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湖北省部分重点中学2019届高三第二次联考高三数学(文科)试题(解析版)

湖北省部分重点中学 2019 届高三第二次联考 高三数学(文科)试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A. 【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式得到集合 【详解】由题意得 所以 故选 B. 【点睛】本题考查集合的交集和并集运算,解题的关键是通过解不等式得到集合 础题. 2.已知复数 满足 A. B. C. 为虚数单位) ,则 D. ,考查计算能力,属于基 , ,然后对每个选项分别进行判断即可得到正确的结论. , . . B. , ,则以下正确的结论是( C. D. )

【答案】C 【解析】 分析:由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解:由题意可得: 则: 本题选择 C 选项. 点睛:本题主要考查复数的模的求解,复数的运算法则等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3. (2013?重庆)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲 组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为( ) , .

1

A. 2,5 【答案】C 【解析】

B. 5,5

C. 5,8

D. 8,8

试题分析:由题意得 考点:茎叶图



,选 C.

4. 已知等腰直角三角形的直角边的长为 2, 将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几 何体的体积为( ) A. 【答案】B 【解析】 试题分析:如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体, B. ,故选 B. C. D.

考点:圆锥的体积公式.

5.已知角 的顶点为坐标原点,始边与 轴的非负半轴重合,若角 终边过点 A. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角函数的定义求出 和 ,然后再根据两角和的余弦公式求解即可.
2

,则

的值为(



B.

C.

D.

【详解】∵角 终边过点 ∴ ∴ 故选 D. ,





【点睛】解答本题的关键是根据三角函数的定义求出 属于简单题. 6.设双曲线 的右焦点与抛物线 ) C. D.



,容易出现的问题是运用公式时符号出现错误,

的焦点相同,双曲线 的一条渐近线方程为

,则双曲线 的方程为( A. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得双曲线 的渐近线方程为 B.

,于是可得

,故

,从而双曲线方程为

,然后再

根据双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同得到 【详解】由题意得双曲线 的渐近线方程为 又双曲线 的一条渐近线方程为 ∴ ,故 , ,

,进而可得所求方程. ,

∴双曲线方程为 ∴双曲线的右焦点坐标为 又抛物线 ∴ ,

, . ,双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同,

的焦点坐标为

∴双曲线的方程为 故选 B.



【点睛】已知双曲线的标准方程求渐近线方程时,只需把标准方程中等号右边的 1 换为零,再求出 y 与 x 间的 关系即可.解答本题的关键是根据题中的关系得到方程中的待定系数,考查对双曲线基本性质的理解和运用, 属于基础题.
3

7.一个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图、侧视图、俯视图都是直角三角形,则该三棱锥最长的棱长为 ( )

A. 7

B.

C. 3

D.

【答案】B 【解析】 【分析】 根据三视图画出三棱锥的直观图,再根据题中的数据求出三棱锥的所有的棱长后可得结论. 【详解】由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥 别为 , 底面 ,且 . ,其中底面三角形 是直角三角形,两直角边分

结合图形可得最长的棱为 故选 B.



【点睛】解答类似问题的关键是根据三视图得到几何体的直观图,解题时要综合三个视图进行考虑,熟记常见 几何体的三视图是解题的关键,考查空间想象能力和计算能力,属于基础题. 8.已知函数 ( ) A. 【答案】B 【解析】 【分析】
4

,若函数

是奇函数,则曲线

在点

处的切线方程是

B.

C.

D.

根据函数

是奇函数可求得

,所以

,然后根据导数的几何意义求出切线的斜率,

进而得到切线的方程. 【详解】由题意得 ∴函数 ∴ , ∴ ∴ ∴ ∴ 又 , , ,即 . . , , 为奇函数, ,

∴所求切线方程为 故选 B.

