koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

2013高考数学(文)一轮复习课件:任意角、弧度制及任意角的三角函数


2013年高考复习

第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数

【2013 年高考会这样考】 1.考查三角函数的定义及应用. 2.考查三角函数值符号的确定. 【复习目标】 从近几年的高考试题看,这部分的高考试题大多为教材例题, 习题的变形与创新,因此学习中要立足基础,抓好对教材知识 的学习.

基础梳理 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为 正角 ②按终边位置不同分为 (2)终边相同的角 终边与角 α 相同的角可写成 α+k· (k∈Z). 360° 、 负角 、 零角 . .
象限角 和 轴线角

(3)弧度制 ①1 弧度的角: 把长度等于半径长的弧所对的圆心角 弧度的角. ②规定: 正角的弧度数为 零角的弧度数为 零
正数

叫做 1

, 负角的弧度数为 负数 ,

l ,|α|= ,l 是以角 α 作为圆心角时所 r

对圆弧的长,r 为半径.

l ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制, 比值r与所取 的 r 的大小 无关 ,仅与角的大小有关. 弧度;180° π = 弧度.

④弧度与角度的换算:360° 2π = ⑤弧长公式: l=|α|r ,

1 1 2 扇形面积公式:S 扇形= 2lr = 2|α|r .

2.任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点 的距离为 r(r>0),那么角 α 的正弦、余弦、正切分别是:sin α y x y = r ,cos α= r ,tan α= x ,它们都是以角为 自变量 , 以比值为 函数值 的函数.

3.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单 位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴 上的

正射影

.由三角函数的定义知,点P的坐标 ,即

为 (cos α,sin α)

P(cos α,sin α)

,其中cos α

= OM ,sin α= MP ,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单 位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T,则tan α= 的 余弦线

AT

.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α 、 正切线 .

、 正弦线

三 角 函 数 线

有向线段 MP 为正弦线

有向线段 OM

为余弦线

有向线段 AT

为正切线

两个规律 (1)三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正 弦、三正切、四余弦. (2)终边落在x轴上的角的集合{β|β=kπ,k∈Z};终边落在y轴
? ? ? 上的角的集合 ?β?β ? ? ? ? π ? =2+kπ,k∈Z? ;终边落在坐标轴上的角的 ? ? ? ? ?. ? ?

? ? ? ? kπ ?β β= ,k∈Z 集合可以表示为 ? 2 ? ? ?

两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,如有可能则 取终边与单位圆的交点,|OP|=r一定是正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小 技巧. 三个注意 (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于90° 的角是概 念不同的三类角,第一类是象限角,第二类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用180° =π rad进行互化,在同一个式子

中,采用的度量制度必须一致,不可混用. (3)注意熟记0° ~360° 间特殊角的弧度表示,以方便解题.

双基自测 9π 1. (人教 A 版教材习题改编)下列与 4 的终边相同的角的表达式 中正确的是( ). 9 B.k· +4π(k∈Z) 360° 5π D.kπ+ (k∈Z) 4

A.2kπ+45° (k∈Z) C.k· -315° 360° (k∈Z)

9π 9 解析 与 4 的终边相同的角可以写成 2kπ+4π,(k∈Z), 但是角度制与弧度制不能混用, 答案 C 正确.

2.若α=k· +45° 180° (k∈Z),则α在( A.第一或第三象限 C.第二或第四象限 解析

). B.第一或第二象限 D.第三或第四象限

当k=2m+1(m∈Z)时,α=2m· +225° 180° =m· + 360°

225° ,故α为第三象限角; 当k=2m(m∈Z)时,α=m· +45° 360° ,故α为第一象限角. 答案 A

3.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角

).

B.第二象限角 D.第四象限角

解析 由 sin α<0 知 α 是第三、四象限或 y 轴负半轴上的角, 由 tan α>0 知 α 是第一、三象限角.∴α 是第三象限角. 答案 C

4.已知角α的终边过点(-1,2),则cos α的值为( 5 A.- 5 2 5 C.- 5 解析 答案 2 5 B. 5 1 D.-2

).

-1 5 由三角函数的定义可知,r= 5,cos α= =- 5 . 5 A

5.(2011· 江西)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半 轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin ________. 解析 根据正弦值为负数且不为-1,判断角在第三、四象 2 5 θ=- 5 ,则y=

限,再加上横坐标为正,断定该角为第四象限角,∴y<0, y 2 5 sin θ= 2=- 5 ?y=-8. 16+y 答案 -8

考向一

角的集合表示及象限角的判定

【例1】?(1)写出终边在直线y= 3x上的角的集合; 6π θ (2)若角θ的终边与 7 角的终边相同,求在[0,2π)内终边与 3 角的 终边相同的角; α (3)已知角α是第二象限角,试确定2α、2所在的象限. [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断.



