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2011届高三数学一轮复习精品课件:集合与常用逻辑用语


第一章

集合与常用逻辑用语

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考纲解读
1.集合 (1)集合的含义与表示 ①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. ②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法 或描述法)描述不同的具体问题. (2)集合间的基本关系 ①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定 集合的子集. ②在具体情境中,了解全集与空集的含义.

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考纲解读
(3)集合的基本运算 ①理解两个集合的并集与交集的含义,会 求两个简单集合的并集与交集. ②理解在给定集合中一个子集的补集的含 义,会求给定子集的补集. ③能使用Venn图表达集合的关系及运算.

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考纲解读
2.常用逻辑用语 (1)命题及其关系 ①了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题. ②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义, 会分析四种命题的相互关系. (2)简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. (3)全称量词与存在量词 ①理解全称量词与存在量词的意义. ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

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命题探究
1.近几年来,每年都有考查集合的题目, 总体来说这部分试题有如下特点:一是基本 题,难度不大;二是大都以选择题、填空题 形式出现,有时是解答题的一个步骤.对于 集合的考查:一是考查对基本概念的认识和 理解,二是考查对集合知识的应用.无论哪 一种形式,都以其他基础知识为载体,如方 程(组)、不等式(组)的解集等.

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命题探究
2.对于逻辑的考查主要考查四种形 式的命题和充要条件,特别是充要条件, 已经在许多省市的试卷中单独出现,命题 形式:一是原命题与逆否命题的等价性(含 最简单的反证法);二是充要条件的判 定.在考查基础知识的同时,还考查命题 转换、推理能力和分析问题的能力及一些 数学思想方法的考查.

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命题探究
3.在集合方面,高考重点考查集合 间的基本关系和集合的基本运算;在逻 辑方面,高考重点考查充要条件的判定、 全称量词和存在量词.

第1课时

集合的概念及运算

基础知识梳理
1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特 征:确定性 、无序性 、互异性 . (2)集合中元素与集合的关系 文字语言 属于 不属于 符号语言 ∈

?

基础知识梳理
(3)常见集合的符号表示
自然 数集 数集 符号 正整 数集 N+或N* 有理 整数集 实数集 复数集 数集 Z Q R C

N

(4)集合的表法:列举法 、描述法 、 Venn图 .

基础知识梳理
2.集合间的基本关系 (1)元素与集合的关系有属于和不 属于.分别用符号 ∈ 和 ? 表示. (2)集合与集合之间的关系 ①包含关系 如果对任意x∈A?x∈B,则集合A 是集合B的 子集 ,记为A?B或B?A. 显然,A是自身的子集,?是任何 集合的 子集 .

基础知识梳理
②相等关系 对于集合A、B,如果 A?B, 同时 B?A ,那么称集合A等于集合 B,记作A=B. ③真子集关系 对于集合A、B,如果A?B, 并且 A≠B ,我们就说集合A是集合 B的真子集.记作A ?B(或B?A). 显然,空集是任何 非空集合 的 真子集.

基础知识梳理
?、{0}、{?}三者之间的关系?

基础知识梳理
3.集合的基本运算
集合的并集 符号 表示 图形 表示 {x|x∈A或 x∈B} {x|x∈A 且x∈B} ?UA={x|x∈U,且 x?A} A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为U,则集 合A的补集为 ?UA

意义

三基能力强化
1.(教材习题改编)下列各组两个集合 P和Q,表示同一集合的是( ) A.P={3.14},Q={π} B.P={3,4},Q={(3,4)} C.P={1,2,π},Q={π,|-1|,2} D.P={x|-1<x≤1},Q={x||x|≤1} 答案:C

三基能力强化
2.已知U={2,3,4,5,6,7},M= {3,4,5,7},N={2,4,5,6},则( ) A.M∩N={4,6} B.M∪N=U C.(?UN)∪M=U D.(?UM)∩N=N 答案:B

三基能力强化
3.(2009年高考山东卷改编)集 合A={0,2,a},B={1,a2},若A∩ B={2},则a的值为( )
A. 2 C.± 2 B.- 2 D.2

答案:C

三基能力强化
4.如果数集{0,1,x+2}中有3个 元素,那么x不能取的值是________.
?x+2≠0, ?x≠-2, ? 解析: 即? ?x+2≠1, ?x≠-1.

即 x≠-2,且 x≠-1.

答案:-2,-1

三基能力强化
5.设集合A={(x,y)|x-y=0}, B={(x,y)|2x-3y+4=0},则A∩B =________. 答案:{(4,4)}

课堂互动讲练
考点一 集合的基本概念

掌握集合的概念的关键是把握 集合中元素的三大特性.要特别注 意集合中元素的互异性,在解题过 程中最易被忽视,因此要对计算结 果加以检验,以确保结果的正确 性.

