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《3.1.3空间向量的数量积运算》教学设计_图文

《3.1.3 空间向量的数量积运算》教学设计 教学目标: 知识与技能目标: 知识:1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2.掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解 决立体几何中的一些简单问题. 技能:将立体几何问题转化为向量的计算问题 过程与方法目标: 1.培养类比等探索性思维,提高学生的创新能力. 2.培养学生把空间立体几何问题转化为向量的计算问题的思想. 情感与态度目标: 1. 获得成功的体验,激发学生学习数学的热情; 2. 学习向量在空间立体几何中的应用, 感受到数学的无穷魅力. 教学重点:两个向量的数量积的计算方法及其应用. 教学难点:将立体几何问题转化为向量的计算问题. 教辅工具:多媒体课件 教学程序设计: 程序 教师活动 学生 活动 设计意 图 一、几个概念 1) 两个非零向量的夹角的定义 a O A 类 比 对于思 a B 平 面 考题 , 主 向 量 要是让 夹 角 学生理 的 定 解夹角 义 , 的概念, C ? ? 规定:0 ? ? a, b? ? ? b b ? ? ??? ? ? ??? ? ? 如图,已知两个非零向量a, b, 在空间任取一点O,作OA ? a, OB ? b, ? ? ? ? 则角?AOB叫做向量a与b的夹角,记作: ? a, b? 类比 学习 如果? a, b? ? ? ? ? ? 这样,两个向量的夹角就被唯一确定了,并且? a, b?=?b, a? ? A 2 , 则称 a与b互相垂直,并记作: a?b ??? ? ??? ? ? ______ 度 思考:正三角形ABC中,? AB, BC? ? 120 B 理 解 空 间 向 量 的 夹 角. 2)两个向量的数量积 已知空间两个非零向量 a, b,则 a b cos? a, b?叫做向量a, b的数量积, 记作: a ? b,即 a ? b ? a b cos? a, b? 类 比 理解空 平 面 间向量 向 量 数量积 数 量 的定义 积 的 和几何 定 意义 . 特 类比平面向量,说说 a ? b 的几何意义。 几何意义: ? ? ? ? a 与 b 的数量积 a ? b 等于 ? ? ? ? ? ? ? a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b | cos? a, b ? 的乘积. ? ? B B B 类比 学习 A O O ? 2)两个向量的数量积 ? ? b cos? a , b ? B1 A O A ?B1a, b ? ? ? B 已知空间两个非零向量 ?1 叫做向量 的数量积, ? ? a, b b cos ? a,则 , b ? a b cos? a, b b cos? a , b ? 大于 记作: a ? b,0 即 等于 a ?b 0 ? a b cos? a, b? 小于0 义 . 别要理 学 生 解投影 集 体 的概念. 回 答 出 空 间 向 几个重要结论: ①两个向量的数量积是数量,而不是向量. ? ? 0? a ? 0 ②规定: ? ? ? ? ③非零向量 a ? b ? a ? b ? 0 ? ? ④ a ? a2 ? ? a ?b ? ? ⑤ cos? a , b ? ? ? ? a b 量 的 3)空间向量的数量积满足的运算律 ? ? ? ? 2) a ? b ? b ? a (交换律) ? ? ? ? ? ? ? 3) a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c (分配律) ? ? ? ? 1) (? a) ? b ? ?(a ? b) 数 量 积 定 义 及 几 何 意 义 等. 对于几 个重要 的结论 , 主要是 让学生 理解几 个重要 的结论 , 特别是 长度和 夹角的 计算公 式. 2 1.已知 a ? 2 2 , b ? , a ?b ? ? 2 2 二、 课堂练习 对 于 对于练 练 习 习 1,2 1 、 2 和 3 ,主 和 3, 要 是 让 学 生 学生熟 独 立 悉向量 完 成 数量积 后 , 公式,理 D C 135? . 则a , b所夹的角为________ ?? ? 2.对于空间中任意向量a, b和c,请判断下列说法的对错: ? ? ? ? ? ? 1) 若a ? b ? 0, 则a ? 0, b ? 0 ( ) ? ? ? ? ? ? 2) (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ( ) ? ? ? ? ? ? 3)若a ? b ? a ? c,则 b ? c ( ) ? ? ? k 4)若a ? b ? k,则 b ? ? ( ) 二、 课堂练习 a × × × × 3.如图:已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线长都 等于1,点E、F 分别是AB、AD的中点。 计算: ( 1 ) EF ? BA (2) EF ? BD (3) EF ? DC (4) EF ? AC A F 例题 与练 习 分析 1 4 1 2 1 ? 4 0 E B 同 桌 解数量 间 交 积的概 流. 念。 ??? ? ???? ? ???? ??? ? 1 ??? EF ? AC ? ? DB ? ( DC ? DA) 2 ? ???? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ? DB ? DC ? DB ? DA 2 2 1 1 ? ? ? 1? 1? cos 60? ? ? 1? 1? cos 60? ? 0 2 2 三、例题与练习: 利用空间向量数量积求异面直线所成的角(或余弦值) 例1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线 BC1 与 AC 所成 60 的角的大小等于___________. 方法一:几何法 ? D1 A1 B1 C1 ?CAD1的大小就等于直线 BC1与AC 所 成的角的大小 方法二:向量法 A D B C 例1.如图所示,在正方体ABCD

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