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2013年4月上海市(静安杨浦青浦宝山)四区联考高三数学二模试卷理科含答案 2


2012 学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试

数学试卷(理科)
(满分 150 分,答题时间 120 分钟)

2013.04.

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ,则 CU A ? 2.若复数 z 满足 z ? i (2 ? z ) ( i 是虚数单位) ,则 z ? 3.已知直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角大小是 ? ,则 tan 2? ? 4.若关于 x、 y 的二元一次方程组 ? 是 . . .

?

?

.

?m x ? y ? 3 ? 0 有唯一一组解,则实数 m 的取值范围 ?(2m ? 1) x ? y ? 4 ? 0
开始 输入 p n=1 . S=0 n=n+1 S=S+2?n n<p?
? 否 是

5 . 已 知 函 数 y ? f (x) 和 函 数 y ? l o g ( x ? 1) 的 图 像 关 于 直 线 2

x ? y ? 0 对称,则函数 y ? f (x) 的解析式为
6. 已知双曲线的方程为 离为 7.函数 f ( x) ? .

x2 ? y 2 ? 1 ,则此双曲线的焦点到渐近线的距 3

sin x ? cos x cos(? ? x) 的最小正周期 2 sin x cos x ? sin x
.

输出 S 结 束 (第 9 题图)

T ?
n

8.若 (1 ? 2 x) 展开式中含 x 项的系数等于含 x 项系数的 8 倍,则正整数 n ?
3

. .

9.执行如图所示的程序框图,若输入 p 的值是 7 ,则输出 S 的值是

10.已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那么这 个圆锥的母线长为

cm .
--1-(理科共 4 页)

11.某中学在高一年级开设了 4 门选修课,每名学生必须参加这 4 门选修课中的一门,对于该年 级的甲、乙、丙 3 名学生,这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率是 简分数表示). 12.各项为正数的无穷等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 lim 围是 . (结果用最

Sn ? 1 , 则其公比 q 的取值范 n ?? S n ?1

13.已知两个不相等的平面向量 ? , ? ( ? ? 0 )满足| ? |=2,且 ? 与 ? - ? 的夹角为 120°,则 | ? |的最大值是 .

5 ? 1 ? 10 ? 5 ? 9 15 14.给出 30 行 30 列的数表 A : ? ? 13 20 ?? ? ? ?117 150 ?

9 15 21 27 ?

13 20 27 34 ?

? ? ? ? ?

183 216 ?

117 ? ? 150 ? 183 ? ? ,其特点是每行每列都构 216 ? ? ? ? 1074? ?

成等差数列,记数表主对角线上的数 1, , , , , 10 21 34 ? 1074按顺序构成数列 ?bn ? ,存在正整数

s、t (1 ? s ? t ) 使 b1 , bs , bt 成等差数列,试写出一组 ( s, t ) 的值

.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案 纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 ? ? ( (A)

?
2

, ? ) , sin ? ?

1 . 7

3 ? ,则 tan(? ? ) 的值等于?????????( 5 4 1 (B) ? . (C) 7 . (D) ? 7 . 7



16.已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? a sin ? ,则“ a ? 2 ”是“圆 C 与极轴所在直线相切” 的 ??????????????????????????????( )

(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分又不必要条件. 17. 若直线 ax ? by ? 2 经过点 M (cos? , sin ? ) ,则 ??????????(
2 2 (A) a ? b ? 4 . 2 2 (B) a ? b ? 4 . (C)



1 1 1 1 ? 2 ? 4 . (D) 2 ? 2 ? 4 . 2 a b a b

--2-(理科共 4 页)

18.已知集合 M ? ( x, y) y ? f ( x) ,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y 2 ) ? M ,使 得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 成立,则称集合 M 是“ ? 集合”. 给出下列 4 个集合: ① M ? ?( x, y ) y ?

?

?

? ?

1? ? x?

② M ? ( x, y) y ? e ? 2
x

?

?

③ M ? ( x, y) y ? cos x

?

?

④ M ? ( x, y) y ? ln x

?

?
) (D)①③④.