【点睛】 本题考查导数的几何意义, 解答本题的关键是求出函数的解析式, 解题时注意“曲线在点 P 处的切线” 和“曲线过点 P 的切线”两种说法的区别, 其中“曲线在点 P 处的切线”说明点 P 在曲线上且点 P 为切点, 此 时可根据导函数的函数值及直线的点斜式方程求出切线方程即可. 9.将函数

的图像向左平移 个单位,得到函数 )
B.

的图像,则下列关于函数



说法正确的是(
A. C.

是奇函数

的周期是 对称
D.

的图像关于直线

的图像关于点

对称

【答案】D 【解析】

函数 象,可得函数 确,故选 D.
10.在长方体 成的角为

的图象向左平移 个单位,得到函数 是偶函数且周期为 ,所以选项 A、B 错误,又

的图 ,所以选项 D 正

中, ,则长方体

, 为底面矩形 的体积为( )

两条对角线的交点, 若异面直线





A.
【答案】A

B.

C.

D.

5

【解析】 【分析】 根据题意画出图形,取 体的高 的中点 ,由题意得异面直线 与 所成的角为 ,结合题中的数据求出长方

,然后可求出长方体的体积. 的中点 ,连 与 ,则有 所成的角, ∥ ,且 ,

【详解】如图,取 所以 所以 在直角三角形 故在直角三角形 所以长方体的体积为 故选 A.

即为异面直线 . 中, 中,

, , .

【点睛】本题考查长方体体积的求法,解题的关键是求出长方体的高,在求

高的过程中,通过异面直线所成角的定义作出两直线所成的角,再通过解三角形的知识求解,考查转化和计算 能力,属于基础题. 11.已知边长为 2 的等边 A. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得, 在等边 中, , 然后对给出的四个选项分别进行验证后可得错误的结论. . B. 中,向量 C. 满足 , D. ,则下列式子错误的是( )

【详解】画出图形如图所示,由题意可得

6

对于 A,由于 对于 B,由题意得 对于 C,由图形可得 对于 D, 由选项 C 可得 故选 C.

,所以 A 正确. ,所以 B 正确. ,所以 C 不正确. ,所以 ,所以 D 正确.

【点睛】 用定义进行向量的数量积运算时一定要结合图形进行求解, 容易出现的问题是把向量的夹角判断错误, 考查数形结合在解题中的应用及计算能力,属于中档题. 12.已知 A. B. 的三边长是三个连续的自然数,且最大的内角是最小内角的 2 倍,则最小角的余弦值为( C. D. )

【答案】A 【解析】 【分析】 设三角形的三边分别为 ,根据余弦定理求出最小角的余弦值,然后再由正弦定理求得最小

角的余弦值,进而得到 的值,于是可得最小角的余弦值. 【详解】由题意,设 由正弦定理得 所以 . . , 的三边长分别为 , ,对应的三角分别为 ,

又根据余弦定理的推论得 所以 所以 ,解得 ,

即最小角的余弦值为 . 故选 A. 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边,其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程,使得问题得
7

以求解,考查正余弦定理的应用及变形、计算能力,属于基础题.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.函数 【答案】 【解析】 【分析】 根据被开方式为非负数得到对数不等式,解对数不等式可得定义域. 【详解】要使函数有意义,需满足 解得 , . ,即 , 的定义域为__________.

所以函数的定义域为 故答案为 .

【点睛】本题考查函数定义域的求法,解题的关键是正确解对数不等式,属于容易题. 14.已知 满足约束条件 ,则 的最大值为__________.

【答案】10 【解析】 【分析】 画出不等式组表示的可行域,由 进而得到所求的最大值. 【详解】画出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示. 得 ,平移直线 ,根据 的几何意义求出最优解,

由 平移直线 最大值. 由



. ,结合图形可得,当直线经过可行域内的点 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,此时 z 取得

,解得


8

故点 A 的坐标为 所以 故答案为 .

, .

