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2014-2014学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习:综合测试4(新人教A版选修2-2)


10/21/2014

高中新课标数学选修(2-2)综合测试题
一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.若 f ?( xn ) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极值 B.若 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极值,则 f ( x) 在 x0 处有导数 C.函数 f ( x) 至多有一个极大值和一个极小值 D.定义在 R 上的可导函数 f ( x) ,若方程 f ?( x) ? 0 无实数解,则 f ( x) 无极值 答案:D

2.复数 z ? a ? bi (a,b ? R ) ,则 z 2 ? R 的充要条件是( A. a 2 ? b 2 ? 0 C. ab ? 0 答案:C B. a ? 0 且 b ? 0 D. a ? 0



3 .设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ?( x) 的图象如图所示,则 ) y ? f ( x) 的图象最有可能的是(

答案:C 4.下列计算错误的是( A. ? sin xdx ? 0

1



π

B. ?

0

xdx ?

2 3
π

C. ? 2π cos xdx ? 2? 2 cos xdx
? 2 0

π

D. ? sin 2 xdx ? 0


π

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答案:D 5.若非零复数 z1 , z2 满足 z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,则 OZ1 与 OZ 2 所成的角为( A. 30° 答案:D B. 45° C. 60° D. 90°



6.已知两条曲线 y ? x 2 ? 1 与 y ? 1 ? x3 在点 x0 处的切线平行,则 x0 的值为( A.0 B. ?
2 3



C.0或 ?

2 3

D.0 或 1

答案:C 7.我们把 1,4,9,16,25, 这些数称做正方形数,这是因为这些数目的点子可以排成 一个正方形(如下图) .试求第 n 个正方形数是( )

A. n(n ? 1)

B. n(n ? 1)

C. n 2

D. (n ? 1) 2

答案:C 8. i 3 ? i 4 ? A. ?i 答案:C ) ? i 2005 的值为( B. i C.1

D.0

9.函数 y ? 2 x 2 ? x 4 ,则 y 有( A.极大值为 1,极小值为 0 B.极大值为 1,无极小值 C.最大值为 1,最小值为 0 D.无极小值,也无最小值 答案:A



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10.下列推理合理的是( ) A. f ( x) 是增函数,则 f ?( x) ? 0 B.因为 a ? b(a,b ? R ) ,则 a ? 2i ? b ? 2i C. △ ABC 为锐角三角形,则 sin A ? sin B ? cos A ? cos B D.直线 l1 ∥ l2 ,则 k1 ? k2 答案:C 11. a ? b ? 2c 的一个充分条件是( ) A. a ? c 或 b ? c B. a ? c 且 b ? c C. a ? c 且 b ? c D. a ? c 或 b ? c 答案:B

12.函数 f ( x) ? ax3 ? (a ? 1) x 2 ? 48(a ? 2) x ? b 的图象关于原点中心对称,则 f ( x) 在 [?4, 4] 上 ( ) A.单调递增 B.单调递减 C. [?4, 0] 单调递增, [0, 4] 单调递减 D. [?4, 0] 单调递减, [0, 4] 单调递增 答案:B 二、填空题 13.设 x,y ? R 且
x y 5 ,则 x ? y ? ? ? 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i



答案: ?6 14.在空间 这样的多面体, 它有奇数个面, 且它的每个面又都有奇数条边. (填“不 存在”或“存在” ) 答案:不存在 15.设 f ( x) ? e x ,则 ? f ( x)dx ?
?2 4



答案: e2 ? e4 16.已知: △ ABC 中, AD ? BC 于 D ,三边分别是 a,b,c ,则有 a ? c · cos B ? b · cos C ;类 △PBC, △PCA 比上述结论,写出下列条件下的结论:四面体 P ? ABC 中, △ ABC , △PAB, 的 面 积 分 别 是 S,S1,S2,S3 , 二 面 角 P ? AB ? C,P ? BC ? A,P ? AC ? B 的 度 数 分 别 是

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?,?,? ,则 S ?



答案: S1 cos ? ? S2 cos ? ? S3 cos ? 三、解答题
1 1 17.求函数 y ? x3 ? (a ? a 2 ) x 2 ? a 3 x ? a 2 的单调递减区间. 3 2

解: y ? ? x 2 ? (a ? a 2 ) x ? a 3 ? ( x ? a )( x ? a 2 ) , 令 y ? ? 0 ,得 ( x ? a )( x ? a 2 ) ? 0 . (1)当 a ? 0 时,不等式解为 a ? x ? a 2 ,此时函数的单调递减区间为 (a,a 2 ) . (2)当 0 ? a ? 1 时,不等式解为 a 2 ? x ? a ,此时函数的单调递减区间为 (a 2,a ) . (3)当 a ? 1 时,不等式解为 a ? x ? a 2 ,此时函数的单调递减区间为 (a,a 2 ) .