其中所有“ ? 集合”的序号是????????????????????( (A)②③ . (B)③④ . (C)①②④.

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 在棱长为 2 的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, E, F 分别为 A1 B1 , CD 的中点. (1)求直线 EC 与平面 B1 BCC1 所成角的大小; (2)求二面角 E ? AF ? B 的大小.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 如图所示,扇形 AOB ,圆心角 AOB 的大小等于 过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P . (1)若 C 是半径 OA 的中点,求线段 PC 的大小; (2)设 ?COP ? ? ,求△ POC 面积的最大值及此时 ? 的值.
--3-(理科共 4 页)

? ,半径为 2 ,在半径 OA 上有一动点 C , 3

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a . (1)若 F ( x) ? f ( x ) ?

2 是偶函数,在定义域上 F ( x) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围; bx ? 1

(2)当 a ? 1 时,令 ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ,问是否存在实数 ? ,使 ? (x) 在 ?? ?,?1? 上是减 函数,在 ?? 1,0? 上是增函数?如果存在,求出 ? 的值;如果不存在,请说明理由. 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满 分 6 分. 已知点 A(1,0) , P1 、 P 、 P 是平面直角坐标系上的三点,且 AP 、 AP 、 AP 成等差数 2 3 2 3 1 列,公差为 d , d ? 0 . (1)若 P1 坐标为 ?1, ?1? , d ? 2 ,点 P 在直线 3x ? y ? 18 ? 0 上时,求点 P 的坐标; 3 3 (2)已知圆 C 的方程是 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? r 2 (r ? 0) ,过点 A 的直线交圆于 P、P3 两点, 1

P2 是圆 C 上另外一点,求实数 d 的取值范围;
(3)若 P1 、 P 、 P 都在抛物线 y ? 4 x 上,点 P 的横坐标为 3 ,求证:线段 P P3 的垂直平分 2 3 2 1
2

线与 x 轴的交点为一定点,并求该定点的坐标. 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满 分 8 分. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? a ( a ? 3 ), an?1 ? S n ? 3n ,设 bn ? S n ? 3n ,
n? N? .

(1)求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (2)若 a n ?1 ≥ a n , n ? N ? ,求实数 a 的最小值; (3)当 a ? 4 时,给出一个新数列 ?en ? ,其中 en ? ? 为 C n ,若 C n 可以写成 t
p

?3 , n ? 1 ,设这个新数列的前 n 项和 ?bn , n ? 2

( t, p ? N 且 t ? 1, p ? 1 )的形式,则称 C n 为“指数型和”.问 ?C n ?
?

中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.

--4-(理科共 4 页)

四区联考 2012 学年度第二学期高三数学(文理) 参考答案及评分标准 2013.04 说明 1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准 的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当 考生的解答在某一步出现错误, 影响了后续部分, 但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度 时,可视影响程度决定后面部分的给分,但是原则上不应超出后面部分应给分数之半,如果有较 严重的概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

4 1. [?1,3] ; 2. 2 ; 3. 3 ;

m?
4.

1 3;

5. y ? 2 ? 1 ;
x

6. 1 ;

1 C4 1 P43 3 63 ? ? 2 4 (理) 4 3 8 ; 7. (文、理) ? ;8. (文)4(理) 5 ;9. 64 ;10. 17 ;11. (文) 4

4 3 12. ?0,1? ;13. (文) (1, ??) (理) 3 ;14. (文)②③⑤(理) (17,25) . ②
二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案 纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. D ; 16. (文)B (理)A ; 17. B ;18. (文)C(理)A 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . (文)解: (1)如图正四棱锥底面的边长是 1.5 米,高是 0.85 米
S

V ?

