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第高阶导数_图文

第三节 高阶导数
? 一、高阶导数的定义 ? 二、高阶导数求法举例 ? 三、小结 思考题

一、高阶导数的定义

问题:变速直线运动的加速度. 设 s ? f (t), 则瞬时速度为 v(t) ? f ?(t)
? 加速度 a 是速度 v 对时间 t 的变化率

?a(t) ? v?(t) ? [ f ?(t)]?. 定义 如果函数 f ( x) 的导数 f ?( x) 在点 x 处可导, 即

( f ?( x))? ? lim f ?( x ? ?x) ? f ?( x)

?x?0

?x

存在, 则称 ( f ?( x))? 为函数 f ( x) 在点 x 处的二阶导数.

记作

f ??( x),

y??,

d2y dx 2



d

2 f(x dx 2

)

.

二阶导数的导数称为三阶导数,

f ???( x),

y???,

d3 dx

y
3

,

d3 f (x) dx3

三阶导数的导数称为四阶导数,

f (4) ( x),

y(4) ,

d4 dx

y
4

,

d

4 f(x dx4

)

.

一般地, 函数f ( x)的n ? 1阶导数的导数称为

函数f ( x)的n阶导数,记作

f (n) ( x), y(n) , d n y 或 d n f ( x) .

dx n

dx n

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.

相应地, f ( x)称为零阶导数; f ?( x)称为一阶导数.

二、 高阶导数求法举例

1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y ? arctan x, 求f ??(0), f ???(0).



y?

?

1

1 ?x

2

y

??

?

( 1

1 ?x

2

)?

? ? 2x (1 ? x 2 )2

y

???

?

( (1

? ?

2x x2

)

2

)?

?

( ?2 x )'

(1

?

x

2 )2 ? (?2x)[(1 (1 ? x2 )4

?

x2

)2

]'

2(3x 2 ? 1) ? (1 ? x 2 )3

?

f

??(0)

?

? (1 ?

2x x2 )2

x?0

? 0;

f ???(0) ?

2(3x 2 ? 1) (1 ? x 2 )3

? ?2.
x?0

例2 设 y ? x ? (? ? R), 求y(n) . 解 y? ? ?x??1
y?? ? (?x ??1 )? ? ?(? ? 1)x ??2 y??? ? (?(? ? 1)x??2 )? ? ?(? ? 1)(? ? 2)x ??3
??
y(n) ? ?(? ? 1)? (? ? n ? 1)x ??n (n ? 1)
若 ? 为自然数n,则
y(n) ? ( x n )(n) ? n!, y(n?1) ? (n!)? ? 0.

注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)

例3 设 y ? ln(1 ? x), 求y(n) .

解 y? ? 1 1? x

y

??

?

?

(1

1 ?x

)

2

y???

?

(1

2! ? x)3

y(4)

?

?

3! (1 ? x)4

?? y(n) ? (?1)n?1 (n ? 1)!
(1 ? x)n

(n ? 1, 0!? 1)

例4 设 y ? sin x, 求y(n) .
解 y? ? cos x ? sin( x ? ?) 2
[sin( x ? c)]' ? cos( x ? c) ? ( x ? c)' ? cos( x ? c)

y??

?

cos(

x

?

?) 2

?

sin( x

?

? 2

?

?) 2

?

sin( x

?

2?

?) 2

y??? ? cos( x ? 2 ? ?) ? sin( x ? 3 ? ?)

2

2

??

y(n) ? sin( x ? n ? ?)

2

同理可得 (cos x)(n) ? cos( x ? n ? ?) 2

例5 设 y ? eax sin bx (a, b为常数), 求y(n) . 解 y? ? (eax )' sin bx ? eax (sin bx)'

? aeax sinbx ? beax cos bx ? eax (a sin bx ? b cos bx) ? eax ? a 2 ? b2 sin(bx ? ?) (? ? arctan b)
a y?? ? a 2 ? b2 ?[aeax sin(bx ? ?) ? beax cos(bx ? ?)]

? a2 ? b2 ? eax[a sin(bx ? ? ) ? b cos(bx ? ? )]

? a 2 ? b2 ? eax ? a 2 ? b2 sin(bx ? 2?)

??

n

y(n) ? (a 2 ? b2 ) 2 ? eax sin(bx ? n?)

(? ? arctan b) a

2. 高阶导数的运算法则:

设函数u和v具有n阶导数, 则

(1) (u ? v)(n) ? u(n) ? v (n)

(2) (Cu)(n) ? Cu(n)

(3)

(u v)(n)

?

n
?

Cnk

u(

n?k

)

v

(

k

)

k?0

莱布尼兹公式

其中, Cnk

?

n! , k!(n ? k)!

u(0) ? u, v(0) ? v,

0! ? 1

莱布尼兹公式的记忆方法

二项展开式

(u ? v)n

?

n
?

Cnk

un?k

v

k

k?0

例6 设 y ? x 2e 2 x , 求y(20) .

解: 设u ? e2x , v ? x2 , 则 u(k) ? 2k e2x ,

v? ? 2x, v?? ? 2, v(k) ? 0, (k ? 3,4,? ,20)

? ? y(20) ?

20
?

