1 ? ? G ( x) 在 ? 0, ? 单调递增, ? 2m ?
?G( x) ? G(0) ? 0 ,? g (
1 1 ? x) ? g ( ? x) , 2m 2m 1 1 1 1 ? t2 ) , 令 g ( x) ? f ( ) ? mx ? ln x ? ln m ? 1 的零点为 t1 , t 2 , (0 ? t1 ? x 2 2 2m 1 1 1 t1 ? (0, ),2 ? t2 ? (0, ), 2m 2m 2m

1 1 1 ? 1 ? ? 1 ? ∴ g (t1 ) ? g (t2 ) ? g ? ?( ? t2 ) ? ? g ? ?( ? t2 ) ? ? g ( ? t2 ) , m ? 2m 2m ? ? 2m 2m ?

∴ t1 ?

1 1 1 1 1 ? t2 , t1 ? t2 ? ,所以 ? ? . m m x1 x2 m

请考生在 22 、 23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (选修 4-4:坐标系与参数方程) (本小题满分 10 分) 【解析】 (1) l : x ? y ? 1 ? 0 ,曲线 C : x2 ? y 2 ? 4x ? 0 ,

? 2 t ?x ? 1? ? 2 (2)将 ? ( t 为参数)代入曲线 C 的方程,得 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 , ?y ? 2 t ? ? 2
? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 14 ,?

|t ?t | 1 1 14 . ? ? 1 2 ? | PA | | PB | | t1t2 | 3

23. (选修 4-5:不等式选讲) (本小题满分 10 分) 【解析】 (1) f ? x ?≤0 ,即 x ? 2 ≤ 2x ?1 ,即 x2 ? 4 x ? 4≤4 x 2 ? 4 x ? 1 ,
1 3x2 ? 8x ? 3≥0 ,解得 x≥ 或 x≤ ? 3 , 3

1 所以不等式 f ? x ?≤0 的解集为 { x x≥ 或 x≤ ? 3} . 3

1 ? ? x ? 3, x ? ? 2 ? 1 ? (2) f ? x ? ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? ??3 x ? 1, ? ≤x≤2 , 2 ? ? ? x ? 3, x ? 2 ? ?

? 1? 5 故 f ? x ? 的最大值为 f ? ? ? ? , ? 2? 2
5 因为对于 ?x ? R ,使 f ? x ? ? 2m2≤4m 恒成立.所以 2m 2 ? 4m≥ , 2 1 5 即 4m2 ? 8m ? 5≥0 ,解得 m≥ 或 m≤ ? , 2 2

5? ?1 ? ? ∴ m ? ? ??, ? ? U ? , ?? ? . 2? ?2 ? ?


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