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广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 数列试题精选06

数列 06
x1 1 , xn ? ? xn ?1 ? xn ? 2 ? , n ? 3, 4, ….若 lim xn ? 2 ,则(B) n ?? 2 2

1. 已知数列 ?xn ? 满足 x2 ? (A)

3 (B)3(C)4(D)5 2

2.已知数列{log2(an-1)}(n∈N )为等差数列,且 a1=3,a2=5,则
l i m n ??

*

(

1 1 1 = ? ? ?? ? a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n
B.

(C)

A.2

3 2

C.1

D.

1 2

5. 设 f0(x)=sinx, f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则 f2005(x) =(C) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx

6. 在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21,则 a3+ a4+ a5=(C ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189

7. 如果数列 ?an ? 是等差数列,则(B ) (A) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (B) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (C) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (D) a1a8 ? a4 a5

8. lim

n??

1? 2 ? 3 ??? n =( C n2
(B) 4 (C)

)

(A) 2

1 2

(D)0

9. 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下 底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为 2,且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39,则该塔形中正方 体的个数至少是( C) (A) 4;
-1-

(B) 5; (C) 6; (D) 7。

填空题 1. 设平面内有n条直线 (n ? 3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三角形不过同一 点.若用 f ( n) 表示这n条直线交点的个数,则 f (4) _____5________;当n>4时, f ( n ) = __

1 (n ? 2)( n ? 1) ___________. 2

2. 设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值为 -2 .

27 8 3. 在 和 之间插入三个数, 使这五个数成等比数列, 则插入的三个数的乘积为_______216 2 3

__. 4. lim
2 n?2 Cn ? 2Cn 3 ? _ _________ 2 n ?? (n ? 1) 2

5. 用 n 个不同的实数 a1 , a2 ,?, an 可得到 n! 个不同的排列,每个排列为一行写成一个 n! 行的 数阵。对第 i 行 ai1 , ai 2 ,?, ain ,记 bi ? ?ai1 ? 2ai 2 ? 3ai 3 ? ?(?1) n nain , i ? 1,2,3,?, n! 。例 如 : 用 1 , 2 , 3 可 得 数 阵 如 图 , 由 于 此 数 阵 中 每 一 列 各 数 之 和 都 是 12 , 所 以 ,

b1 ? b2 ? ? ? b6 ? ?12 ? 2 ?12 ? 3 ?12 ? ?24 ,那么,在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中, b1 ? b2 ? ? ? b120 =_-1080_________。

-2-

解答题

? 1 a ? 1 ? 2 n 1.设数列{an}的首项 a1=a≠ ,且 an ?1 ? ? 4 ?a ? 1 n ? ? 4
记 bn ? a2 n ?1 ? (I)

n为 偶 数
,

n为 奇 数

1 ,n==l,2,3,…·. 4

求 a2,a3;

(II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;

(III)求 lim(b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ) .
n ??

1 1 1 1 1 =a+ ,a3= a2= a+ ; 4 4 2 2 8 1 1 3 1 3 1 (II)∵ a4=a3+ = a+ , 所以 a5= a4= a+ , 4 2 8 2 4 16 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 b1=a1- =a- , b2=a3- = (a- ), b3=a5- = (a- ), 4 4 4 2 4 4 4 4 1 猜想:{bn}是公比为 的等比数列· 2
解: (I)a2=a1+ 证明如下:

1 1 1 1 1 1 = a2n- = (a2n-1- )= bn, (n∈N*) 4 2 4 2 4 2 1 1 所以{bn}是首项为 a- , 公比为 的等比数列· 4 2 1 b1 (1 ? n ) 2 ? b1 ? 2(a ? 1 ) . (III) lim(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? lim n ?? n ?? 1 1 4 1? 1? 2 2
因为 bn+1=a2n+1-

-3-

2. 已知{ an }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值;

(Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由. 解: (Ⅰ)由题设 2a3 ? a1 ? a2 ,即2a1q 2 ? a1 ? a1q,

? a1 ? 0,? 2q 2 ? q ? 1 ? 0.

1 ? q ? 1或 ? . 2
(Ⅱ)若 q ? 1, 则S n ? 2n ? 当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? 若q ? ?

n(n ? 1) n 2 ? 3n ?1 ? . 2 2
(n ? 1)( n ? 2) ? 0. 故 S n ? bn . 2

1 n(n ? 1) 1 ? n 2 ? 9n , 则S n ? 2n ? (? ) ? . 2 2 2 4
(n ? 1)( n ? 10) , 4

当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? ?

故对于 n ? N ? ,当2 ? n ? 9时, S n ? bn ;当n ? 10 时, S n ? bn ;当n ? 11 时, S n ? bn .

3. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n , {bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 .
2

(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn. bn

时, a1 ? S1 ? 2; 解: (1) :当 n ? 1
当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2,
故{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2,即 {an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列.

-4-

设{bn}的通项公式为 q, 则b1 qd ? b1 , d ? 4,? q ? 故 bn ? b1 q n ?1 ? 2 ?

1 . 4

1 4
n ?1

, 即{bn }的通项公式为 bn ?

2 4 n ?1

.

(II)? c n ? a n ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4 n ?1 , 2 bn 4 n ?1

? Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n?1 ], 4Tn ? [1 ? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 4 3 ? ? ? (2n ? 3)4 n?1 ? (2n ? 1)4 n ]
两式相减得

1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ? Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9

-5-


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