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河北省衡水市冀州中学2016届高三数学上学期第四次月考试题B卷 文


河北冀州中学 2015——2016 学年上学期第四次月考考试 高三年级应届文科数学试题
考试时间 120 分钟 试题分数 150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。) 1、已知集合 M ? {x | y ? lg(2 ? x)}, N ? { y | y ? 1 ? x ? A、 M ? N A、 4 ? 3i B、 N ? M B、 3 ? 4i C、 M ? N
2

A、关于点 ?

x ? 1} ,则
D、 N ? M )
? ?





2、已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i ? 2 ? bi ,则 ? a ? bi ? ? ( C、 4 ? 3i D、 3 ? 4i .
? ?

0 3、在 ?ABC 中, C ? 90 ,且 CA ? CB ? 3 ,点 M 满足 BM ? 2 MA ,则 CM ? CB 等于(



3 A、 2

B、2

C、3

D、4

4、某几何体的三视图如下图所示, 则该几何体的体积为 A、 140+18π B、 200+18π ( ) C、 140+9π D、 200+9π 5、若 a ? log3 2 , b ? log2 3 , c ? log 4 的是( ) A、 a ? c ? b

? 个单位得到 6 ? D、可由函数 f ? x ? 的图象向左平移 个单位得到 12 x2 y 2 10、过双曲线 2 ? 2 = 1 (a > 0,b > 0)的一个焦点 F 向其一条渐近线作垂线 l , 垂足为 A, l a b uur uur 与 另一条渐近线交于 B 点, 若 FB ? 2 FA , 则双曲线的离心率为( ) A、 2 B、 2 C、 3 D、 5 1 1 ? an 11、数列 {an } 中, a1 ? , an ?1 ? (其中 n ? N* ) ,则使得 a1 ? a2 ? a3 ? L ? an ? 72 成 2 1 ? an 立的 n 的最小值为 ( ) A、 236 B、 238 C、 240 D、 242 2 ?1 ? 12、已知函数 f ? x ? ? ln x ? ? x ? b ? ( b ? R )在区间 ? , 2 ? 上存在单调递增区间,则实数 b 的 ?2 ?
C、可由函数 f ? x ? 的图象向左平移 取值范围是( A、 ? ??, ) B、 ? ??,

?? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

B、可由函数 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位得到 3

1 ,则下列结论正确 3

? ?

9? ? 4?

? ?

3? ? 2?

C、 ? ??,3?

D、 ??, 2

?

?

B、 c ? b ? a
b

第Ⅱ卷 (非选择题) 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填入答题纸相应位置)
b

?1? C、 10 ? ? ? ?3?
a

?1? D、 lg a ? ? ? ?2?

6、“ k ? ?1 ”是“直线 l : y ? kx ? 2k ? 1 在坐标轴上截距相等”的( A、充分不必要条件 B、 必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 7、已知 cos ?? ? ? ? ? 3 ( m ? 0 ) ,且 cos ?
m

)条件.

?? ?? ?? ? ? ??1 ? 2cos 2 ? ? 0 ,则 ? 是( 2? ?2 ??
C、第三象限角 D、第四象限角



A、第一象限角
2

B、第二象限角
2

8、关于 x 的不等式 x ? 4ax ? 3a ? 0(a ? 0) 的解集为 ( x1 , x2 ) ,则 x1 ? x2 ?

a 的最小值是 x1 x2

f ?4 ? 1 ? 3 ,则 f ( ) = 。 f ?2 ? 2 ?3 x ? y ? 2 ? 0 m ? 14 、设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,若目标函数 z ? x ? y (m ? 0) 的最大值为 2 ,则 2 ? x ? 0, y ? 0 ? ? ? y ? sin(mx ? ) 的图象向右平移 后的表达式为___________。 3 6 x ?2 x?0 15、已知函数 f ( x ) ? ? , 且函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? a 只有一个零点, 则实数 a x?0 ?1og 2 x
13、若 f ?x ? ? x 是幂函数,且满足
?