【点睛】用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学中的应用,解题时要先判断出目标函数中 的几 何意义,然后再结合图形求解,常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种,其中解题的关键是正确画出不等 式组表示的可行域. 15.已知函数 __________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意得方程 画出函数 有两个不同的实数根,从而得到函数 的图象后结合图象求解即可. 有两个不同的实数根, 的图象有两个不同的交点. 的图象与函数 的图象有两个不同的交点, ,若关于 的方程 有两个不相同的实数根,则实数 的取值范围是

【详解】由题意得方程 从而函数

的图象与函数

画出函数 结合图象可得,要使函数 则需满足 ,

的图象,如图所示. 的图象与函数 的图象有两个不同的交点,

所以实数 的取值范围是 故答案为 .



【点睛】 本题考查根据方程根的个数求参数的取值范围, 解题时注意将问题转化为两函数图象公共点个数的问 题求解,解题的关键是画出函数的图象,然后再借助图象求解,体现了数形结合的应用. 16.已知 为原点,过点 __________.
9

的直线 与圆

相交于

两点,若

的面积为 2,则直线 的方程为

【答案】x=1 或 5x+12y+13=0 【解析】 【分析】 分直线 的斜率存在与不存在两种情况,求出弦长和圆心到直线的距离,再结合三角形的面积可求出直线的方 程. 【详解】①当直线 的斜率不存在时,直线方程为 所以 故 所以直线 , , 满足题意. ,即 , ,则圆心 到直线 的距离为 1,

②当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为

所以圆心

到直线 的距离



故 因为 所以 整理得 当 时,则 , ,解得 ,





. ;

,解得



时,则

,此方程无解.

故直线方程为 综上可得所求直线方程为 故答案为 或

,即 或 .

. .

【点睛】 本题考查直线和圆的位置关系及圆的弦长的求法, 解题时容易出现的错误是忽视过点 P 的直线斜率不 存在的情况,另外本题中由于涉及到大量的计算,所以在解题中要注意计算的合理性和准确性.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知数列 (1)求 的前 项和 ,满足 ; 是否为等比数列,并说明理由;
10

,记

.

(2)判断数列

(3)求数列 【答案】(1) 【解析】 【分析】 (1)由

的通项公式.

; (2)见解析; (3)

.

可求出

,然后根据

得到

,进而可得

,于是可得 的通项公式 ,

. (2)根据等比数列的定义进行证明即可得到答案. (3)先求出数列 然后根据 【详解】 (1)令 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ (2)数列 ∵ ∴ 又 ∴数列 , 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. , 是等比数列.证明如下: , , . , . , , , 可得数列 ,则 的通项公式. ,故 .

(3)由(2)知 又 ∴ , .

【点睛】 (1)证明数列为等比数列时,不要忘了说明数列中不存在零项,为解决这一问题,只需验证数列的首 项不为零即可. (2)数列的有关运算时一般需要化为数列的基本量(首项和公差或首项和公比)的问题来处理,解题时注意 通项公式和前 n 项和公式的灵活利用. 18.如图,在四棱锥 为棱 的中点. 中,已知 是等边三角形, 平面 , , ,点

11

(1)求证: (2)求三棱锥

平面

; 的体积. .

【答案】 (1)证明见解析; (2) 【解析】 【分析】

(1)取 BC 的中点 Q,连 MQ 与 DQ,可证得四边形

为平行四边形,故 平面

,根据线面平行的判定定 ,且四边形 为直角梯

理可得结论成立. (2)取 AB 的中点 N,连接 AN,根据条件可得到 形,即确定了三棱锥的高和底面,然后利用 【详解】 (1)证明:取 PC 的中点 Q,连接 MQ 与 DQ, ∵ ∴ 又 ∴ ,且 为 的中位线, ,且 , . .

可得所求体积.

∴四边形 ∴ 又 ∴ . 平面 平面

为平行四边形,

, .