课堂互动讲练
例1 已知A={a+2,(a+1)2, a2+3a+3},若1∈A,求实数 a的值.

【思路点拨】 ∵1∈A,则a +2,(a+1)2,a2+3a+3都可能为 1,则需分类讨论解决,且必须验 证元素的互异性.

课堂互动讲练
【解】 (1)若a+2=1,则a=-1, 此时,A={1,0,1}与集合中元素的互异性矛 盾(舍去). (2)若(a+1)2=1,则a=0,或a=-2. 当a=0时,A={2,1,3},满足题意; 当a=-2时,A={0,1,1}与集合中元素 的互异性矛盾(舍去).

课堂互动讲练
(3)若a2+3a+3=1,则a=-1 (舍去),或a=-2(舍去). 综上所述,a=0. 【误区警示】 求解过程中, 每类得出的a都必须检验是否满足 集合元素的互异性,这一点易被忽 视.

课堂互动讲练
考点二 集合间的基本关系

判断集合与集合的关系,基本 方法是归纳为判断元素与集合的关 系.对于用描述法表示的集合,要 紧紧抓住代表元素和它的属性,可 将元素列举出来或通过元素特性,

课堂互动讲练
求同存异,定性分析.解决这类问 题应做到意义化(分清集合的种类, 包括数集、点集、图形、定义域、 值域、方程或不等式的解等)、具体 化(具体求出相关的集合并化简)、直 观化(借助数轴、Venn图、函数图象 等,即数形结合的思想).

课堂互动讲练
例2 已知集合A={x|0<ax+1≤5}, 1 集合B={x|- 2 <x≤2}. (1)当a>0且A?B时,求实数a的取值 范围; (2)当a<0且B?A时,求实数a的取值 范围; (3)A、B能否相等?若能,求出a的 值;若不能,试说明理由.

课堂互动讲练

【思路点拨】 (1)根据集合 的基本关系,构造关于a的不等式; (2)要注意讨论a的取值.

课堂互动讲练
【解】 -1<ax≤4. (1)由0<ax+1≤5,得

1 4 因 a>0 时,A={x|-a<x≤a};
? 1 ?- ≥-1 ? a 2 若 A?B,则? ?4 ?a≤2 ?



解得a≥2. ∴a的取值范围为a≥2.

课堂互动讲练
(2)因 a<0,且 B?A, ?4 ? ≤-1 ?a 2 1 则? ,解得- <a<0. 2 ? 1 ?-a>2 ? 1 ∴a 的取值范围为{a|- <a<0}. 2

课堂互动讲练
(3)若 A=B,由(1)知 a≠0. ? 1 ?- =-1 ? a 2 当 a>0 时,由? , ?4 ?a=2 ? 解得 a=2,即 a=2 时满足 A=B. ?4 ? =-1 ?a 2 当 a<0 时,? 无解. ? 1 ?-a=2 ? 综上,若 A=B,a 的值为 2.

课堂互动讲练
【名师点评】 (1)中易忽略a =0的情况,误认为a=0时,A=?; (3)中对a<0时认为无解,不再演算, 从而步骤不完整.

课堂互动讲练
互动探究 若将例2中的集合A改为A={x|a+ 1≤x≤2a-1},其他条件不变,第(1), (2)题如何求解? 解:(1)若A?B,则A=?或A≠?; 当A=?时,则a+1>2a-1, 解得a<2,即当0<a<2时,满足 A?B.

课堂互动讲练
当A≠?时,若A?B,
?2a-1≥a+1 ? ? 1 则 ?a+1>- ,此不等式组无解. 2 ? ?2a-1≤2 ?

综上,若A?B,则a的取值范围为 {a|0<a<2}.

课堂互动讲练
?2a-1≥a+1 ? ? 1 (2)若 B?A, 则由?a+1≤-2 ? ?2a-1≥2 ? ?a≥2 ? ? 3 ?a≤- ? 2 ? 3 ? ?a≥2 ?

?

,此不等式组无解.

所以不存在 a 值使得 B?A.

课堂互动讲练
考点三 集合的基本运算

在进行集合的运算时,先看清 集合的元素和所满足的条件,再把 所给集合化为最简形式,并合理转 化求解,必要时充分利用数轴、Ve nn图、图象等工具,并会运用分类 讨论、数形结合等思想方法,使运 算更加直观,简洁.

课堂互动讲练

注意:(1)有关集合的运算,要 特别注意元素的互异性,其办法是 将所得到的结果进行检验.(2)要注 意?的性质.