6 2 3 4 3 2 6 A、 B、 C、 D、 ( ) 3 3 3 3 ? ? ? 9、已知函数 f ? x ? ? 2sin x sin ? x ? ? ? ? 是奇函数,其中 ? ? ? 0, ? ? ,则函数 3 ? ? ) g ? x ? ? cos ? 2x ? ? ? 的图象(

的取值范围是_____________。 16、已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱和底面垂直,且所有棱长都相等,若该三棱柱的各顶点都在 球 O 的表面上,且球 O 的表面积为 7? ,则此三棱柱的体积为 。 三、解答题(共 6 小题,共 70 分;要求写出必要的文字说明,解题过程和演算步骤) 17、 (本小题满分 12 分) 已知命题 p :函数 y ? log a (2 x ? 1) 在定义域上单调递增;命题 q :不等式

(a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立,若 p 且 ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围。
1

18、 (本小题满分 12 分) 已知等比数列{ an }的前 n 项和为 S n , an ? 0, a1 ? (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设数列{ bn }满足 bn ? log3 (1 ? Sn?1 ) ? 1,求适合方程 b1b2 ? b2b3 ? ... ? bnbn ?1 ? 的值。

21、 (本小题满分 12 分)

2 3 1 1 ,且 ? , , 成等差数列。 3 a2 a3 a4

x2 y 2 2 )在椭 ? 2 = 1 (a > b > 0)的两个焦点, O 为坐标原点, 点 P(-1, 2 a b 2 uuu r uuuu r 圆上, 且 PF1 ? F1F2 ? 0, e O 是以 F1F2 为直径的圆, 直线 l : y=kx+m 与⊙O 相切, 并且与椭圆
已知 F1、F2 是椭圆

25 的正整数 n 51

交于不同的两点 A、 B. (Ⅰ) 求椭圆的标准方程; (Ⅱ) 当 OA ? OB ? ? , 且满足

uur uu u r

2 3 ? ? ? 时, 求弦长|AB|的取值范围. 3 4

19、 (本小题满分 12 分) 在三角形 ?ABC 中, 2sin 2 A cos A ? sin 3 A ? 3 cos A ? 3 。 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)已知 a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,若 a ? 1 且 sin A ? sin ? B ? C ? ? 2sin 2C ,求三角 形 ?ABC 的面积。

22、 (本小题满分 12 分)

0 ) = 0 已知函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x) ? x2 ? 2ax ? b (ab ? 0) , 且 f(
的切线 l1 的斜率为 k1 ,过原点的另一条切线 l2 的斜率为 k2 . (Ⅰ)若 k1 : k2 = 4 : 5 ,求函数 f ( x ) 的单调区间;

. 设曲线 y ? f ( x) 在原点处

(Ⅱ)若 k2 = tk1 时,函数 f ( x ) 无极值,且存在实数 t 使 f (b) < f (1- 2t ) 成立,求实数 a 的取值 范围。

2015——2016 学年上学期第四次月考考试 高三年级应届文科数学参考答案 一、选择题: A 卷:DACADB B 卷:BDCDDA 20、 (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,四 边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF⊥平面 ABCD,BF=3,G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点。 (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDEF; (Ⅱ)求证:平面 BDGH//平面 AEF; (Ⅲ)求多面体 ABCDEF 的体积。 BCCABD BCCABA

二、填空题:13、

9 1 ;14、 y ? sin 2 x ;15、 a ? ?1, ?? ? ;16、 。 4 3

三、解答题: 17、解:命题 p:因为函数 y ? log a (2 x ? 1) 在定义域上单调递增,所以 a ? 1 。 命题 q:因为不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立,
2