平面



(2)取 AB 的中点 N,连接 AN, ∵ 为等边三角形,
12

∴ ∵ ∴平面 又平面 ∴ ∵ ∴四边形 ∵ ∴

. 平面 , 平面 平面 平面 . 平面 . , ,

为直角梯形, , .

【点睛】在证明空间中的线面关系时,要注意证明过程的完整性,对于判定、性质定理中的关键词语,在解题 过程中要用符号加以表示,这是解题中容易出现的问题.另外,求三棱锥的体积时往往要结合等积法求解,即 转化为便于求体积的三棱锥的体积求解. 19.2018 年 11 月 21 日,意大利奢侈品牌“ ﹠ ”在广告中涉嫌辱华,中国明星纷纷站出来抵制该品牌,随后 京东、天猫、唯品会等中国电商平台全线下架了该品牌商品,当天有大量网友关注此事件,某网上论坛从关注 此事件跟帖中,随机抽取了 100 名网友进行调查统计,先分别统计他们在跟帖中的留言条数,再把网友人数按 留言条数分成 6 组: , , , , , ,得到如图所示的频率分布直方图;

并将其中留言不低于 40 条的规定为“强烈关注”,否则为“一般关注”,对这 100 名网友进一步统计得到 列联表的部分数据如下表. 一般关注 男 女 合计 10 强烈关注 合计 45 55 100

13

(1)在答题卡上补全列联表中数据;并判断能否有 95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别 有关? (2)现已从“强烈关注”的网友中按性别分层抽样选取了 5 人,再从这 5 人中选取 2 人,求这 2 人中至少有 1 名女性的概率. 参考公式及数据: 0.05 3.841 0.010 6.635 ,

【答案】 (1)没有 【解析】 【分析】

的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关; (2)

.

(1)根据题意得到列联表,然后根据题中数据求出

的值,最后根据临界值表中的数据得到结论. (2)由题

意得到所选的 5 人中的男性、 女性的个数, 然后通过列举法得到所有的基本事件个数及至少有一名女性包含的 事件的个数,最后根据古典概型概率公式求解即可. 【详解】 (1)由题意得列联表如下: 一般关注 男 女 合计 30 45 75 强烈关注 15 10 25 合计 45 55 100

由表中数据可得 , 所以没有 95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关. (2)从“强烈关注”的网友所选的 5 人中, 男性人数为 分别记为 . ,共 10 种,且它们是等可能的,
14

人, 分别记为

, 女性人数为

人,

从这 5 人中任选 2 人的所有结果为:

其中至少有一名女性网友的结果为: 所以所求概率为 .

,共 7 种,

即这 2 人中至少有 1 名女性的概率 . 【点睛】解题时注意临界值表中数据的意义及其用法:①查表时不是查最大允许值,而是先根据题目要求的百 分比找到第一行对应的数值,再将该数值对应的 k 值与求得的 K 相比较.②表中第一行数据表示两个变量没 有关联的可能性 p,所以其有关联的可能性为 1-p. 20.已知椭圆 为 . (1)求椭圆 的方程; (2)已知直线 数 的取值范围. 【答案】(1) 【解析】 【分析】 (1)根据离心率得到 ,由 的面积的最大值为 得到 ,再结合椭圆中 求出参数的值 的 ; (2) . 与椭圆 交于不同的两点 ,若在 轴上存在点 ,使得 ,求实 的左、右焦点为 ,离心率为 ,点 在椭圆 上,且 的面积的最大值
2

后可得方程. (2) 将直线方程代入椭圆方程消去 y 得到关于 x 的二次方程, 结合根据系数的关系求出线段 中点 的坐标,由 式得到所求范围. 得 ,进而有 ,并由此得到

,最后根据基本不等

【详解】 (1)由题意得

,解得



∴椭圆 的方程为



(2)由

消去 y 整理得



且 设 则 ,线段 的中点为 .

