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初三数学圆知识点复习专题


圆—苑老师
一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的 圆; (补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂 线) ; 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、 到直线的距离相等的点的轨迹是: 平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两 条直线; 5、 到两条平行线距离相等的点的轨迹是: 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等 的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? 2、点在圆上 ? 3、点在圆外 ?
d ?r ? d ?r ? d ?r ?

点 C 在圆内; 点 B 在圆上; 点 A 在圆外;

A r B

d O d C

三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d ? r ? 无交点; 2、直线与圆相切 ? d ? r ? 有一个交点; 3、直线与圆相交 ? d ? r ? 有两个交点;

r

d

d=r

r

d

四、圆与圆的位置关系 外离(图 1) ? 无交点

? d ? R?r ;

外切(图 2) ? 有一个交点 ? d ? R ? r ; 相交(图 3) ? 有两个交点 ? R ? r ? d ? R ? r ; 内切(图 4) ? 有一个交点 ? d ? R ? r ;

内含(图 5) ?

无交点

? d ? R?r ;

d R 图1 r
R

d r 图2

d R 图3 r

d R

d
r

r R

图4

图5

五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出 其它 3 个结论,即: ① AB 是直径 ② AB ? CD ③ CE ? DE ④ 弧 BC ? 弧 BD ⑤ 弧 AC ? 弧 AD
A

中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙ O 中,∵ AB ∥ CD ∴弧 AC ? 弧 BD
A

O

C O

D
C

E D B

B

例题 1、 基本概念 1.下面四个命题中正确的一个是( ) B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 D. 在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这

A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径 C. 弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 个圆的圆心 2.下列命题中,正确的是( ) .

A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧 C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心

B.过弦的中点的直线必过圆心 D.弦的垂线平分弦所对的弧

例题 2、垂径定理 1、 在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果 油的最大深度为 16cm,那么油面宽度 AB 是________cm.

2、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后, ,如果油面宽度是 48cm,那么油的最大深度为 ________cm. 3、如图,已知在⊙ O 中,弦 AB ? CD ,且 AB ? CD ,垂足为 H , OE ? AB 于 E , OF ? CD 于 F . (1)求证:四边形 OEHF 是正方形. (2)若 CH ? 3 , DH ? 9 ,求圆心 O 到弦 AB 和 CD 的距离.

4、已知:△ABC 内接于⊙O,AB=AC,半径 OB=5cm,圆心 O 到 BC 的距离为 3cm,求 AB 的 长.

5、 如图, F 是以 O 为圆心, BC 为直径的半圆上任意一点, A是
1 AD= BF. 2

的中点,AD⊥BC 于 D,求证:

A E O

F

B

D

C

例题 3、度数问题

1、已知:在⊙ O 中,弦 AB ? 12cm , O 点到 AB 的距离等于 AB 的一半,求: ?AOB 的度数和圆 的半径.

2、已知:⊙O 的半径 OA ? 1 ,弦 AB、AC 的长分别是 2 、 3 .求 ?BAC 的度数。
例题 4、相交问题

如图,已知⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E,AE=6cm,EB=2cm,∠BED=30°,求 CD 的长.
C E O D

A

B

例题 5、平行问题

在直径为 50cm 的⊙O 中,弦 AB=40cm,弦 CD=48cm,且 AB∥CD,求:AB 与 CD 之间的距离.
例题 6、同心圆问题

如图,在两个同心圆中,大圆的弦 AB,交小圆于 C、D 两点,设大圆和小圆的 半径分别为 a , b .求证: AD ? BD ? a 2 ? b 2 .
例题 7、平行与相似

已知:如图, AB 是⊙ O 的直径, CD 是弦, AE ? CD于 E , BF ? CD 于 F .求 证: EC ? FD .

六、圆心角定理

圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此 定理也称 1 推 3 定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的 1 个相等,则可以推出其它的 3 个结论, 即:① ?AOB ? ?DOE ;② AB ? DE ; ③ OC ? OF ;④ 弧 BA ? 弧 BD 七、圆周角定理 1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵ ?AOB 和 ?ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 ∴ ?AOB ? 2?ACB 2、圆周角定理的推论: 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧是等弧; 即:在⊙ O 中,∵ ?C 、 ?D 都是所对的圆周角 ∴ ?C ? ? D
B O A D C
B O A
A O D C E F

B

C

推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆, 所对的弦是直径。 即:在⊙ O 中,∵ AB 是直径 ∴ ?C ? 90? 或∵ ?C ? 90? ∴ AB 是直径
B O

C

A

推论 3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 即:在△ ABC 中,∵ OC ? OA ? OB ∴△ ABC 是直角三角形或 ?C ? 90? 注: 此推论实是初二年级几何中矩形的推论: 在直角三角形中斜边上的中 线等于斜边的一半的逆定理。 【例 1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图形 3-3-19 所表 示的情形,四个工件哪一个肯定是半圆环形?
B O C

A

【例 2】如图,已知⊙O 中,AB 为直径,AB=10cm,弦 AC=6cm,∠ACB 的平分线交⊙O 于 D,求 BC、 AD 和 BD 的长. 【例 3】如图所示,已知 AB 为⊙O 的直径,AC 为弦,OD∥BC,交 AC 于 D,BC=4cm. (1)求证:AC⊥OD; (2)求 OD 的长; (3)若 2sinA-1=0,求⊙O 的直径.

【例 4】四边形 ABCD 中,AB∥DC,BC=b,AB=AC=AD=a,如图,求 BD 的长.

