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河南省洛阳市2017届高三第三次统一考试(5月)数学(文)试题Word版含答案

洛阳市 2016-2017 学年高中三年级第三次统一考试 数学试卷(文)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选 .
x| x
C

项中,只有一项是符合题目要求的
1 已知集合 A A. {1,2,3} B
ix

x |1

x


10, x

N ,B

a,a
. {2,3}

A ,则 A
D

B





x |1

x

3

. x |1

x

10

2. 欧拉公式 e

cos x

i sin x ( i 为虚数单位, x

R )是由瑞士著名数学家欧拉发明的,
. 它在复变函数论里
3 i 2

它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系 有极其重要的地位,被誉为“数学中的天桥” 平面中所对应的点位于( A.第一象限 3. 已知命题 p : 合命题正确的是( A. p B ) .第二象限 C .第三象限 D . 根据欧拉公式,若

z

e ,则复数 z 在复

.第四象限
3

x

R ,都有 2 x
) .

3x ;命题 q : x0

R ,使得 x0

1 x0 ,则下列复

2

q

B

p
2

q

C



p

q

D



p

q

4. 已知双曲线 C :

x a

2 2

y b

2

1(a

0, b

0) 的离心率为 2,则 C 的两条渐近线的方程为





A.

y

3x

B

. y

3 3 1 2 , a 2a8

x

C.

y

2x

D

. y

1 2

x

5. 已知等比数列 A.

an 满足 a1


2 a5
D

3 ,则 a9
. 18





1 2

B

9 8

C.648

6. 如图,在正方形 的值为(

ABCD 中, M , N 分别是 BC , CD 的中点,若 AC


AM

BN ,则

A.

B



C.1

D

. -1

7. 若实数 x , y 满足条件

x y

2x x 1
C.5

1

,则 z

x

y 的最大值为(



A. -1

B



1 2

D

.7 则打印的点在圆

8. 利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点, 为( )

x

2

y

2

25 内的个数

A. 2

B

.3

C.4

D

.5

9. 已知函数 f

x

2 2
. -3
x

x

1

ax a
D

R ,若 f ln3
.1

3 ,则 f ln

1 3





A. -2

B

C.0

10. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(



A.

5 6

B



5 3

C.

1 3 0

D



2 3

1

11. 将函数

y

f x 的图象向左平移

个单位后得到

g x

sin 2 x 的图象,

2


x1 , x2 满足 f x1
5 12
B .

g x2
C.

2 时, x1

x2
D

min

3


,则

的值为(



A.

3

4

6

12. 若对任意实数 实数 A.

m

0,1 ,总存在唯一实数


x

2 x 1,1 ,使得 m x e

a

0 成立,则

a 的取值范围是( 1,e
B . (1

1 e

, e]

C.

(0, e]

D

. [1

1 e

, e]

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. “ a

1 5

”是“直线

2ax

a 1 y

2 0 与直线 a 1 x 3ay 3 0 垂直”的
“充要”, “既不充分又不必要”中选取一个

条件(从“充分不必要”,“必要不充分”, 填入) . 14. 已知函数

f x


a ln2 x bx 在 x 1 处取得最大值 ln 2 1 ,则 a



b

15. 已知 P 是抛物线 上的射影,则

y

2

4 x 上的动点, Q 在圆 C : x 3


2

y

3

2

1 上, R 是 P 在 y 轴

PQ

PR 的最小值是

16. 如图,四边形

ABCD 为直角梯形,

ABC

90 , CB / / DA, AB


20 2, DA 10,CB

20 , 若 AB 边上有一点 P ,使

C P D

最大,则 AP

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 . )

17. 已知数列

an 满足 a1

3, an

3 an
1

1 1

.

an

( 1 )证明;数列

1 an 1

是等差数列,并求

an 的通项公式;

( 2 )令

bn

a1a2

an ,求数列

1 bn

的前

n 项和 Sn .

18. 在四棱柱

ABCD

A A1 A 1 BC 1 1 D1 中,四边形 ABCD 是平行四边形, 2, BC 1, AA 1 6 , E 为 A1B1 中点 .