18.设复数 z ? cos ? ? sin ? ? 2 ? i(cos ? ? sin ? ) ,当 ? 为何值时, z 取得最大值,并求此最 大值.

π? ? 解: z ? (cos ? ? sin ? ? 2) 2 ? (cos ? ? sin ? ) 2 ? 4 ? 2 2(cos ? ? sin ? ) ? 4 ? 4cos ? ? ? ? . 4? ?
π 当 ? ? 2k ? (k ? Z) 时, 4

z 的最大值为 2 2 .

19.在数列 ?an ? 中, a1 ?

1 ,且前 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2n ? 1 倍( n ? N? ) . 3

(1)写出此数列的前 5 项; (2)归纳猜想 ?an ? 的通项公式,并加以证明.
a ? a2 ? a3 ? 1 , 1 3 n ? an

解: (1)由已知 a1 ?

3, 4, 5, ? (2n ? 1)an ,分别取 n ? 2,

1 1 1 1 1 1 得 a2 ? a1 ? , a3 ? (a1 ? a2 ) ? , ? ? 5 3 ? 5 15 14 5 ? 7 35 a4 ? 1 1 1 , (a1 ? a2 ? a3 ) ? ? 27 7 ? 9 63

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a5 ?

1 1 1 , (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? ? 44 9 ? 11 99

1 1 1 1 1 , a2 ? ,a3 ? ,a4 ? ,a5 ? . 3 15 35 63 99 1 (2)由(1)中的分析可以猜想 an ? . (2n ? 1)(2n ? 1)

所以数列的前 5 项是: a1 ?

下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时,公式显然成立. ②假设当 n ? k 时成立,即 ak ? 得
1 ,那么由已知, (2k ? 1)(2k ? 1)

a1 ? a2 ? a3 ? ? ak ? ak ?1 ? (2k ? 1)ak ?1 , k ?1

即 a1 ? a2 ? a3 ?

? ak ? (2k 2 ? 3k )ak ?1 ,

所以 (2k 2 ? k )ak ? (2k 2 ? 3k )ak ?1 , 即 (2k ? 1)ak ? (2k ? 3)ak ?1 , 又由归纳假设,得 (2k ? 1) 所以 ak ?1 ?
1 ? (2k ? 3)ak ?1 , (2k ? 1)(2k ? 1)

1 ,即当 n ? k ? 1 时,公式也成立. (2k ? 1)(2k ? 3) 1 成立. (2n ? 1)(2n ? 1)

由①和②知,对一切 n ? N? ,都有 an ?

20.如图,在曲线 y ? x 2 ( x ≥ 0) 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为
1 ,试求: 12

(1)切点 A 的坐标; (2)过切点 A 的切线方程. 解 : 设 切 点 A( x0,y0 ) , 由 y ? ? 2 x , 过 A 点 的 切 线 方 程 为
2 . y ? y0 ? 2 x0 ( x ? x0 ) ,即 y ? 2 x0 x ? x0

x0 ?x ? ,即 C ? 0 , 0? . 2 ? 2 ? 设由曲线过 A 点的切线及 x 轴所围成图形的面积为 S ,

令 y ? 0 ,得 x ?

S ? S曲边△ AOB ? S△ ABC,S曲边△ AOB ? ? x 2 dx ?
0

x0

1 3 x0 1 3 x |0 ? x0 , 3 3

x ? 2 1 3 1 1? BC· AB ? ? x0 ? 0 ? · x0 ? x0 . 2 2? 2? 4 1 3 1 3 1 3 1 即 S ? x0 ? x0 ? x0 ? . 3 4 12 12 所以 x0 ? 1 ,从而切点 A(11) , ,切线方程为 y ? 2 x ? 1 . S△ ABC ?