π (1)在(0,π)内终边在直线y= 3x上的角是 , 3

∴终边在直线y= 3x上的角的集合为
? ? ? π ?α?α= +kπ,k∈Z 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

6π θ 2π 2kπ (2)∵θ= 7 +2kπ(k∈Z),∴3= 7 + 3 (k∈Z). 2π 2kπ 3 18 依题意0≤ 7 + 3 <2π?-7≤k< 7 ,k∈Z. θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与3相同的角为 7 , 21 , 21 .

(3)∵α是第二象限角, ∴k· +90° 360° <α<k· +180° 360° ,k∈Z. ∴2k· +180° 360° <2α<2k· +360° 360° ,k∈Z. ∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y轴负半轴上. α ∵k· +45° <k· +90° 180° < 180° ,k∈Z, 2 α 当k=2m(m∈Z)时,m· +45° <m· +90° 360° < 360° ; 2 当k=2m+1(m∈Z)时, α m· +225° 2<m· +270° 360° < 360° ; α ∴ 为第一或第三象限角. 2

(1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一 定相等,终边相同的角有无数个,它们之间相差360° 的整数 倍. (2)角的集合的表示形式不是唯一的,如:终边在y轴负半轴上
? ? ? π 的角的集合可以表示为 ?x?x=2kπ-2 ? ? ? ? ? ? 3π ?x?x=2kπ+ ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ?. ? ? ? ? ,k∈Z? ,也可以表示为 ? ?

【训练1】 角α与角β的终边互为反向延长线,则( A.α=-β B.α=180° +β C.α=k· +β(k∈Z) 360° D.α=k· ± 360° 180° +β(k∈Z)

).

解析 对于角α与角β的终边互为反向延长线,则α-β= k· ± 360° 180° (k∈Z). ∴α=k· ± 360° 180° +β(k∈Z). 答案 D

考向二

三角函数的定义

2 【例2】?已知角θ的终边经过点P(- 3,m)(m≠0)且sin θ= 4 m,试判断角θ所在的象限,并求cos θ和tan θ的值. [审题视点] 根据三角函数定义求m,再求cos θ和tan θ. m 2 解 由题意得,r= 3+m ,∴ = m,∵m≠0, 3+m2 4
2

∴m=± 5, 故角θ是第二或第三象限角.

当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5), 角 θ 是第二象限角, x - 3 6 ∴cos θ= = =- , r 2 2 4 y 5 15 tan θ= = =- . x - 3 3 当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5), 角 θ 是第三象限角. x - 3 6 y - 5 15 ∴cos θ=r = =- 4 ,tan=x= = 3 . 2 2 - 3

在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时,若角 α的终边上点的坐标是以参数的形式给出的,则要根据问题的 实际及解题的需要对参数进行分类讨论.任意角的三角函数值 仅与角α的终边位置有关,而与角α终边上点P的位置无关.若 角α已经给出,则无论点P选择在α终边上的什么位置,角α的 三角函数值都是确定的.

【训练2】

(2011· 课标全国)已知角θ的顶点与原点重合,始边 ).

与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( 4 A.- 5 解析 3 B.- 5 3 C. 5 4 D. 5

取终边上一点(a,2a),a≠0,根据任意角的三角函数定

5 3 2 义,可得cos θ=± 5 ,故cos 2θ=2cos θ-1=-5. 答案 B

考向三

弧度制的应用

【例3】?已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小; (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. [审题视点] (1)由已知条件可得△AOB是等边三角形,可得圆心 角α的值; (2)利用弧长公式可求得弧长,再利用扇形面积公式可得扇形 面积,从而可求弓形的面积.



(1)由⊙O的半径r=10=AB,知△AOB是等边三角形,

π ∴α=∠AOB=60° . = 3 π (2)由(1)可知α=3,r=10, π 10π ∴弧长l=α· 3×10= 3 , r= 1 1 10π 50π ∴S扇形= lr= × ×10= , 2 2 3 3 1 10 3 1 10 3 50 3 而S△AOB=2· AB· 2 =2×10× 2 = 2 ,
?π ∴S=S扇形-S△AOB=50? - ?3 ?

3? ? . 2? ?

弧度制下的扇形的弧长与面积公式,比角度制下的 扇形的弧长与面积公式要简洁得多,用起来也方便得多.因 此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式.

【训练3】 已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值 时,才使扇形面积最大? 解 设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=40,
?20? 1 1 S=2lr=2r(40-2r)=r(20-r)≤? 2 ?2=100. ? ?

当且仅当r=20-r,即r=10时,Smax=100. ∴当r=10,θ=2时,扇形面积最大,即半径为10,圆心角为2 时,扇形面积最大.