2

2 ? ? ? 4(a ? 2) ? 16(a ? 2) ? 0 所以 ?2 ? a ? 2 。又因为 p 且 ? q 为真命题 所以 p 真 q 假 ?a ? 1 所以 ? 所以 a ? (2, ??) 。 ?a ? ?2或a ? 2 1 2 3 1 1 18、解: (Ⅰ)设数列 { an } 的公比为 q ,由 ? , , 成等差数列,得 ?3 ? 2 ? , a2 a3 a4 q q 1 1 解得 q ? ,或 q ? ?1 (舍) .所以 an ? 2 ? ( ) n ?????????6 分 3 3 2 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 3 (Ⅱ)因 S n ?1 ? 3 . ? 1 ? n ?1 ,所以 log 3 (1 ? S n ?1 ) ? ?n ? 1 ,故 bn ? ? 1 3 n ? 1 1? 3 1 1 1 . bnbn ?1 ? ? ? (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 b1b2 ? b2b3 ? L ? bnbn ?1 ? ? ? ? ? L ? ? ? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2 1 1 25 依题意得 ? .解得 n ? 100 ???????????12 分 ? 2 n ? 2 51 19、解: (Ⅰ) Q 2sin 2 A cos A ? sin 3 A ? 3 cos A ? 2sin 2 A cos A ? sin ? 2 A ? A? ? 3 cos A

所以 a ? 2 或 ?

?a ? 2 ? 0

解得 a ? 2 或 ?2 ? a ? 2

20、解: (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD . 又因为平面 BDEF ? 平面 ABCD , 平面 BDEF I 平面 ABCD ? BD ,且 AC ? 平面 ABCD , 所以 AC ? 平面 BDEF . ?????????.4 分 (Ⅱ)证明:在△CEF 中,因为 G、H 分别是 CE、CF 的 中点,所以 GH//EF。 又因为 GH ? 平面 AEF,EF ? 平面 AEF, 所以 GH//平面 AEF。 设 AC I BD ? O ,连接 OH,在△ACF 中, 因为 OA=OC,CH=HF,所以 OH//AF。 又因为 OH ? 平面 AEF,AF ? 平面 AEF,所以 OH//平面 AEF。 又因为 OH I GH ? H , OH , GH ? 平面 BDGH,所以平面 BDGH ? 平面 AEF。 ?????????8 分 (Ⅲ)由(Ⅰ) ,得 AC ? 平面 BDEF , 又因为 AO ? 2 ,四边形 BDEF 的面积 S? BDEF ? 3? 2 2 ? 6 2 ,

1 ? ? AO ? S? BDEF ? 4 . 3 同理,四棱锥 C ? BDEF 的体积 V2 ? 4 .
所以四棱锥 A ? BDEF 的体积 V1 所以多面体 ABCDEF 的体积 V

? V1 ? V2 ? 8 .

??????12 分

21、解: (Ⅰ)由 PF1 .F1 F2 ? 0 得 PF1 ? F1 F2 ,可得 c ? 1 。将点 P(-1,

uuu r uuuu r

2 )代入椭圆方程得 2

?? ? = sin 2 A cos A ? cos 2 Asin A ? 3 cos A ? sin A ? 3 cos A ? 2sin ? A ? ? , 3? ? ?? ?? 3 ? ? ? 2sin ? A ? ? ? 3,?sin ? A ? ? ? 3? 3? 2 ? ? ? ? ? 4? ? ? 2? ? Q A ? ? 0, ? ? ,? A ? ? ? , ,? A ? ; ? ,? A ? ? 3 ?3 3 ? 3 3 3 (Ⅱ) Q sin A ? sin ? B ? C ? ? 2sin 2C,?sin ? B ? C ? ? sin ? B ? C ? ? 4sin C cos C
? 2sin B cos C ? 4sin C cos C,?cos C ? 0或 sin B ? 2sin C ,



2 6 3 2 2 3 6 2 2 2 当 sin B ? 2sin C时, , 由 正 弦 定 理 可 得 b ? 2c , 又 由 余 弦 定 理 a ? b ? c ?2 bccos A,可 得 1 1 1 ? 4c 2 ? c 2 ? 4c 2? ,? c 2 ? 2 3 1 1 3 3 ? S?ABC ? bc sin A ? ? ? 。 2 3 2 6 3 综上所述,? S?ABC ? 。 6

