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【数学】1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(人教A版必修4)1


第一章 三角函数

1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的 关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中A, ω, φ都是常数). 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y
6 4 2 6

4
2

o
-2
-4 -6

2

4

6

8

x

o
-2
-4 -6

0.01

0.02

0.03

0.04

x

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有 何关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似, 从解析式来看,函数y ? sin x就是函数y ? A sin(?x ? ? )在 A ? 1, ? ? 1,? ? 0时的情况.

你认为怎样讨论参数? , ? , A对y ? A sin(?x ? ? )的 图象的影响?

(一)探索?对y ? sin( x ? ? ), x ? R的图象的影响 .

结论 : y ? sin( x ? ? )(其中? ? 0)的图象, 可以看作 是把正弦曲线上所有的 点向左(当? ? 0时) 或向右(当? ? 0时)平行移动? 个单位长度而得到 .

(二)探索?对y ? sin(?x ? ? )的图象的影响 .
结论 : 函数y ? sin( ?x ? ? )的图象, 可以看作是把 y ? sin( x ? ? )的函数图象上所有点的 横坐标 缩短(当? ? 1时)或伸长 (当0 ? ? ? 1时)到原来的 1

?

倍(纵坐标不变 )而得到的.

(三)探索A对y ? Asin(?x ? ? )的图象的影响 .
结论 : 函数y ? A sin( ?x ? ? )的图象, 可以看作是把 y ? sin( ?x ? ? )上所有点的纵坐标伸长 (当A ? 1时) 或缩短 (当0 ? A ? 1时)到原来的 A倍(横坐标不变 ) 而得到.从而,函数y ? A sin( ?x ? ? )的值域是?? A, A?, 最大值是 A, 最小值是 ? A.

1 ? 思考 : 怎样由y ? sin x的图象得到 y ? 2 sin( x ? ) 3 6 的图象 ?
函数y ? sin x
(1)向右平移

?
6

y ? sin( x ? )的图象 6 1 ? y ? sin( x ? )的图象 3 6 1 ? y ? 2 sin( x ? )的图象 3 6

?

(2)横坐标伸长到原来的 3倍
纵坐标不变

(3)纵坐标伸长到原来的 2倍
横坐标不变

例1

1 ? 画出函数y ? 2 sin( x ? )的简图. 3 6
? ?

解 : (画法一 )先把正弦曲线上所有点 向右平移 个 6 单位长度, 得到y ? sin( x ? )的图象; 再把后者所有 6 点的横坐标伸长到原来 的3倍(纵坐标不变 ), 得到 1 ? y ? sin( x ? )的图象; 再把所得图象上所有的 纵坐标 3 6 1 ? 伸长到原来的 2倍(横坐标不变 )而得到函数 y ? 2 sin( x ? ) 3 6 的图象.

y
3

2
1

? y=sin(x- )① 6
?
y=sinx

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6
1 ? y ? sin( x ? ) ② 3 6
2?
7? 2

o
?
-1

6

? 2

13? 2

x

-2
-3

1 ? (画法二)利用"五点法"画函数 y ? 2 sin( x ? )在 3 6 2? 一个周期 (T ? 1 ? 6? )内的图象. 3

1 ? ? 令X ? x ? , 则x ? 3( X ? ). 3 6 6 ? 3? 当X取0, , ? , ,2?时, 可求得相对应的x和y 2 2 . 然 . 后 将 简 图 再 , "描 点 的值, 得到"五点", 再描点作图 .
X x y
0
?
2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2

2?

5?

0

2

0

?2

0

(1)列表 :

X x y

0
?
2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2

y

2?

5?

0

2

0

?2

0
2

(2)描点 :

O -2

?
2

2?

? 7? 13? ( ,0), (2? ,2), ( ,0), (5? ,?2), ( ,0) 2 2 2
(3)连线:

7? 2

5?

13? 2

x

问题 : 怎样由 y ? sin x的图象得到 y ? A sin( ?x ? ? ) (其中A ? 0, ? ? 0)的图象 ?

答 : (1)先画出函数y ? sin x的图象;
(2)再把正弦曲线向左 (右)平移? 个单位长度, 得到函数 y ? sin( x ? ? )的图象;
(3)然后使曲线上各点的横 坐标变为原来的 倍, 1

?

(纵坐标不变 )得到函数 y ? sin( ?x ? ? )的图象;

(4)最后把曲线上各点的纵 坐标变为原来的 A倍, (横坐标不变 )这时的曲线就是函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图象.

1

y o
?
?
2

步骤1
-1

3? 2

2?

x

(沿x轴平行移动)

y
步骤2
1

o
-1

3? 2

2?

?
2

?

x (横坐标伸长或缩短)

1

y o
?
2

步骤3
-1

?

3? 2

2?

x

(纵坐标伸长或缩短)
1

y o

?
2

步骤4
-1

?

3? 2

2?

x

用两种方法画出函数y ? 2 sin(2 x ? )在长度 4 为一个周期的闭区间上 的简图.
y

?

2

?

3? 8

?

? 8
O

? 8

3? 8

5? 8

x

-2

变式题 : 画出函数y ? 2 sin 2( x ? )在长度为一个周期的 4 闭区间上的简图 .

?

(1)为了得到函数 y ? 3 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? ( A)向右平行移动 ( B )向左平行移动

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ?

?

? ?
5

个单位长度. 个单位长度.

5 2? (C )向右平行移动 个单位长度. 5 2? ( D )向左平行移动 个单位长度. 5

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5
(2)为了得到函数 y ? 3 sin(2 x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? B ? ( A)横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变 1 ( B)横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的 2倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2

?

?

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ? (3)为了得到函数 y ? 4 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? 4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4

?

2.把y ? sin( 2 x ? )的图象向右平移 个单位, 3 6 这时图象所表示的函数 为? D ? A. y ? sin( 2 x ? ) 2 B. y ? sin( 2 x ? ) 6 3 C. y ? sin( 2 x ? ) 2 D. y ? sin 2 x

?

?

? ?

x ? x 3.要得到函数 y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 2 6 2 的图象? C ? A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向左平移

?
6

?
6

?
3

?
3

作正弦型函数y=Asin(?x+?) 的图象的方法:
(1)利用变换关系作图; (2)用“五点法”作图。


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