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21.由于某种商品开始收税,使其定价比原定价上涨 x 成(即上涨率为

x ) ,涨价后商品卖 10

出的个数减少 bx 成,税率是新价的 a 成,这里 a , b 均为常数,且 a ? 10 ,用 A 表示过去定 价, B 表示卖出的个数. (1)设售货款扣除税款后,剩余 y 元,求 y 关于 x 的函数解析式; (2)要使 y 最大,求 x 的值.
x? ? ? bx ? 解: (1)定价上涨 x 成,即为 A ?1 ? ? 时,卖出的个数为 B ?1 ? ? ,纳税 a 成后,剩余 10 ? ? ? 10 ? x ?? bx ?? a? ? y ? AB ?1 ? ??1 ? ??1 ? ? . ? 10 ?? 10 ?? 10 ?

a ?? b 2 ? 1 b ? ? ? (2)上式整理得 y ? AB ?1 ? ? ? ? x ? ? ? ? x ? 1? , ? 10 ? ? 100 ? 10 10 ? ?
a ?? b 1 b? ? 当 y ? ? AB ?1 ? ? ? ? x ? ? ? , 10 10 ? ? 10 ? ? 50 5(1 ? b) 令 y ? ? 0 ,则 x ? 时, b a ? (1 ? b) 2 ? . ymax ? AB ?1 ? ? · ? 10 ? 4b

3? ? 22.已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? ? ( x ? a )(a ? R ) . 2? ? (1)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的范围; (2)若 f ?(?1) ? 0 , (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)证明对任意的 x1 , x2 ? (?1 , 0) ,不

等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

5 恒成立. 16 3 3 x? a, 2 2

解:∵ f ( x) ? x3 ? ax 2 ?
∴ f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ?

3 . 2 (1)∵ 函数 f ( x) 的图象有与 x 轴平行的切线, ∴ f ?( x) ? 0 有实数解. 3 9 则 ? ? 4a 2 ? 4 ? 3 ? ≥ 0 , a 2 ≥ , 2 2

3 ? ? 所以 a 的取值范围是 ? ?∞, ? 2? 2 ? ? (2)∵ f ?(?1) ? 0 ,
∴ 3 ? 2a ? 3 9 ? 0,a ? , 2 4

?3 ? ? ∞? . ? 2 2, ? ?

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∴ f ( x) ? x3 ?

9 2 3 27 . x ? x? 4 2 8

∴ f ?( x) ? 3x 2 ?

9 3 1? ? x ? ? 3 ? x ? ? ? x ? 1? , 2 2 2? ?

1 (Ⅰ)由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? ? ; 2 1 由 f ?( x) ? 0 得 ?1 ? x ? ? , 2

? 1 ? ∴ f ( x) 的单调递增区间是 (?∞, ? 1) , ? ? , ? ∞? ; 2 ? ? 1 ? ? 单调减区间为 ? ?1 , ? ?. 2? ?

(Ⅱ)易知 f ( x) 的极大值为 f (?1) ? 又 f (0) ?
27 , 8

25 , f ( x) 的极小值为 8

? 1 ? 49 , f ?? ? ? ? 2 ? 16

∴ f ( x) 在 [?1 , 0] 上的最大值 M ?

27 49 ,最小值 m ? . 8 16 27 49 5 . ? ? 8 16 16

, 0) ,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? M ? m ? ∴ 对任意 x1,x2 (?1

高中新课标数学选修(2-2)综合测试题

一.

选择题(每小题 5 分,共 60 分) 2 1.若复数 z ? (1 ? i ) 2 ? ,则 z 的虚部等于[ 1? i A.1 B.3 C. i
' '

] D. 3i ]

2. f ( x) 和 g ( x) 是 R 上的两个可导函数,若 f ( x) = g ( x) ,则有[ A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? 0 B. f ( x) ? g ( x) 是常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 是常数函数

3.一个物体的运动方程是 s ? 3t cos t ? x ( x 为常数) ,则其速度方程为[ A. v ? 3 cos t ? 3t sin t ? 1 B. v ? 3 cos t ? 3t sin t C. v ? ?3 sin t D. v ? 3 cos t ? 3t sin t 4.设复数 z 满足 A.0

]

1? z ? i ,则 | 1 ? z | 的值等于[ 1? z
B.1 C. 2

] D.2

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?

5.定积分 A.1

?

2 0

sin x cos xdx 的值等于[
B.

] C.

1 2

1 4
,y?