1 1 sh ? ? 1.5 ? 1.5 ? 0.85 ? 0.6375 m 3 3 3
3
1.5

0.85

O E

m 所以这个四棱锥冷水塔的容积是 0.6375 .
(2)如图,取底面边长的中点 E ,连接 SE ,

SE ? SO2 ? EO2 ? 0.852 ? 0.752

--5-(理科共 4 页)

1 S 侧 ? 4 ? ? 1.5 ? SE 2

1 ? 4 ? ? 1.5 ? 0.85 2 ? 0.75 2 ? 3.40 m 2 2

答:制造这个水塔的侧面需要 3.40 平方米钢板. (理)

19. (1) (理)解法一:建立坐标系如图 平面 B1BCC1 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0) 因为 E (2,1,2) C (0,2,0) ,?EC ? (?2,1,?2) , 可知直线 EC 的一个方向向量为?d ? (?2,1,?2) . 设直线 EC 与平面 B1 BCC1 成角为 ? , d 与 n1 所成角为 ? ,则

sin ? ? cos? ?

n1 ? d n1 d

?

1 9 ?1

?

1 3
1 3

故EC 与平面 B1 BCC1成角大小为 arcsin

19(1)解法二: EB1 ? 平面 B1BCC1 ,即 B1C 为 EC 在平面 B1BCC1 内的射影,故 ?ECB1 为 直线 EC 与平面 B1 BCC1 所成角,



Rt?EB1C





EB1 ? 1, B1C ? 2 2
2 4

故 tan?ECB1 ?
,

EB1 1 2 ? ? B1C 2 2 4

故EC与平面B1BCC1成角大小为arctan

--6-(理科共 4 页)

19(2) (理科) 解法一:建立坐标系如图.平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) 设平面 AEF 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,因为 AF ? (?2,1,0) , AE ? (0,1,2)

?? 2 x ? y ? 0 ? y ? 2 z ? 0 ,令 x ? 1 ,则 y ? 2, z ? ?1 ? n2 ? (1,2,?1) 所以 ?
cos? ? n1 ? n2 n1 n2 ? ?1 1? 4 ?1 ? 6 6
6 6 .

由图知二面角 E ? AF ? B 为锐二面角,故其大小为

arccos

19(2)解法二:过 E 作平面 ABC 的垂线,垂足为 E ? , ?EGE ? 即为所求

E ? ? AB ,过 E ? 作 AF 的垂线设垂足为 G , ?ADF ∽ ?AGE

G ?E AD GE ? 2 2 ? ? ? GE ? ? AE ? AF 1 5即 5
在 Rt?EE Q 中

?

tan ?EG E ? ?

EE ? ? 5 GE ?

所以二面角 E ? AF ? B 的大小为 arctan 5 . 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .

解:(1)在△ POC 中,

?OCP ?

2? 3 , OP ? 2, OC ? 1

OP 2 ? OC 2 ? PC 2 ? 2OC ? PC cos


2? 3

得 PC ? PC ? 3 ? 0 ,解得
2

PC ?

? 1 ? 13 2 .

(2)∵ CP ∥ OB ,∴

?CPO ? ?POB ?

?
3

??


--7-(理科共 4 页)

2 CP ? 2? sin ? OP CP sin ? 3 在△ POC 中,由正弦定理得 sin ?PCO sin ? ,即 OC

CP ?


4 3

sin ?
,又

sin(

?
3

?

??)

CP 4 ? 2? ?OC ? sin( ? ? ) sin 3 3 3 .

(文)记△ POC 的周长为 C (? ) ,则

C (? ) ? CP ? OC ? 2 ?

4 3

sin ? ?

4

sin( ? ? ) ? 2 3 3

?

=

? 4 ? 3 1 4 ?? ? ? ? 2 cos? ? 2 sin ? ? ? 2 ? 3 sin ? ? ? 3 ? ? 2 ? 3? ? ? ?

??


? 4 3 ?2 6 时, C (? ) 取得最大值为 3 .
S (? ) ? 1 2? CP ? OC sin 2 3 ,

(理)解法一:记△ POC 的面积为 S (? ) ,则

?

4 ? 1 4 4 ? 3 ? sin ? ? sin( ? ? ) ? sin ? ? sin( ? ? ) ? 3 2 3 3 2 3 3

?

4 3

sin ? (

2 3 1 sin 2 ? cos? ? sin ? ) ? 2 sin ? cos? ? 2 2 3

? sin 2? ?

