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惠州市2014届高三第二次调研考试试题文科数学试题及参考答案(@高考直通车)(1)


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惠州市 2014 届高三第二次调研考试试题 数学(文科)

惠州市 2014 届高三第二次调研考试试题

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惠州市 2014 届高三第二次调研考试试题答案 数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

A

B

A

D

D
2

C

A

B

D

1. 【解析】因为 T ? S ,所以 S ? T ? S ,选 C ; 2. 【解析】特称命题的否定为:对任意实数 x ,都有 x ? x ? 1 ? 0 ,选 A ;

3. 【解析】由

x2 y 2 ? ? 1 可知 a 2 ? 16, b2 ? 9 , c2 ? a 2 ? b2 ? 16 ? 9 ? 25 16 9

所以

c ? 5, a ? 4 ,离心率 e ?

c 5 ? ,选 B a 4

4. 【解析】圆心 ? 2, ?1? 到直线 y ? ?4 的距离为 ?4 ? ? ?1? ? 3 ,而圆的半径为 3 , 距离 等于半径,所以直线与圆相切,选 A ; 5. 【解析】由 a ? b 得 ? 3 ?1 ? 1? x ? 0 ,解得 x ? 3 , 选 D ; 6. 【解析】要使解析式有意义,必须满足 3 ? 1 ? 0 ,解得 x ? 0 ,选 D ;
x

?

?

7. 【解析】 ? a3 ? a4 ? ? ? a1 ? a2 ? ? 9 ? 5 ,即 4d ? 4, d ? 1 ,得 a1 ? 2 ,据等差数列前 n 项 和公式 S n ? a1n ?

n ? n ? 1? 2

d 得 S10 ? 2 ?10 ?

10 ? ?10 ? 1? 2

? 65 ,选 C

? ? 5 ? 12 ?? ? ? ? 2 ? ? 8. 【解析】据五点法可得 ? ,解得 ? ? 2 , ? ? ? ,选 A ; 3 ? 11 ?? ? ? ? 3? ?12 ? 2
9. 【解析】若 m ? ? , n / /? , 则 m 与 n 的位置关系不能确定,所以命题①错误, 若 m ? ? , n / /? , 则m ? n ,命题②正确,若两平面垂直于同一条直线,则这两平面平行, 所以命题③正确,两直线同时平行于一个平面,这两条直线的位置关系不能确定,所以命 题④正确,综上所述,选 B ; 10. 【解析】因为正三角形中心为正三角形的重心,重心为中线 的一个三等分点,如图所示,图中六边形 PA PB P PD PE PF C
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区域为集合 S 所表示的平面区域,选 D 。 二、填空题(本大题共 5 小题,第 14、15 小题任选一道作答,共 20 分) 11. ?2 12. 11 13. 6 14.

12
11. 【解析】由 ?1 ? i ? ? ?2i ,可得虚部为 ?2 ;
2

5 5

15. 4

12. 【解析】第一次循环: s ?

1 3 ; , n ? 4 ; 第二次循环: s ? , n ? 6 ; 2 4 11 11 第三次循环: s ? , n ? 8 ;跳出循环,输出 s ? ; 12 12

13. 【解析】不等式组表示的平面区域如图所示,当目标函 数对应的直线过点 ? 3, 0 ? 时;

z ? 2 x ? y 的值最大,即 zmax ? 6 ;
14. 【解析】 ? ? 2 化为普通方程为 x ? y ? 2 ,可知圆心
2 2 2

坐标为 ? 0, 0 ? , ? sin ? ? 2? cos ? ? 1 化为普通方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ,

d?

2 ? 0 ? 1? 0 ? 1 22 ? 12

?

5 ; 5
2

15. 【解析】据切割线定理可得 BD ? BD ? 3? ? CD ,即 BD ? BD ? 3? ? 2 7

?

?,
2

解得 BD ? 4 或 ?7 ,舍去 ?7 ,所以 BD ? 4 。 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

sin cos x x 2 解: (1) f ( x ) ? 3 2 ? 2 ?2sin(x? ) 6 …………………………3 分
?T ? 2? ?? 2

?

…………………………4 分

x 当2 ?

?

?2 ?? 即 x?k ? ( ? )时, f ? x ? 取最小值-2…………6 分 k ? k Z 6 2 6 3 ? ? k 2 k (2)由 2 ?? ? x? ?2 ? ? ?(k?z), ………………………8 分 2 6 2 ? ? x k 5( z ? k ) 得 k ? ? ? ? ? ? ………………………10 分 3 6 x 当2 ?