【例 5】如图 1,AB 是半⊙O 的直径,过 A、B 两点作半⊙O 的弦,当两弦交点恰好落在半⊙O 上 C 点时,则有 AC·AC+BC·BC=AB2. (1)如图 2,若两弦交于点 P 在半⊙O 内,则 AP·AC+BP·BD=AB2 是否成立?请说明理由. (2)如图 3,若两弦 AC、BD 的延长线交于 P 点,则 AB2= 并证明你填写结论的正确性. .参照(1)填写相应结论,

八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在⊙ O 中,
C D

∵四边形 ABCD 是内接四边形


?C ? ?BAD ? 180?
B A E

?B ? ?D ? 180? ?DAE ? ?C

例 1、如图 7-107,⊙O 中,两弦 AB∥CD,M 是 AB 的中点,过 M 点作弦 DE.求证:E,M,O,C 四 点共圆.

九、切线的性质与判定定理 (1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵ MN ? OA 且 MN 过半径 OA 外端 ∴ MN 是⊙ O 的切线 (2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理:
M A N O

从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹 角。 即:∵ PA 、 PB 是的两条切线 ∴ PA ? PB
P B

O

PO 平分 ?BPA
A

利用切线性质计算线段的长度 例 1:如图,已知:AB 是⊙O 的直径,P 为延长线上的一点,PC 切⊙O 于 C,CD⊥AB 于 D,又 PC=4,⊙O 的半径为 3.求:OD 的长.

利用切线性质计算角的度数 例 2:如图,已知:AB 是⊙O 的直径,CD 切⊙O 于 C,AE⊥CD 于 E,BC 的延长线与 AE 的延长 线交于 F,且 AF=BF.求:∠A 的度数.

利用切线性质证明角相等 例 3:如图,已知:AB 为⊙O 的直径,过 A 作弦 AC、AD,并延长与过 B 的切线交于 M、N.求 证:∠MCN=∠MDN.

利用切线性质证线段相等 例 4:如图,已知:AB 是⊙O 直径,CO⊥AB,CD 切⊙O 于 D,AD 交 CO 于 E.求证:CD=CE.

利用切线性质证两直线垂直 例 5:如图,已知:△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径作⊙O,交 BC 于 D,DE 切⊙O 于 D,交 AC 于 E.求证: DE⊥AC.

十一、圆幂定理 (1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘 即:在⊙ O 中,∵弦 AB 、 CD 相交于点 P , ∴ PA ? PB ? PC ? PD
C D B O P A

积相等。

(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段 的比例中项。 即:在⊙ O 中,∵直径 AB ? CD , ∴ CE 2 ? AE ? BE
B O E D C A

(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项。 即:在⊙ O 中,∵ PA 是切线, PB 是割线 ∴ PA2 ? PC ? PB (4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割 线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图) 。 即:在⊙ O 中,∵ PB 、 PE 是割线 ∴ PC ? PB ? PD ? PE 例1.如图1,正方形 ABCD 的边长为1,以 BC 为直径。在正方形内作半圆 O,过 A 作半圆切线,切
P C D O B A E

点为 F,交 CD 于 E,求 DE:AE 的值。

例2.⊙O 中的两条弦 AB 与 CD 相交于 E,若 AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,那么 CE=_________cm。

图2 例3.如图3,P 是⊙O 外一点,PC 切⊙O 于点 C,PAB 是⊙O 的割线,交⊙O 于 A、B 两点,如果 PA: PB=1:4,PC=12cm,⊙O 的半径为10cm,则圆心 O 到 AB 的距离是___________cm。

图3 例4.如图4,AB 为⊙O 的直径,过 B 点作⊙O 的切线 BC,OC 交⊙O 于点 E,AE 的延长线交 BC 于点 D, (1)求证: ; (2)若 AB=BC=2厘米,求 CE、CD 的长。

图4 例5.如图5,PA、PC 切⊙O 于 A、C,PDB 为割线。求证:AD·BC=CD·AB

图5

例6.如图6,在直角三角形 ABC 中,∠A=90°,以 AB 边为直径作⊙O,交斜边 BC 于点 D,过 D 点 作⊙O 的切线交 AC 于 E。

图6

求证:BC=2OE。 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图: O1O2 垂直平分 AB 。 即:∵⊙ O1 、⊙ O2 相交于 A 、 B 两点 ∴ O1O2 垂直平分 AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式: (1)公切线长: Rt ?O1O2C 中, AB 2 ? CO12 ? O1O2 2 ? CO2 2 ; (2)外公切线长: CO2 是半径之差; 内公切线长: CO2 是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 (1)正三角形 在⊙ O 中△ ABC 是正三角形,有关计算在 Rt ?BOD 中进行:
C

A O1 O2

B
A C O2

B O1

O A

OD : BD : OB ? 1: 3 : 2 ;

B

D

B

C O

(2)正四边形 同 理 , 四 边 形 的 有 关 计 算 在 Rt ?OAE 中 进 行 ,
A

OE : AE : OA ? 1:1: 2 :

E

D

(3)正六边形 同 理 , 六 边 形 的 有 关 计 算 在 Rt ?OAB 中 进 行 ,
AB : O: B ? OA 1 :
O

. : 2 3
B A

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形: (1)弧长公式: l ?
n? R ; 180

A

O

S

l

(2)扇形面积公式: S ?

n? R 1 ? lR 360 2
2

B

n :圆心角

R :扇形多对应的圆的半径

l :扇形弧长 S :扇形面积

2、圆柱: (1)圆柱侧面展开图
A D D1 母线长 底面圆周长 B C
B1

S表 ? S侧 ? 2S底 = 2? rh ? 2? r 2
(2)圆柱的体积: V ? ? r h
2

C1

3 .圆锥侧面展开图 (1) S表 ? S侧 ? S底 = ? Rr ? ? r 2
1 (2)圆锥的体积: V ? ? r 2 h 3
C A r O

R

B


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