D. 0

6.已知 a, b 是不相等的正数, x ? A. x ? y 7.若函数 y ?
2

a? b 2

a ? b ,则 x, y 的大小关系是[
D.不确定

]

B. x ? y ]

C. x ?

2y

6x ,则其[ x ?1 A.有极小值 ? 3 ,极大值 3
C.仅有极大值 6

B.有极小值 ? 6 ,极大值 6 D.无极值 ] D.3
y

8.已知复数 z 的模等于 2,则 | z ? i | 的最大值等于[ A.1 B.2 C. 5

9.设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ?( x) 的图象如图所示, 则 y ? f ( x) 的图象最有可能的是[ ]

O

1

2

x

10.若 ( A.4

1? i n 1? i n ) ?( ) ? 2 ,则 n 的值可能为[ 1? i 1? i
B.5
3

] D.7

C.6

11.若函数 f ( x) ? x ? 12 x 在区间 (k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是 [ ] A. k ? ?3 或 ? 1 ? k ? 1 或 k ? 3 C. ? 2 ? k ? 2 12.定义复数的一种运算 z1 * z2 ? B. ? 3 ? k ? ?1 或 1 ? k ? 3 D.不存在这样的实数 k

| z1 | ? | z2 | (等式右边为普通运算 ),若复数 z ? a ? bi ,且 2
]

实数 a,b 满足 a ? b ? 3 ,则 z * z 最小值为[

A.

9 2

B.

3 2 2

C.

3 2

D.

9 4

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二. 填空题(每小题 4 分,共 16 分)
13.设复数 z1 ? 1 ? i, z 2 ?

3 ? i, 则z ?

z1 在复平面内对应的点位于第—————象限. z2

14.方程 x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 4 ? 0 实根的个数为————————. 15.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c , x ? [-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的
3 2

切线斜率均为-1,有以下命题:①f(x)的解析式为: f ( x) ? x ? 4 x , x ? [-2,2];②f
3

(x)的极值点有且仅有一个;③f(x)的最大值与最小值之和等于零.其中正确的命题是— —————————. 16.仔细观察下面 4 个数字所表示的图形:

请问:数字 100 所代表的图形中有

方格

三. 解答题(共 74 分)
17.设复数 z ?

(1 ? i ) 2 ? 3(1 ? i ) ,若 z 2 ? mz ? n ? 1 ? i ,求实数 m,n 的值. 2?i
1 2 ax ? 2 x 存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围. 2

18.若函数 f ( x) ? ln x ?

19.观察给出的下列各式: (1) tan 10 0 ? tan 20 0 ? tan 20 0 ? tan 60 0 ? tan 60 0 ? tan 10 0 ? 1 ; (2) tan 5 0 ? tan 15 0 ? tan 15 0 ? tan 70 0 ? tan 70 0 ? tan 5 0 ? 1 .由以上两式成立,你能得到 一个什么的推广?证明你的结论. 20.满足 Z ?

5 是实数,且 Z+3 的实部与虚部互为相反数的虚数 Z 是否存在?若存在,求出 Z
2

虚数 Z;若不存在,请说明理由. 21.已知函数 f(x)=(x +

3 )(x+a)(a ? R).(1)若函数 f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线,求 2

a 的范围; (2)若 f ' (-1)=0,(I)求函数 f(x)的单调区间; (II) 证明对任意的 x1、 x2 ? (-1,0), 不等式|f(x1)-f(x2)|<

5 恒成立. 16

22.已知函数 f ( x) ? ln(2 ? x) ? mx 在区间 (0,1) 上是增函数. (1) 求实数 m 的取值范围; (2) 若数列 ?a n ? 满足 a1 ? (0,1), a n ?1 ? ln(2 ? a n ) ? a n (n ? N ? ) ,证明: 0 ? a n ? a n ?1 ? 1 .

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参考答案
一. 选择题 1.B 2.D 3.B 4.C 5.B 6.B 7.A 8.D 二. 填空题 13.四 14.2 15.(1) (3) 16.20201 三. 解答题 17.解析:z ? 9.C 10.A 11.B 12.B

(1 ? i ) 2 ? 3(1 ? i ) 2i ? 3 ? 3i 3 ? i (3 ? i )(2 ? i ) ? ? ? ? 1? i , 将 z ? 1? i 代 2?i 2?i 2 ? i (2 ? i )(2 ? i )
2

入 z 2 ? mz ? n ? 1 ? i ,得 (1 ? i ) ? m(1 ? i ) ? n ? 1 ? i ,所以 (m ? n) ? (m ? 2)i ? 1 ? i 于是 ?