? ? 3 1 1 3 3 当 cos C ? 0时, C= , ?B ? , ? b ? a tan B= ? , ? S?ABC ? ab ? ?1? ;

1 1 ? 22 ? 1 ,又因为 a 2 ? b2 ? c 2 ? 1 ,联立解得 a 2 ? 2, b2 ? 1 , 2 a b x2 ? y2 ? 1 。 故椭圆方程为 2 |m| (Ⅱ)直线 l :y=kx+m 与⊙O 相切,则 ? 1 ? m2 ? k 2 ? 1 。 2 k ?1 2 ?x ? ? y2 ? 1 2 2 2 由? 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ? y ? kx ? m ? 因为直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、 B.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
?4km 2m 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 m 2 ? 2k 2 2 2 y1 y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? k x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 uur uu u r 1? k 2 2 1? k 2 3 1 ? ? ? ? ? ? ? k2 ?1 ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2 2 1 ? 2k 3 1 ? 2k 4 2
∴ ? ? 0 ? k ? 0 ? k ? 0 , x1 ? x2 ?
2

3

∴ AB ? 1 ? k 设u ? k4 ? k2 ?

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 2

4 ? k 4 ? k 2 ? ?1

2?k 4 ? k 2 ?

2u 1 1 3 3 ?1 ? ?2 ? , u ? [ , 2] ? k 2 ? 1? ,则 ? u ? 2 , AB ? 2 4 4u ? 1 2 2 ? 4u ? 1? 4 ?2 ?


在 ? , 2 ? 上单调递增 4 22、 (Ⅰ)由已知 f ( x) ?

?3 ?

? ?

6 4 ? AB ? 。 2 3

1 3 x ? ax 2 ? bx 3 k1 ? f ?(0) ? b ,设 l2 与曲线 y ? f ( x) 的切点为 ( x0 , y0 )( x0 ? 0) 2 2 3 y 1 2 2 ? ax0 ? 0 ,即 x0 ? ? a , 则 x0 ? 2ax0 ? b ? 0 ? x0 ? ax0 ? b 所以 x0 3 2 x0 3 3 9 2 3 2 2 则 k2 ? f ?(? a ) ? a ? 3a ? b ? ? a ? b . 2 4 4 2 2 又 4k2 ? 5k1 ,所以 ?3a ? 4b ? 5b ,即 b ? ?3a
因此 f ?( x) ? x2 ? 2ax ? 3a2 ? ( x ? 3a)( x ? a) ①当 a ? 0 时, f ( x ) 的增区间为 (??, ?3a) 和 (a, ??) ,减区间为 (?3a, a) . ②当 a ? 0 时, f ( x ) 的增区间为 (??, a) 和 (?3a, ??) ,减区间为 (a, ?3a) . ???..5 分

3 2 a ? b ? tb,? ab ? 0 ,∴ t ? 1 , 4 3a 2 3a 2 2 于是 b ? ,所以 f ?( x) ? x ? 2ax ? , 4(1 ? t ) 4(1 ? t )
(Ⅱ)由(Ⅰ)若 k2 ? tk1 ,则 ? 由 f ( x ) 无极值可知, ? ? 4a ?
2

所以

1 ? 4t 1 ? 0, ? t ? 1 1? t 4

3a 2 1 ? 4t 2 a ? 0, ? 0 ,即 1? t 1? t

由 f (b) ? f (1 ? 2t ) 知, b ? 1 ? 2 t ,即 就是 3a ? 4(1 ? t )(1 ? 2t ) ,
2

3a 2 ? 1? 2 t , 4(1 ? t )

3 1 3 ? t ? 1 ,故 {4(1 ? t )(1 ? 2t )}max ? ,所以 3a 2 ? , 2 4 2 2 2 又 a ? 0 ,因此 a ? (? ???????..12 分 , 0) ? (0, ). 2 2


4


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