3 3 2 3 ? 3 cos 2? ? ? (sin 2? ? ) ? 3 3 3 6 3

??


? 3 6 时, S (? ) 取得最大值为 3 .
cos 2? OC 2 ? PC 2 ? 4 1 ? ?? 3 2OC ? PC 2

解法二:

2 2 2 2 即 OC ? PC ? OC ? PC ? 4 ,又 OC ? PC ? OC ? PC ? 3OC ? PC 即 3OC ? PC ? 4

--8-(理科共 4 页)

当且仅当 OC ? PC 时等号成立,

1 2? 1 4 3 3 S ? CP ? OC sin ? ? ? ? 2 3 2 3 2 3 所以
? OC ? PC ∴

??

? 3 6 时, S (? ) 取得最大值为 3 .

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (文)解:(1)依题意, a ? 2 3 , C(2 3,0) ,

? x2 y 2 ?1 ? ? ?12 4 ?y ? x 由? ,得 y ? ? 3 ,

? OC 设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) ,
S ?ABC ?

?2 3



1 1 OC ? y1 ? y 2 ? ? 2 3 ? 2 3 ? 6 2 2 ;

? y ? kx ? 2 ? 2 2 ? x ? y ?1 2 2 2 ? (2)如图,由 ?12 4 得 (3k ? 1) x ? 12kx ? 0 , ? ? (12k ) ? 0

P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,线段 PQ 的中点 H ( x0,y0 ) , 依题意, k ? 0 ,设
x0 ? x1 ? x2 ?6 k 2 ? 2 y0 ? kx0 ? 2 ? 2 2 3k ? 1 , 3k ? 1 , D (0, ? 2) ,





k DH ? k PQ

?2 3k ? 1 ? k ? ?1 3 6k k ?? ? 2 ? ?1 3 ,得 3k ? 1 ,∴
2

2

F ( x) ? x 2 ? a ?
(理)解:(1) 即 F ( x) ? x ? a ? 2 , x ? R
2

2 bx ? 1 是偶函数,?b ? 0

--9-(理科共 4 页)

又 F ( x) ? ax 恒成立即 x ? a ? 2 ? ax ? a( x ? 1) ? x ? 2
2 2

当 x ? 1时 ? a ? R

当 x ? 1 时,

a?

x2 ? 2 3 ? ( x ? 1) ? ?2 x ?1 x ?1 ,a ? 2 3 ? 2 x2 ? 2 3 ? ( x ? 1) ? ?2 x ?1 x ?1 ,

当 x ? 1 时,

a?

a ? ?2 3 ? 2

综上: ? 2 3 ? 2 ? a ? 2 3 ? 2 (2) ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ? x ? (2 ? ? ) x ? (2 ? ? )
4 2

? ? (x) 是偶函数,要使 ? (x) 在 ?? ?,?1? 上是减函数在 ?? 1,0? 上是增函数,即 ? (x) 只要满足在
区间 ?1,??? 上是增函数在 ?0,1? 上是减函数.
2 令 t ? x ,当 x ? ?0,1? 时 t ? ?0,1?; x ? ?1,??? 时 t ? ?1,??? ,由于 x ? ?0,??? 时,

2 t ? x 2 是增函数记 ? ( x) ? H (t ) ? t ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) ,故 ? (x) 与 H (t ) 在区间 ?0,??? 上有

相同的增减性, 当二次函数 H (t ) ? t ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) 在区间 ?1,??? 上是增函数在 ?0,1? 上是
2

减函数,其对称轴方程为 t ? 1

??

2?? ?1? ? ? 4 2 .

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满 分 6 分.
2 (文)解:(1)? y ? f ( f ( x)) ? x ? 2ax ? a ? a 过原点, a ? a ? 0

4

2

2

2 2 ? a ? 0或a ? ?1 得 f ( x) ? x 或 f ( x) ? x ? 1

(2)(3)同理 21 (理)解(1)

AP ? 1 1

,所以

AP ? 5 3

,设

P ? x, y ? 3



?? x ? 1?2 ? y 2 ? 25 ? ? ?3x ? y ? 18 ? 0 ?