考向四 三角函数线及其应用 【例4】?在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范 围.并由此写出角α的集合: 3 1 (1)sin α≥ 2 ; (2)cos α≤-2. 3 1 [审题视点] 作出满足sin α= ,cos α=- 的角的终边,然后 2 2 根据已知条件确定角α终边的范围.

3 解 (1)作直线 y= 2 交单位圆于 A、B 两点,连接 OA、OB, OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 的终边的范围,
? ? ? π 2 故满足条件的角 α 的集合为?α?2kπ+3≤α≤2kπ+3π,k∈Z ? ? ? ? ? ?. ? ?

1 (2)作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD, 2 则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 终边的范围, 故满足条件的角 α 的集合为
? ? ? 2 ?α?2kπ+ π 3 ? ? ? ? ? 4 ≤α≤2kπ+3π,k∈Z?. ? ?

利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是: (1)用边界值定出角的终边位置; (2)根据不等式(组)定出角的范围; (3)求交集,找单位圆中公共的部分; (4)写出角的表达式.

【训练 4】 求下列函数的定义域: (1)y= 2cos x-1; 解 (2)y=lg(3-4sin2x).

1 (1)∵2cos x-1≥0,∴cos x≥2.

由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).
? π π? ∴定义域为?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z). ? ?

(2)∵3-4sin2x>0, 3 ∴sin x< , 4
2

3 3 ∴- 2 <sin x< 2 . 利用三角函数线画出x满足条件 的终边范围(如图阴影部分所示),
? π π? ∴定义域为?kπ-3,kπ+3?(k∈Z). ? ?

规范解答6——如何利用三角函数的定义求三角函数值
【问题研究】 三角函数的定义:设α是任意角,其终边上任一 点P(不与原点重合)的坐标为(x,y),它到原点的距离是r(r= y x y x +y >0),则sin α=r 、cos α=r 、tan α=x分别是α的正弦、
2 2

余弦、正切,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函 数,这样的函数称为三角函数,这里x,y的符号由α终边所在 象限确定,r的符号始终为正,应用定义法解题时,要注意符 号,防止出现错误.三角函数的定义在解决问题中应用广泛, 并且有时可以简化解题过程.

【解决方案】 利用三角函数的定义求三角函数值时,首先要 根据定义正确地求得x,y,r的值;然后对于含参数问题要注 意分类讨论.

【示例】?(本题满分12分)(2011· 龙岩月考)已知角α终边经过点 3 P(x,- 2)(x≠0),且cos α= x,求sin α、tan α的值. 6 只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标,即 确定角α所在的象限,并可以根据三角函数的定义求出所要求 的值.

[解答示范] ∵P(x,- 2)(x≠0), ∴P到原点的距离r= x2+2, 3 又cos α= x, 6 x 3 ∴cos α= 2 = 6 x, x +2 (2分)

∵x≠0,∴x=± 10,∴r=2 3.(6分)

当x= 10时,P点坐标为( 10,- 2), 6 5 由三角函数定义,有sin α=- 6 ,tan α=- 5 ;(9分) 当x=- 10时,P点坐标为(- 10,- 2), 6 5 ∴sin α=- 6 ,tan α= 5 .(12分)

当角的终边经过的点不固定时,需要进行分类讨 论,特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时,在根据 三角函数定义求解三角函数值时,就要把这条直线看做两条射 线,分别求解,实际上这时求的是两个角的三角函数值,这两 个角相差2kπ+π(k∈Z),当求出了一种情况后也可以根据诱导 公式求另一种情况.

【试一试】 已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sin α+cos 4 α+ tan α. 5 [尝试解答] 取直线3x+4y=0上的点P1(4,-3),则|OP1|= 3 4 3 5,则sin α=- ,cos α= ,tan α=- , 5 5 4 4 3 4 4 ? 3? 故sin α+cos α+ tan α=- + + ×?-4? 5 5 5 5 ? ? 2 =-5;

取直线3x+4y=0上的点P2(-4,3), 3 4 3 则sin α=5,cos α=-5,tan α=-4. 4 3 4 4 ? 3? 4 ?- ?=- . 故sin α+cos α+ tan α= - + × 4 5 5 5 5 ? 5 ? 4 2 4 综上,sin α+cos α+5tan α的值为-5或-5.

要按时完成活页限时训练


推荐相关:

...一轮复习课件-任意角和弧度制及任意角的三角函数(精....ppt

2013高考数学一轮复习课件-任意角弧度制及任意角的三角函数(精) - 1 2 [备考方向要明了] 考什么 1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与...


2013高考数学(文)一轮复习课件:任意角、弧度制及任意角....ppt

2013高考数学(文)一轮复习课件:任意角弧度制及任意角的三角函数 - 2013年高考复习 第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数 【2013 年高考会这样考】 1.考...