课堂互动讲练

例3

已知A={a2,a+1,-3}, B={a-3,2a-1,a2+1},若 A∩B={-3},求A∪B.

课堂互动讲练
【思路点拨】 ∵A∩B={-3}, 则-3∈B,∴a-3=-3或2a-1= -3,显然a2+1≠-3,结合互异性, 列方程组求解. 【解】 ∵A∩B={-3}, ∴-3∈B. ∵a2+1≠-3,且a2≠a2+1,

课堂互动讲练
?a-3=-3, ? 2 ∴ ?a ≠2a-1, ? a+1≠a2+1; ? ?2a-1=-3, ? 2 或?a ≠a-3, ? 2 ?a+1≠a +1; ?a=0, ? ? ?a≠1, ? ?a≠0且a≠1;

课堂互动讲练
?a=-1, ? ? ?a∈R, ?a=-1. ? ?a≠0且a≠1;

∴A={1,0,-3} B={-4,-3,2}, ∴A∪B={1,0,-3,-4,2}.

课堂互动讲练
【题后反思】 本题考查集合 元素的基本特征——确定性、互异 性、无序性,切入点是分类讨论思 想,由于集合中元素用字母表示, 检验结果必不可少.

课堂互动讲练
例4

(解题示范)(本题满分12分) 若集合A={x|x2-2x-8<0}, B={x|x-m<0}. (1)若m=3,全集U=A∪B, 试求A∩(?UB); (2)若A∩B=?,求实数m的取 值范围; (3)若A∩B=A,求实数m的取 值范围.

课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)求A、B→ 确定A∪B,?UB→求得A∩(?UB); (2)明确A、B→建立有关m的 关系式→得m的范围; (3)A∩B=A→A?B→得m的 范围.

课堂互动讲练
【解】 (1)由x2-2x-8<0, 得-2<x<4, ∴A={x|-2<x<4}. 1分 当m=3时,由x-m<0,得 x<3, ∴B={x|x<3}, 2分 ∴U=A∪B={x|x<4},?UB= {x|3≤x<4}. 3分 ∴A∩(?UB)={x|3≤x<4}. 4分

课堂互动讲练
(2)∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m}, 又A∩B=?, ∴m≤-2. 8分 (3)∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m}, 由A∩B=A,得A?B, ∴m≥4. 12分 【规律小结】 注意等价转化思想在解 题中的运用,如 A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A等.

课堂互动讲练
高考检阅 (本题满分12分)设集合A={x| x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x +(a2-5)=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的取 值范围. 解:由x2-3x+2=0得 x=1或x=2, 故集合A={1,2}. 1分

课堂互动讲练
(1)∵A∩B={2},∴2∈B,代 入B中的方程, 得a2+4a+3=0?a=-1或a= -3; 3分 当a=-1时,B={x|x2-4=0} ={-2,2},满足条件; 当a=-3时,B={x|x2-4x+4 =0}={2},满足条件; 综上,a的值为-1或-3; 6分

课堂互动讲练
(2)对于集合B, Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3). ∵A∪B=A,∴B?A, 7分 ①当Δ<0,即a<-3时,B=?满足条 件;8分 ②当Δ=0,即a=-3时,B={2}, 满足条件; 9分 ③当Δ>0,即a>-3时,B=A={1,2} 才能满足条件,

课堂互动讲练
则由根与系数的关系得
? 5 ?1+2=-2(a+1) ?a=- , 2 ? ?? 2 矛盾; 11分 ? 2 ?1×2=a -5 ?a =7,

综上,a的取值范围是a≤-3. 12分

规律方法总结
1.子集、全集、补集 (1)子集与真子集的区别与联系: 集合A的真子集一定是其子集,而 集合A的子集不一定是真子集;若 集合A中有n个元素,则其子集个数 为2n,真子集个数为2n-1. (2)集合A与其补集?UA的关系 为:A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U.

规律方法总结
(3)子集、全集、补集等概念实 质上是生活中的“部分 ”、“全体”、 “剩余”等概念在数学中的抽象与反 映.当A?S时,?SA的含义是:从 集合S中去掉集合A的元素后,由所 有剩余的元素组成的新集合.集合 A的元素补上?SA的元素后即合成集 合S.

规律方法总结
2.交集、并集 (1)对于交集概念的把握要注意 以下三方面: ①交集仍是一个集合. ②交集中的元素都是两个集合 的“公共元素”,即若x∈(A∩B),一 定有x∈A且x∈B.

规律方法总结
③交集中包括了两个集合的全 体公共元素,即若x∈A且x∈B,一 定有x∈(A∩B). (2)对于并集的理解应注意: 若x∈(A∪B),则有三种可能: ①x∈A但x?B;②x∈B但x?A; ③x∈A且x∈B.

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