2 ,消去 y ,得 x ? 11x ? 30 ? 0 ,?(2 分)

- - 10 - (理科共 4 页)

解得

x1 ? 5 , x2 ? 6 ,所以 P 的坐标为 ? 5, ?3? 或 ? 6, 0 ? 3
t ? (3 ? 1) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 13
?(6 分)

(2)由题意可知点 A 到圆心的距离为

2d ? AP3 ? AP1 ? P1 P3 A ?1,0? (ⅰ)当 0 ? r ? 13 时,点 在圆上或圆外, ,

0 ? P P3 ? 2r 1 又已知 d ? 0 , ,所以

?r ? d ?0 或 0? d ? r

A ?1,0? (ⅱ)当 r ? 13 时,点 在圆内,所以

2d max ?

13 ? r ? r ? 13 ? 2 13



0 ? 2d ? 2 13 又已知 d ? 0 , ,即 ? 13 ? d ? 0 或 0 ? d ? 13
结 论 : 当 0 ? r ? 13 时 , ? r ? d ? 0 或 0 ? d ? r ; 当 r ? 13 时 , ? 13 ? d ? 0 或

0 ? d ? 13

A ?1,0? (3)因为抛物线方程为 y ? 4 x ,所以 是它的焦点坐标,
2

点 设

P2 的横坐标为 3 ,即 AP2 ? 8

P ? x1, y1 ? 1



P ? x3 , y3 ? 3

,则

AP ? x1 ? 1 1



AP ? x3 ? 1 3



AP ? AP ? 2 AP 1 3 2



所以

x1 ? x3 ? 2 x2 ? 6
k? y3 ? y1 4 y ?y ? k ?? 3 1 x3 ? x1 y3 ? y1 ,则线段 P P3 的垂直平分线 l 的斜率 l 4 1
y? y3 ? y1 y ?y ? ? 3 1 ? x ? 3? 2 4

直线

P P3 的斜率 1

PP 则线段 1 3 的垂直平分线 l 的方程为
直线 l 与 x 轴的交点为定点

? 5,0?

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (文)解: (1)令 n ? 1 得

1 ? a 2 ? a1 ?

1? 2 2 a 2 ? a1 ? 3 ,即 3;

又 a1 ? 2

? a2 ?

8 3
- - 11 - (理科共 4 页)

n(n ? 1) ? nan ?1 ? S n ? , ? ? 3 ? n(n ? 1) 2 ? (n ? 1)a n ? S n ?1 ? a 2 ? a1 ? ? 3 3 和? (2)由
? na n ?1 ? (n ? 1)a n ? a n ?

2 2n ? a n ?1 ? a n ? 3, 3

2 2 a ? ( n ? 2) {an } 是以 2 为首项, 3 为公差的等差数列,所以 n 3 所以数列 .

解法一:数列

{an } 是正项递增等差数列,故数列 {a kn } 的公比 q ? 1 ,若 k 2 ? 2 ,则由

a2 ?

8 3得

q?

a2 4 4 32 32 2 10 ? a ? 2 ? ( )2 ? ? ( n ? 2) n? ?N* a1 3 ,此时 k3 3 9 ,由 9 3 3 解得 ,所以 k 2 ? 2 ,
n ?1

a ? 2? 2 同 理 k 2 ? 3 ; 若 k 2 ? 4 , 则 由 a 4 ? 4 得 q ? 2 , 此 时 kn
2 ? 2 n ?1 ?