2013高考数学(文)一轮复习课件:3-1任意角、弧度制及任(....ppt

2013高考数学(文)一轮复习课件:3-1任意角、弧度制及任(精) - 第1讲 任意角弧度制及任意角的三角函数 【2013 年高考会这样考】 1.考查三角函数的定义及...


高考数学(文)一轮复习课件16任意角和弧度制及任意角的....ppt

高考数学(文)一轮复习课件16任意角弧度制及任意角的三角函数(人教A版) - 第四模块 三角函数 第十六讲 任意角弧度制及任意角的三角函数 共 71 页 1 ...


...一轮复习课件:任意角和弧度制及任意角的三角函数(精....ppt

2014高考数学一轮复习课件 第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角弧度制及任意角的三角函数 考纲要求 考情分析 1.从考查内容看,主要 1.了解任意角的...


高考数学一轮复习任意角弧度制及任意角的三角函数课件....ppt

高考数学一轮复习任意角弧度制及任意角的三角函数课件文 - ? 第1讲 任意角弧度制及任意角的 三角函数 基础诊断 考点突破 课堂总结 ? 最新考纲 1.了解任意角...


高考数学一轮复习任意角、弧度制及任意角的三角函数_图文.ppt

高考数学一轮复习任意角弧度制及任意角的三角函数 - 第 第一节 章 三角函数、解三角形 任意角弧度制及任意角的三角函数 (对应学生用书第39页) [ 基础...


高考数学一轮复习任意角和弧度制及任意角的三角函数_图文.ppt

高考数学一轮复习任意角弧度制及任意角的三角函数 - 第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角弧度制及任意角的三角函数 高考导航 C 目录 ONTENTS 主干...


高三数学一轮复习课件:4-1任意角、弧度制及任意角的三角函数_图文....ppt

高三数学一轮复习课件:4-1任意角弧度制及任意角的三角函数_高三数学_数学_...第1讲 任意角弧度制及 任意角的三角函数2013高考会这样考】 1.考查...


高考数学一轮复习课件:04-1任意角和弧度制及任意角的三角函数_....ppt

高考数学一轮复习课件:04-1任意角弧度制及任意角的三角函数 - 第四章 任意角弧度制及任意角的三角函数 知识网络 命题分析 1. 从近几年高考来看, 对于本...


2014届高考数学(文)一轮复习课件:第3章 第1讲任意角、....ppt

2014届高考数学(文)一轮复习课件:第3章 第1讲任意角弧度制及任意角的三角函数 - 金版教程 高三数学(文) 课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典...


...强化训练:3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数).doc

2013高考人教A版文科数学一轮强化训练:3.1任意角弧度制及任意角的三角函数) - 第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角弧度制及任意角的三角函数 强化...


...任意角、弧度制及任意角的三角函数(PPT课件)_图文.ppt

高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件:4.1 任意角弧度制及任意角的三角函数(PPT课件) - 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角 的...


...大一轮复习课件:3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数.ppt

【全程复习方略】2016届高考数学(文科人教A版)大一轮复习课件:3.1 任意角弧度制及任意角的三角函数_数学_高中教育_教育专区。第三章 三角函数、解三角形 第一...


...一轮复习讲义第四章4.1任意角和弧度制及任意角三角....ppt

2013高考数学一轮复习讲义第四章4.1任意角和弧度制及任意角三角函数 - 一轮复习讲义 任意角弧度制及任意 角的三角函数 主页 要点梳理 1.任意角 (1)角的...


...一轮复习 4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数精....doc

2013高考数学一轮复习 4.1 任意角弧度制及任意角的三角函数精品教学案(教师版)新人教版_数学_高中教育_教育专区。2013 年高考数学一轮复习精品教学案 4.1 任意...


2013高考数学总复习精品课件 : 任意角和弧度制及任意角的三角函数....ppt

2013高考数学总复习精品课件 : 任意角弧度制及任意角的三角函数_数学_高中教育_教育专区。适用于高考数学一轮复习 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数...


...4-1 任意角 弧度制及任意角的三角函数课件_图文.ppt

2017高考数学一轮复习 4-1 任意角 弧度制及任意角的三角函数课件_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第1讲 任意角弧度制及任意角的三角函数 1.了解任意角的...


...配套课件3-1任意角、弧度制及任意角的三角函数_图文....ppt

2015高考数学()一轮复习配套课件3-1任意角弧度制及任意角的三角函数 - 第三章 三角函数、解三角形 第 1讲 任意角弧度制及任意角的三角函数 1.了解...


...数学复习课件 4.1 角的概念及任意角的三角函数 理 ....ppt

2013高考数学复习课件 4.1 角的概念及任意角的三角函数 理 新人教版资料 - 第四章 三角函数、解三角形 1.任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念. (2)...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com