?m ? n ? 1, 得 m ? ?3, n ? 4 . ?? (m ? 2) ? 1.
'

18.解析:由于 f ( x) ? 以 f ( x) <0 有解.
'

1 ax 2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? ? . 因为函数 f(x)存在单调递减区间,所 x x

又因为函数的定义域为 (0,??) ,则 ax +2x-1>0 应有 x>0 的解.①当 a>0 时,y=ax +2x-1
2 2

为开口向上的抛物线,ax +2x-1>0 总有 x>0 的解;②当 a<0 时,y=ax +2x-1 为开口向下的 2 2 抛物线,而 ax +2x-1>0 总有 x>0 的解,则△=4+4a>0,且方程 ax +2x-1=0 至少有一正根. 此时,-1<a<0.综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞). 19.解析:可以观察到: 10 ? 20 ? 60 ? 90 ,5 ? 15 ? 70 ? 90 ,故可以猜想此推广
0 0 0 0 0 0 0 0

2

2

式 为 : 若 ? ? ? ?? ?

?
2

, 且 ? , ? , ? 都 不 等 于 k? ?

?
2

(k ? Z ) , 则 有

tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? 1 .
证明如下:由 ? ? ? ? ? ? 又 因 为

?
2

得? ? ? ?

?
2

? ? ,所以 tan(? ? ? ) ? tan(

?
2

? ? ) ? cot ? ,
所 以

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?



tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan? tan? ) ? cot? (1 ? tan? tan? )

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t a ? ?n t a ?? nt a ? ?n t a ? ?nt a ? ?n t a ? ?nt a ? (1n ?t a ? tn a ?)n c ? o ? tt a ? tn a ?? n1
. 20.解析:设存在虚数 Z=x+yi(x、y∈R 且 y≠0) 。

?z?

5 5 5x 5y ? x ? yi ? ? x? 2 ? (y ? 2 )i. 2 z x ? yi x ?y x ? y2

5y ? ?0 ? x 2 ? y 2 ? 5, ? x ? ?1 ? x ? ?2 ?y ? 2 解之得? 或? x ? y2 由已知得 ? ,因为 y ? 0,? ? y ? ? 2 x ? y ? ? 3 . ? ? y ? ?1 ? ?x ? 3 ? ? y ?
? 存在虚数Z ? ?1 ? 2i或Z ? ?2 ? i满足以上条件.
21.解析: ⑴

f ( x) ? x 3 ? ax 2 ?

3 3 3 x ? a ,? f '( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? 2 2 2

函数 f ( x) 的图象有与 x 轴平行的切线,? f '( x) ? 0 有实数解

3 9 ? 0 , a2 ? , 2 2 3 3 所以 a 的取值范围是 ???????????????4 分 ( ? ?, ? 2] [ 2, ? ?) 2 2 3 9 9 3 1 ⑵ f '(?1) ? 0 ,? 3 ? 2a ? ? 0 , a ? ,? f '( x) ? 3 x 2 ? x ? ? 3( x ? )( x ? 1) 2 4 2 2 2 1 1 (Ⅰ)由 f '( x) ? 0得x ? ?1 或 x ? ? ;由 f '( x) ? 0得 ? 1 ? x ? ? 2 2 1 1 ? f ( x) 的单调递增区间是 (??, ?1), (? , ??) ;单调减区间为 (?1, ? ) ?????8 分 2 2 25 1 49 27 (Ⅱ)易知 f ( x) 的最大值为 f (?1) ? , f ( x) 的极小值为 f (? ) ? ,又 f (0) ? 8 2 16 8 27 49 ,最小值 m ? ? f ( x) 在 [?1, 0] 上的最大值 M ? 8 16 27 49 5 ? 对任意 x1 , x2 ? (?1, 0) ,恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? M ? m ? ? ? . 8 16 16 1 22.解析: (1) f ' ( x) ? ? ? m ,由于 f ( x) 在区间 (0,1) 上是增函数,所以 f ' ( x) ? 0 , 2? x 1 1 1 1 即? ,而 ? ? m ? 0 在 (0,1) 上恒成立,所以 m ? ? 1 ,所以 m ? 1 . 2? x 2? x 2 2? x 则? ? 4a 2 ? 4 ? 3 ?
( 2 )由题意知,当 n=1 时, a1 ? (0,1) . 假设当 n=k 时有 ak ? (0,1) ,则当 n=k+1 时,

a k ?1 ? ln(2 ? a k ) ? a k ? ln 2 ? 0 , 且 a k ?1 ? ln(2 ? a k ) ? a k ? ln 2 ? 1 ( 由 ( 1 ) 问 知
f ( x) ? ln(2 ? x) ? x 在 区 间 (0,1) 上 是 增 函 数 ) . 所 以 当 n=k+1 时 命 题 成 立 , 故

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0 ? a n ? 1, n ? N ? .又因为 a n ?1 ? a n ? ln(2 ? a n ) ? 0 ,所以 0 ? a n ? a n ?1 ? 1 .


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