组成等比数列,所以

2 (m ? 2) n ?1 n ?1 a 3 , 3 ? 2 ? m ? 2 ,对任何正整数 n ,只要取 m ? 3 ? 2 ? 2 ,即 kn 是数



{an } 的第 3 ? 2 n?1 ? 2 项.最小的公比 q ? 2 .所以 kn ? 3 ? 2n ?1 ? 2 .???(10 分) {an } 是 正 项 递 增 等 差 数 列 , 故 数 列 {a kn } 的 公 比 q ? 1 , 设 存 在

解法二: 数列

ak1 , ak2 ,?, akn ,? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) {a } a 2 ? ak1 ? ak3 组成的数列 kn 是等比数列,则 k2 ,
2 ?2 ? 2 ? 3 (k 2 ? 2)? ? 2 ? 3 (k3 ? 2) ? ?k 2 ? 2? ? 3?k3 ? 2? ? 即?
因为
2

k 2、k3 ? N * 且k 2 ? 1 所以 k 2 ? 2 必有因数 3 ,即可设 k 2 ? 2 ? 3t , t ? 2, t ? N ,当数列

{a kn }

k ? 3? 2 q 的公比 最小时,即 k 2 ? 4 , ? q ? 2 最小的公比 q ? 2 .所以 n

n ?1

? 2.

(3)由(2)可得从

{an } 中抽出部分项 ak1 , ak2 ,?, akn ,? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的数列

{a kn }

是 等 比 数 列 , 其 中 k1 ? 1 , 那 么

{a kn }

q?
的公比是

k2 ? 2 3 ,其中由解法二可得

- - 12 - (理科共 4 页)

k 2 ? 3t ? 2, t ? 2, t ? N .
a kn ? 3 ? ( k 2 ? 2 n ?1 2 ) ? (k n ? 2) 3 3 ? kn ? 3 ? ( k 2 ? 2 n ?1 ) ?2 3
? kn ? 3 ? ( 3t ? 2 ? 2 n ?1 ) ?2 3

? k n ? 3 ? t n?1 ? 2 , t ? 2, t ? N
所以

k1 ? k2 ? ? ? kn ? 3(1 ? t ? t 2 ? ? ? t n?1 ) ? 2n ? 3 ? t n ? 2n ? 3
an?1 ? S n ? 3n ? S n?1 ? 2S n ? 3n , bn ? S n ? 3n , n ? N ? ,当 a ? 3 时,

(理)解: (1)

bn?1 Sn?1 ? 3n?1 2Sn ? 3n ? 3n?1 ? ? ?b ? bn Sn ? 3n Sn ? 3n =2,所以 n 为等比数列.

b1 ? S1 ? 3 ? a ? 3 , bn ? (a ? 3) ? 2 n?1 .
(2) 由(1)可得

S n ? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1

an ? S n ? S n?1 , n ? 2, n ? N ?

a n ?1 ? an ? ? n ?1 n?2 n?2; ?2 ? 3 ? (a ? 3) ? 2

an?1

? a 2 ? a1 ? ?a n , ?a n ?1 ? a n n ? 2

, a ? ?9

所以 a ? ?9 ,且 a ? 3 .所以 a 的最小值为

b ?2 (3)由(1)当 a ? 4 时, n

n ?1

C ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 ? 2 n ? 1 , C1 ? 3 , 当 n ? 2 时, n
n

所以对正整数 n 都有 由t
p

Cn ? 2n ? 1 .

? ? 2 n ? 1 , t p ? 1 ? 2 n ,( t, p ? N 且 t ? 1, p ? 1 ), t 只能是不小于 3 的奇数.

p

p

p n 2 2 p ①当 为偶数时, t ? 1 ? (t ? 1)(t ? 1) ? 2 ,

- - 13 - (理科共 4 页)

p

p

2 2 因为 t ? 1 和 t ? 1 都是大于 1 的正整数,
p p g h 2 2 所以存在正整数 g, h ,使得 t ? 1 ? 2 , t ? 1 ? 2 ,

h g ?h 2 g ? 2 h ? 2 , 2 (2 ? 1) ? 2 ,所以 2 h ? 2 且 2 g ?h ? 1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 ,相应的 n ? 3 ,即



C3 ? 32 , C3 为“指数型和”;
p 为奇数时, t p ? 1 ? (t ? 1)(1 ? t ? t 2 ? ? ? t p?1 ) ,由于 1 ? t ? t 2 ? ? ? t p ?1 是 p 个奇数
2 p ?1

②当

之和, 仍为奇数, t ? 1 为正偶数, 又 所以 (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t 数型和”.

) ? 2 n 不成立, 此时没有“指

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