C2k0

(e

2x

)( 20? k )

?

x2

(k) ? C200(e2x )(20) ? x2

k ?0

? C210(e2x )(19) ( x2 )? ? C220(e2x )(18) ( x2 )?? ? 0

? 220 e2x ? x2 ? 20 ? 219 e2x ? 2x ? 20 ? 19 218 e2x ? 2 2!
? 220 e2x ( x2 ? 20 x ? 95)

(u ? v)(n) ? u(n)v ? Cn1u(n?1)v? ?? ? Cnku(n?k)v(k) ?? ? uv(n)

3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式

(1) (a x )(n) ? a x ? lnn a (a ? 0)

(2) (sin kx)(n) ? k n sin(kx ? n ? ?)

2

(3)

(cos

kx)(n)

?

kn

cos( kx

?

n?

? )

2

(4) ( x ? )(n) ? ?(? ? 1)? (? ? n ? 1)x ??n

(e x )(n) ? e x

(5) [ln( x

? a)](n)

?

(?1)n?1

(n ? 1)! (x ? a)n

(6)

( x

1 ?

)(n) a

?

(?1)n

(x

n! ? a)n?1

例7 设 y ?

1

(

x

1 ?

)(n) a

?

(?1)n

(x

n! ? a)n?1

, 求y(5) .

x2 ?1

解 ? y ? 1 ? 1( 1 ? 1 ) x2 ?1 2 x ?1 x ?1

? y(5) ? 1[( 1 )(5) ? ( 1 )(5)]

2 x?1

x ?1

? y(5)

? 1[ 2

(?1)5 5! ( x ? 1)6

?

(?1)5 5! ( x ? 1)6

]

?

60

[

(

x

1 ? 1)6

?

(

x

1 ? 1)6

]

a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 )
例8 设 y ? sin6 x ? cos6 x, 求y(n) .

解 y ? (sin2 x)3 ? (cos2 x)3

? (sin2 x ? cos2 x)(sin4 x ? sin2 x cos2 x ? cos4 x)

? (sin2 x ? cos2 x)2 ? 3 sin2 x cos2 x

? 1 ? 3 sin2 2x ? 1 ? 3 ? 1 ? cos 4x

4

42

53

? ? cos 4x 88

(cos kx)(n) ? kn cos( kx ? n ? ? )

2

? y(n) ? 3 (cos 4x)(n) ? 3 ? 4n ? cos(4x ? n ? ? ).

8

8

2

三、小结

高阶导数的定义及物理意义;

高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);

n阶导数的求法;

1.直接法;

2.间接法.

作业和答疑
一、作业 习题2?3: 1(3, 4, 6, 9), 4, 6(2), 8 (1)
二、答疑 时间:每周一、三下午:1:30 ~ 4:00 地点:理学馆六楼618

思考题
设 g?( x) 连续,且 f ( x) ? ( x ? a)2 g( x) , 求 f ??(a) .

设 g?( x) 连续,且 f ( x) ? ( x ? a)2 g( x) ,求 f ??(a)

思考题解答: ? g( x) 可导

? f ?( x) ? 2( x ? a)g( x) ? ( x ? a)2 g?( x)

? g??( x) 不一定存在 所以不能对上式继续求导

需用定义求 f ??(a)

f ??(a) ? lim f ?( x) ? f ?(a)

x?a

x?a

f ?(a) ? 0

? lim f ?( x) ? lim 2( x ? a)g( x) ? ( x ? a)2 g?( x)

x?a x ? a x?a

x?a

? lim[2g( x) ? ( x ? a)g?( x)] ? 2g(a) x?a

作业讲评

(1)

lim(3 ? x?? 6 ?

x x

)

x?1 2

?

x?1 ln( 3? x )
lim e 2 6?x
x??

lim x?1 ln( 3? x )
? e x?? 2 6?x

ln(1? 3 )

lim

6? x

x?? 2

?e

x ?1

?3

lim
x??

6? x 2

? e x?1

lim ? 3( x?1)
? e x?? 2(6?x)

?3
?e 2

当 x ? ?时, ln(1 ? 3 ) ~ ? 3 6?x 6?x

(2)若 f (x) 在 [ a , b ] 上连续,a ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? b, 则在 ( x1, xn ) 内至少存在一点 ? ,使
f (? ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?? f ( xn )
n

证明:设 f ( xk ) ? min{ f ( x1 ), f ( x2 ),? , f ( xn )},

f ( xl ) ? max{ f ( x1 ), f ( x2 ),? , f ( xn )},



f ( xk ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?? n

f ( xn ) ? f ( xl )

(1)若 f ( xk ) ? f ( xl ) 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn )

f ( x2 ) ?

f ( x1 ) ?

f ( x2 ) ?? n

f ( xn ) ,

取? ? x2 ? ( x1, xn ) 即可

证明:设 f ( xk ) ? min{ f ( x1 ), f ( x2 ),? , f ( xn )},

f ( xl ) ? max{ f ( x1 ), f ( x2 ),? , f ( xn )},



f ( xk ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?? n

f ( xn ) ? f ( xl )

(2)若 f ( xk ) ? f ( xl ) 则必有

f ( xk ) ?

f ( x1 ) ?

f ( x2 ) ?? n

f ( xn ) ?

f ( xl )

不仿设 xk ? xl , 由于 f ( x) 在[xk , xl ]上连续,

由介质定理,?? ?( xk , xl ), 使 f (? ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?? f ( xn )
n

又( xk , xl ) ? [x1, xn],
故? ? ( x1, xn ).


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