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人教版高中数学选修1-1知识点总结(全)

高中数学选修 1-1 知识点总结
第一章 简单逻辑用语
? 命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. ? ? “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 原命题:“若 p ,则 q ” 否命题:“若 ? p ,则 ? q ” ? 四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. ? 若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件). 利用集合间的包含关系: 例如: 若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件; 若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; ? 逻辑联结词:⑴且:命题形式 p ? q ; ⑵或:命题形式 p ? q ; ⑶非:命题形式 ? p . 逆命题: “若 q ,则 p ” 逆否命题:“若 ? q ,则 ? p ”

p
真 真 假 假 ?

q
真 假 真 假

p?q
真 假 假 假

p?q
真 真 真 假

?p
假 假 真 真

⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等,用“ ? ”表示. 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) . ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等,用“ ? ”表示. 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) .

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第二章 圆锥曲线
? 平面内与两个定点 F )的点的轨迹称为椭圆. 1,F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2 即: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) . 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. ? 椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a

范围

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
顶点

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?
长轴的长 ? 2 a

?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ?
短轴的长 ? 2b

轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴、原点对称

c b2 e ? ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

第 2 页 共 6 页

?

平面内与两个定点 F )的点的轨迹称为双 1,F 2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F 1F 2 曲线.即: || MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) . 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.

?

双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
y ? ?a 或 y ? a , x ? R

范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
虚轴的长 ? 2b

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2 a

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

e?
y?? b x a

c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a
y?? a x b

渐近线方程 ?

实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.

第 3 页 共 6 页

?

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为抛物线 的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线.

?

抛物线的几何性质:

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

图形

顶点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?

对称轴

y轴
p? ? F ? 0, ? 2? ?
p? ? F ? 0, ? ? 2? ?

焦点

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?

准线方程

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

离心率

e ?1

范围 ?

x?0

x?0

y?0

y?0

过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、? 两点的线段 ?? , 称为抛物线的“通径”, 即 ?? ? 2 p .

?

焦半径公式:

p ; 2 p 2 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x ? 2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? y0 ? ; 2
若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? x0 ?
2

第 4 页 共 6 页

第三章 导数及其应用
? ? ? 函数 f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率:

f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1
x ? x0

导数定义: f ? x ? 在点 x0 处的导数记作 y ?

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) . ?x

函数 y ? f ? x? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 率.

y ? f ? x?

在点

? ? x0 , f ? x0 ??

处的切线的斜

?

常见函数的导数公式:
' ①C ? 0;

② ( x n ) ' ? nxn?1 ; ④ (cosx) ' ? ? sin x ; ⑥ (e x ) ' ? e x ;
' ⑧ (ln x ) ?

③ (sin x) ' ? cos x ; ⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;
' ⑦ (log a x ) ?

1 ; x ln a

1 x

?

导数运算法则:

?1?
? 2?

? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x ? ? g? ? x ? ; ? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x? g ? x ? ? f ? x ? g? ? x ? ;

? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? g ? x ? ? 0? ? ? ? 2 g x ? ? g x ? ? ? ? 3? ? ? ? ??
?



在某个区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增; 若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减.

?

求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值;
? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.

第 5 页 共 6 页

?

求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x? 在 ? a, b ? 内的极值;
? 2 ? 将函数 y ? f ? x? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最大
值,最小的一个是最小值.

第 6 页 共 6 页


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