?

?2 ?? 即 x?k ? ( ? )时, f ? x ? 取最大值 2;…………5 分 k ? k Z 6 2 3

?

?

?

?

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∴单调递减区间为 [ ? , ? k ? k ? ](? . k z )

?

3

5 ? 6

………………………12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为

9 ? 0.45 ,所以 M ? 20 M 又因为 9 ? 5 ? m ? 2 ? 20 ,所以 m ? 4 5 4 所以 n ? ? 0.25 , r ? ? 0.2 20 20

……………2 分 ……………3 分 ……………4 分

(2) 设参加社区服务的次数在 ? 25,30 ? 内的学生为 A1 , A2 , 参加社区服务的次数在 ? 20, 25 ? 内的学生为 A3 , A4 , A5 , A6 ; ……………5 分

任选 2 名学生的结果为: ? A1 , A 2 ? , ? A1 , A 3 ? , ? A1 , A 4 ? , ? A1 , A 5 ? , ? A1 , A 6 ? ,

? A2 , A 3 ? , ? A2 , A 4 ? , ? A2 , A5 ? , ? A2 , A 6 ? , ? A 3 , A4 ? , ? A3 , A 5 ? , ? A3 , A6 ? , ? A4 , A 5 ? , ? A4 , A 6 ? , ? A5 , A 6 ? 共 15 种情况
; ……………8 分

其中至少一人参加社区服务次数在区间 ? 25,30 ? 内的情况有 ? A1 , A 2 ? , ? A1 , A 3 ? ,

? A1 , A 4 ? , ? A1 , A 5 ? , ? A1 , A 6 ? , ? A2 , A 3 ? , ? A2 , A 4 ? , ? A2 , A5 ? , ? A2 , A 6 ? ,共 9 种情况…10 分
每种情况都是等可能出现的, 所以其中至少一人参加社区服务次数在区间 ? 25,30 ? 内的概率 为p?

9 3 ? . 15 5

……………12 分

18.(本小题满分 14 分) 证明: (1)因为 VC ? 平面 ABC , AB ? 平面 ABC , 所以 VC ? AB …………2 分 又因为在 ?ABC 中, AC ? BC , D 为 AB 的中点, 所以 CD ? AB …………4 分 又 VC ? 平面 VCD ,CD ? 平面 VCD ,且 VC ? CD ? C , 所以 AB ? 平面 VCD ………6 分 (2)法一:因为 AB ? 平面 VCD 且 AB ? 平面 VAB 所以平面 VCD ? 平面 VAB , ……………8 分 又因为平面 VCD ? 平面 VAB ? VD , 所以点 C 到 VD 的距离 h 即为点 C 到平面 VAB 的距离, 在直角三角形 VCD 中,由 VD ? h ? VC ? DC ……………10 分 ……………11 分

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VC ? DC h? ? VD

a?

2 a 2 ? 3a 3 6 a 2

……………13 分

所以点 C 到平面 VAB 的距离为

3 a . ………………………14 分 3

法二:设点 C 到平面 VAB 的距离为 h , 据 VV-ABC 即 ?

? VC-VAB

………8 分

1 1 1 3 a?a?a ? ? 3 2 3 4

?

2a h ,得 h ?

?

2

3 a ………………………13 分 3

所以点 C 到平面 VAB 的距离为 19. (本小题满分 14 分)

3 a . ………………………14 分 3
1 2 ……………………1 分 a1 ? 1 ,得 a1 ? 2 3

(1) 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ,由 s1 ? 当 n ? 2 时,∵ sn ? 1 ? ∴ sn ? sn ?1 ? ∴ an ?

1 1 an , sn ?1 ? 1 ? an ?1 , …………………2 分 2 2

1 1 ? an?1 ? an ? ,即 an ? ? an?1 ? an ? 2 2
…………………………………………5 分

1 a n ?1 (n ? 2) 3

∴ ?an ? 是以 故 an ?

2 1 为首项, 为公比的等比数列.…………………………………6 分 3 3
…………………………………………7 分

2 1 n ?1 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) n (n ? N ? ) 3 3 3

(2) 1 ? sn ?

1 1 1 an ? ( ) n , bn ? log 3 (1 ? sn ?1 ) ? log 3 ( ) n ?1 ? ? n ? 1 ……………9 分 2 3 3

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 …………………………………………11 分
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2 ……13 分
解方程

1 1 25 ,得 n ? 100 ? ? 2 n ? 2 51

…………………………………………14 分

20.(本小题满分 14 分)

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解: (1)依题意可设椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,………………………….2 分 2 a

则右焦点 F 的坐标为

?

a 2 ? 1, 0 ,

?