平面 ABCD ,

BAD

60 , AB

( 1 )求证:平面 ( 2 )求多面体

A1BD

平面

A1 AD ;

A1E

ABCD 的体积 .
从 1000 位员工中随机抽取 100 位员工进行调查,

19. 某销售公司为了解员工的月工资水平, 得到如下的频率分布直方图:

( 1 )试由此图估计该公司员工的月平均工资; ( 2 )该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的,一般认为,工资低于 元的员工属于学徒阶段, 没有营销经验, 若进行营销将会失败 销成熟员工,基进行营销将会成功。现将该样本按照“学徒阶段工资” 成两层,进行分层抽样,从中抽出 员工若营销成功, 将为公司赢得 入多少万元的可能性最大? 20. 已知椭圆 C : 3 万元, 否则公司将损失 450 。

; 高于 4500 元的员工是具备营 、 “成熟员工工资”分

5 人,在这 5 人中任选 2 人进行营销活动。活动中,每位 1 万元。 试问在此次比赛中公司收

x a

2 2

y b

2

2

1(a

b

0) 的离心率为

2 2

,右焦点为 F ,上顶点为 A ,且

AOF 的面积为

1 2

( O 是坐标原点) .

( 1 )求椭圆 C 的方程; ( 2 )设 P 是椭圆 C 上的一点,过 点为 M ,证明: 21. 已知函数 ( 1 )若 a ( 2 )若

P 的直线 l 与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限,切

PF e
x

PM 为定值 . a sin x 1 a R .

f x

1 ,求 f x 在 x

0 处的切线方程;

f x

0 对一切 x

0,1 恒成立,求 a 的取值范围 . .

请考生在 22、 23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分
22. 选修 4-4 :坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中, 的极坐标方程为 以坐标原点为极点,
2

x 轴的正半轴与极轴建立极坐标系, 2, 4 且倾斜角为
4

已知曲线 C 的直线 l 与曲线

sin

m cos

m

0 ,过点 P

C 相交于 A, B 两点 .
( 1 )写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 ( 2 )若 AP

l 的普通方程;

BP

BA ,求 m 的值 .

2

23. 选修 4-5 :不等式选讲 设不等式

0

x

2
1 2

1 x
3 4

2 的解集为 M , a, b

M .

( 1 )证明: a

b



( 2 )比较

4ab 1 与 2 b a 的大小,并说明理由 .

试卷答案 一、选择题
1-5: CBBAD 6-10: ACCAC 11 、 12: DB

二、填空题
13. 充分不必要 14.

a

1,b

1

15.3

16.

10 2

三、解答题
17. 解( 1 )∵ a n

3a n
1

1 1



an



an

1

1

3an 1 1 an 1 an 1 2 an 1
1 1 1 2
.

2 an 1 an 1 an 1 2 an 1

.



1 an
1

2

1 an

1

1 . 1 2



1 an
1

1 1 an

an

即数列

1 1

是等差数列,且公差为

1 2

,首项为

1 a1 1

1 2

.



1 an 1 1

1 2

2 2 n

n 1

n 2 n

.

∴ an

,从而 a n

2 n

.

( 2 )由已知及( 1 )得 bn

3 4 5 1 2 3

n n

2

n 1 n 2

2

.



1 bn
2

2 n 1 n 2
1 2 1 3 1 3

2

1

1

n 1 n 2
1 4

.

∴ Sn

2

2

1 n 1 n

1 2

2

1 2 n

1 2 n

n 2

.

18.

( 1 )在

ABD 中,

BAD

60 , AB AD
2

2, BC AB .
2

1,

由余弦定理得 ∴ BD ∵ ∴

BD

3 . ∴ BD 2

AD .
平面 ABCD , BD 平面 ABCD ,

A 1A A 1A

BD . AD
平面

A 1A
BD

A ,∴ BD

平面

A1 AD .
平面

A1BD . ∴平面 A 1 BD

A1 AD .
FG H ,

( 2 )设 AB, CD 的中点分别为 ∵ E , F , G 分别为 ∴多面体 ∵ BD

F , G ,连接 EF , FG , GE , BD

A1 A, AB , CD 的中点, A1 AD 为三棱柱 .

EFG
平面

A1AD ,∴ DH 为三棱柱的高 .
6 2 1 2 3 2 6 2
∴ EF

S A1 AD

1 2

AD , A1 A

, DH

BD



三棱柱

EFG

A 1 AD 体积为 S

A1AD

HD

3 2
底面

3 2 4

.

在四棱锥 E

BCGF 中, EF / / A 1A. 1 2

BCGF , EF

A1 A

6.

SBCGF

1 2

S ABCD

2 1 sin 60

3 2



四棱锥 E

BCGF 的体积为

1 3

SBCGF EF

1 3

3 2

6

2 2



∴多面体

A1E

ABCD 的体积为

3 2 4

2 2

5 2 4

.