. ,

15





∴ ∵在 轴上存在点 ∴ ,

. ,使得 ,



,即



∴ ∵ ,





,当且仅当



,即

时等号成立.



,故

. . 得到

∴实数 的取值范围为

【点睛】 (1)在解决圆锥曲线的有关问题时要注意平面几何图形性质的运用,如在本题中根据 ,即将等腰三角形的问题转化为垂直问题.

(2)解决最值或范围问题时,常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式,然后再结合基本不等式或函 数的知识求出这个式子的最值或范围即可. 由于此类问题一般要涉及到大量的计算, 所以在解题时要注意计算 的合理性,注意变形、换元等方法的利用. 21.设函数 (1)当 时,求函数 . 的极值; 恒成立,求实数 的取值范围. ,无极小值; (2) .

(2)若不等式 【答案】 (1) 【解析】 【分析】

对任意 的极大值为

(1)求出函数的导数,进而得到函数的单调性,然后可得函数的极值. (2)通过对参数 的讨论得到函数的单
16

调性,进而得到函数的最大值,然后将恒成立问题转化为 【详解】 (1)当 ∴ 由 得 . 的变化情况如下表: 时, . ,

,解不等式可得所求范围.

当 变化时,

+

0 极大值

-

由表知,当 (2)由题意得 ①当 ∴函数 又 ∴对任意 ②当 则当 ∴当 时, , 时,则 在

时,函数

取得极大值,且极大值为 . ,

,无极小值.

上单调递增, , 不恒成立.

时, 时,函数

单调递增;当 取得极大值,也为最大值,且 恒成立,

时,

单调递减. .

∵不等式 ∴

对任意 ,解得 .

综上可得实数 的取值范围为



【点睛】 (1)用导数研究函数的性质时,单调性是解题的工具,由单调性可得函数的极值、最值,进而得到函 数的大体图象,为解决问题提供了直观性. (2)解决函数中的恒成立问题时,可转化为函数的最值问题求解,解题时首先得到函数的最值,再结合题意 求解即可.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程
17

在极坐标系中,曲线 的极坐标方程为 极轴建立极坐标系. (1)曲线 的直角坐标方程和点 的直角坐标;

,点 的极坐标为

,以极点 为极点,以 轴正半轴为

(2)若过点 且倾斜角为 的直线 ,点 为曲线 上任意一点,求点 到直线 的最小距离. 【答案】 (1) 【解析】 【分析】 (1)根据极坐标和直角坐标间的互化公式求解即可得到结论. (2)转化为直角坐标求解,设点 的坐标,然 后根据点到直线的距离求解,再结合二次函数得到所求最小值. 【详解】 (1)由 把 得 代入上式得 . , , ;(2) .

∴曲线 的直角坐标方程为 设点 的直角坐标为 则 ∴点 的直角坐标为 . ,



(2)由题意得直线 的方程为 设点 ,

,即



则点 到直线 的距离为



故当

时, 有最小值,且 .



∴点 到直线 的最小距离为

【点睛】 解答本题的关键是根据极坐标和直角坐标间的互化公式求解, 在解决与极坐标或参数方程有关的问题 时,常用的方法是转化为直角坐标求解,考查转化和计算能力,属于基础题. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (1)当 时,求不等式 . 的解集; 的解集包含集合 ; (2)-1
18

(2)若关于 的不等式 【答案】 (1)

,求实数 的取值范围.

【解析】 【详解】 (1)当 所以不等式 时, 即为 , ,

等价于















解得











∴原不等式的解集为



(2)∵不等式

的解集包含集合



∴当

时,不等式

恒成立,





恒成立,





恒成立,





恒成立.

又当









∴实数 的取值范围为



【点睛】解含有两个绝对值号的不等式时,常用的方法是利用零点分区间法去掉绝对值号,转化为不等式组求
19

解. 解答第二问的关键是将问题转化为不等式恒成立求解, 然后通过分离参数再转化为求函数最值的问题处理.

20


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