………………………….3 分

a2 ?1 ? 2 2
由题意得

2

? 3 ,解得 a 2 ? 3 ,

x2 故所求椭圆的标准方程为 ? y 2 ? 1. 3

………………………….5 分

(2)设 P xP , y p 、 M ? xM , yM ? 、 N ? xN , y N ? ,其中 P 为弦 MN 的中点,

?

?

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 ,得 ? 3k ? 1? x ? 6mkx ? 3 ? m ? 1? ? 0 …………………….7 分 2 ? ? y ?1 ?3
2 2 因为直线与椭圆相交于不同的两点,所以 ? ? ? 6mk ? ? 4 3k ? 1 ? 3 m ? 1 ? 0 2

?

? ?

?

即 m ? 3k ? 1
2 2

①,

………………………….8 分

x ? xN 6mk 3mk ,所以 xP ? M , ?? 2 2 3k ? 1 2 3k ? 1 m 从而 yP ? kxP ? m ? 2 , ………………………….9 分 3k ? 1 xM ? xN ? ?
所以 k AP

yP ? 1 m ? 3k 2 ? 1 ? ?? , xP 3mk

………………………….10 分

又 AM ? AN ,所以 AP ? MN , 因而 ?

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ? ,即 2m ? 3k 2 ? 1 3mk k
2

②, ……………………….11 分

把②式代入①式得 m ? 2m ,解得 0 ? m ? 2 , 由②式得 k ?
2

………………………….12 分 ………………………….13 分 ………………………….14 分

2m ? 1 1 ? 0 ,解得 m ? , 3 2 1 综上所述,求得 m 的取值范围为 ? m ? 2 . 2
'

21. (本小题满分 14 分) (1) f

? x ? ? x 2 ? b ,所以 f ' ?1? ? 1 ? b ? 2 ,得 b ? ?1 .………………2 分



1 5 f (1) ? 2 ? 1 ? 3 ,所以 ? b ? c ? 3 ,得 c ? .………………3 分 3 3
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(2) 因为 b ? 1所以 f ? x ? ? 当 x ? ? 0,1? 时, 所以

1 3 x ? x?c, 3

f ' ( x) ? x 2 ? 1

.………………4 分

f ' ( x) ? 0 ,当 x ? ?1, 2 ? 时, f ' ( x) ? 0
………………5 分

f ( x) 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, 2 ? 上单调递增

又 f ? 0? ? c ? f ? 2? ?

2 ? c ,可知 f ? x ? 在区间 ? 0, 2 ? 内有唯一零点等价于 3
.………………7 分

? f ?0? ? 0 ? f ?1? ? 0 或 ? , ? f ? 2? ? 0 ?
得c ?

2 2 或? ? c ? 0. 3 3

.………………8 分

(3) 若对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,均有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

4 ,等价于 3
……………10 分

f ? x ? 在 ? ?1,1? 上的最大值与最小值之差 M ?
(ⅰ) 当 b ? 0 时,在 ? ?1,1? 上

4 3

f ' ( x) ? 0 , f ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调递增,
2 4 1 ? 2b ? ,得 b ? ? , 3 3 3
.………………9 分

由 M ? f ?1? ? f ? ?1? ? 所以 ?

1 ?b?0 3

(ⅱ)当 b ? 0 时,由

f ' ( x) ? 0 得 x ? ? b

? ? 所以 f ? 2 b ? ? f ? ? b ? ,同理 f ? ?2 b ? ? f ? b ?
由 f ? x? ? f ? b 得 x ? 2 b 或 x ? ? b

.………………10 分

1) 当 b ? 1 ,即 b ? 1时, M ? f ? ?1? ? f ?1? ? 2b ?

2 4 ? ,与题设矛盾; 3 3
.………………11 分

2) 当 b ? 1 ? 2 b ,即

M? f ? b ?f

?

? ? ?

1 ? b ? 1 时, 4 3 2 4 b ?? b ? 2b b ? 3 3

? ?

? b?

3

?

4 恒成立; ……………12 分 3

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3) 当 2 b ? 1 ,即 0 ? b ?

1 2 4 时, M ? f ?1? ? f ? ?1? ? ? 2b ? 恒成立; 4 3 3
.………………13 分

综上所述,b 的取值范围为 ? ? ,1? .

? 1 ? ? 3 ?

.………………14 分

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