19. ( 1 )由此图估计该公司员工的月平均工资:

0.01 10 20 50

0.01 10 30

0.02 10 40 0.03 10

0.02 10 60 5 100

0.01 10 70=4700 元 . 1 20


( 2 )抽取比为

从工资在 [1500,4500) 区间内抽 100 从工资在 [4500,7500] 区间内抽 100

0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1

1 20 1 20

=2 人, 设这两位员工分别为 =3 人,设这三位员工分别为

1,2 ;

A, B , C .
从中任选 2 人,共有以下 10 种不同的等可能结果: ( 1,2 ) ,

, 1A ,1 , ,1 ,B

C



2, A , 2, B , 2, C , A, B , A, C , B , C .
两人营销都成功, 公司收入 6 万元,有以下 3 种不同的等可能结果: 概率为

A, B , A, C , B, C ;

3 10



其中一人营销成功, 公司收入为 2 万元,有以下 6 种不同的等可能结果:

1, A , 1, B , 1, C ,

2, A , 2, B , 2, C ,概率为
两人营销都失败,公司收入 ∵

6 10

3 5

; 2 万元,有 1 种结果:( 1,2 ) ,概率为

-2 万元,即损失

1 10

.

1 10

3 10

3 5

,∴收入 2 万元的可能性最大

.

20. 解: ( 1)设椭圆的半焦距为

c ,由已知得

c 1 , 2 a 2 1 1 bc , 2 2 2 2 2 b c a.

2

a b

2

2, 1.

.

∴椭圆的方程为

x

2

2

y

2

1.
2 2

( 2 )以短轴为直径的圆的方程为

x

y

1, F 1,0 , .



P x0 , y0 ,则

x0

2

2

y0

2

1 0

x0

2 .


2

PF

x0 1 1 2

y0 2 2

2

x0

2

2 x0

x 1 1 0 2

2

1 2 x0 2

2 x0

2

x0 x
2

2

2

2 x0 .

又 l 与圆

y

2

1相切于 M ,
2 2 2 2 2



PM

OP

1

x0

y0

1

x0

y0

x0

2

2

1

x0

2

2 2

2

x0 .

∴ PF

PM

2 2

2

x0

2 2

x0

2.

21. 解: ( 1) a

1 时, f x

e

x

sin x 1 . 0,

f


x

e

x

cos x , f

0

0, f 0
0.

y 0 0 x 0 ,即 y
1 时, f x 在 x

∴a ( 2) 若a

0 处的切线方程为

y

0.

f

x

e

x

a cos x . x 0, x 0,1 , f 0
x

0 ,显然有 f

f x 在 [0,1] 上单调递增 . ∴ f x
若 ∴

0 ,符合题意 .
1 知, 0

0 a 1, f f x

x

e

x

a cos x ,由 0

a cos x f 0

a, e

x

1,

0 , f x 在 [0,1] 上单调递增 . ∴ f x e 与y 1 ,当 0
x

0 ,符合题意 .

若a 存在

1 ,由 y

a cos x 的图象位置关系知

x0 0 f x x

x0

x

x0 时, e

x

a cos x ,

此时, 当

0 , f x 在 0, x0 上单调递减, f 0 0 ,与题意矛盾 .

0

x0 时, f x

综上:

a 的取值范围为 (

,1] .

22. 解: ( 1)曲线 C 的极坐标方程 可化为 即
2

sin 0 ,

2

m cos

m

0 ,

sin

2

m cos 0 ;

m

y

2

mx m

x
直线 l 的参数方程为

2 4
y

2 t, 2 ( t 为参数), 2 2 t.
2. C 的直角坐标方程

y
消去参数

t ,化为普通方程是

x

( 2 )将直线 l 的参数方程代入曲线 得

y

2

mx m

0 中,

t

2

2 m 8 t

4 m 8

0. t1, t2 ,则 t 1 t 2 2 m 8 , t1t 2 4 m 8 .

设 A, B 两点对应的参数分别为 ∵ AP ∴ t1 t 2 ∴ t1 即

BP t1 t2
2

BA ,
2

2

t2


2

= t1 t 2
2

4t1 t2 =5 t1 t 2 ,

2 m 8

=20 8 m ,
8 (不合题意,应舍去) ;

解得: m ∴

2或m

m 的值为 2.
3, x 2, x 1, , 1. 1 1 . , 2 2

23. 解: ( 1)记 f

x

x

2

1 x

2 x 1, 2 3, x

由0

2x 1

2 解得 1 2 1 2 b

1 2 ,b

x 1 2 1 2

1 2


,则 M

∵ a, b

M ,∴ a 1 2

所以 a

b

a

1 2

1 2

3 4

.

( 2 )由( 1)得 a 因为

2

1 4

,b

2

1 4

.

4ab 1
所以 1

2

4b
2

a

2

16a b
2

2

2

8 ab 1

4 b

2

2ab

a

2

4a

2

1 4b

2

1

0,

4ab

4 a b ,故 1 4 ab

2a b.


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