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抛物线及其标准方程(第一课时公开课课件)


抛物线及其标准方程

授课人:刘剑 2006年11月6日

椭圆、双曲线的第二定义:
平面内到一个定点的距离和到一条定直线 的距离的比是常数e的点的轨迹……
当 0< e < 1时
L

当e>1时
M
F L

当e=1时
l

M
F ·

·
e>1 双曲线

·
M

· F

0< e < 1 椭圆

e=1
什么曲线?

分类探究
1、当定点F在定直线L上时,到定点F的距离等 于到定直线L的距离的点的轨迹会是什么图形?

l

∟F

·

2、当定点F不在定直线L上时,到定点F的距离 等于到定直线L的距离的点的轨迹会是什么图形?
L
M

∟ ∟

N

· · · ·P ·· F · · · ·

抛物线
这是一条什么曲线?
是椭圆?是双曲线的一支?

都不是,因为不满足椭圆和双曲线的定义

这条曲线叫抛物线

一、定义

前提: 1、平面内
2、定点不在定直线上 L

平面内到一个定点F和一条定直线 l 的 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。

N

M

· F ·

定点到定直线的距离叫焦准距

, 则点 M的轨迹是抛物线。 =︳ MF ︳ 即: 若 ︳ MN ︳

二、标准方程

想一想
椭圆和双曲线都有两条对称轴, 我们以这两条对称轴为坐标轴,可以 建立平面直角坐标系。而抛物线只有 一条对称轴,我们以这条对称轴作为 一条坐标轴,那么另一条坐标轴如何 选择才使方程最简? N

l
M

· · F

y

y=ax2
2+bx+c 2 y=ax y=ax +c

o

x

l M

Y
P

O

F

·X

·

二、标准方程
如图,建立直角坐标系: l N K o

设︱KF︱= p (p>0) p p 则F( 2 ,0),l:x = 2 设点M的坐标为(x,y),
由定义可知,|MF|=|MN|

y
M

· · F

x

p 2 p 2 (x ? ) ? y = | x ? | 2 2
化简得

y2 = 2px(p>0)

方程 y2

= 2px(p>0)

叫做抛物线的标准方程。

它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,坐 标是 ( p , 0) ,它的准线方程是 x = ? p l y 2 2
其中p为正常数,它的几何意义是: N K o
M

焦点到准线的距离

· · F

x

﹒ ﹒ ﹒
y

图 形 o







线

标准方程

x

y

o

x

y

o

x


o

y

x

y = 2px 一次项系数为负时焦点在负半轴,开口向左(下)。

准 M 2 2 P线 对于y = 2px; y = – 2px; 的 左边是 y的平方项 ,右边是 x的一次项 ; 位 一次项系数大于0时焦点在 X轴的正半轴, ·置 O F X 一次项系数小于0 时焦点在 X轴的负半轴。 同 对于x2 = 2py; x2 = – 2py. 学 y2 = 2px 同理可得:左边是x的平方项,右边是y的一次项; 们 一次项系数大于0时焦点在 Y轴的正半轴 , 课 2 2 x = -2py x = 2py 后 一次项系数小于0时焦点在 Y轴的负半轴。 类 由此可得出:焦点的位置由一次项及其系数的正负而决定, ·比 开口方向也由一次项及其系数的正负而决定: 探 一次项系数为正时焦点在正半轴 ,开口向右(上) ; 究 2
抛物线标准方程的再认识:( 焦准距 p>0 )

l

Y

例1、(1)已知抛物线的标准方程是 y2 = 6x, 求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。 (3)已知抛物线的标准方程是 y= 6x2, 求它的焦点坐标和准线方程. 解:

例2、求过点A(-3,2)的抛物线的标 准方程。
解:当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p= 当焦点在x轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px, 得p=


A

y

O

x

2 ∴抛物线的标准方程为x =

2 y或 y

=

x



1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程: (1)焦点是F(3,0);

y2 =12x


(2)准线方程 是x =

y2 =x

2 =4x、 y2 = -4x、 y (3)焦点到准线的距离是2。 x2 =4y 或 x2 = -4y

2、求下列抛物线的焦点坐标和焦点坐标: (1)y2 = 20x (2)x2= y

(3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0

焦点坐标

准线方程

(1) (2) (3)

( 5, 0)
1 (0,—) 8 5 ( - —, 0 ) 8

x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8

(4)

(0,-2)

y=2

例1:点M与点F(4,0)的距离 比它到直线L:x+5=0的距离小 1,求点M的轨迹方程。

例2:斜率为1的直线经过抛物线y2=4x 的焦点,与抛物线相交于两点A、B, 求线段AB的长。

小结:
1、椭圆、双曲线与抛物线的定义的联 系及其区别;
2、会运用抛物线的定义、标准方程求它 的焦点、准线方程;

3、充分体现数形结合的思想。

提高练习
1、求以双曲线 点为焦点的抛物线的方程。 的右顶点为顶点,左顶

作 业
课本 P119 练习8.5
2、 3 、 4

例4.在抛物线 y2=8x 上求一点P,使P到焦点 F 的距离与到 Q(4 ,1)的距离的和最小,并求 最小值。
解:

K
K

P


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