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广东省江门市2012年普通高中高三第一次模拟测试文科数学试卷

绝密★启用前

试卷类型:A 江门市 2012 年高考模拟考试


1 3

学(文科)

本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式 V ?
Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ⒈已知集合 M ? ?x | x ? 3? , N 是自然数集,则集合 M ? N 元素的个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

⒉复数 Z ? i ? (1 ? i ) ( i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

⒊下列函数中,既是偶函数又在 ( 0 , ? ? ) 单调递增的是 A. y ?
x

B. y ? cos x

C. y ? e x

D. y ? ln | x |

⒋已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 3 n ,若它的第 k 项满足 2 ? a k ? 5 ,则 k ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

⒌下列结论,不正确的是 ... A.若命题 p : ? x ? R , x ? 1 ,则命题 ? p : ? x ? R , x ? 1 . B.若 p 是假命题, q 是真命题,则命题 ? p 与命题 p ? q 均为真命题. C.方程 mx 2 ? ny 2 ? 1 ( m , n 是常数)表示双曲线的充要条件是 m ? n ? 0 . D.若角 ? 的终边在直线 y ? x 上,且 ? 360 0 ? ? ? 360 0 ,则这样的角 ? 有 4 个. ⒍有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能 性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A.
1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

⒎已知向量 a ? (1 , 2 ) , b ? ( ? 1 , 3 ) , c // a 且 c ? 0 ,则 c 与 b 的夹角是 A. 0 B. ? C.
?
4

D.

?
4



3? 4

⒏以 x 轴为对称轴,以坐标原点为顶点,焦点在直线 x ? y ? 1 上的抛物线的方程是 A. y 2 ? ? 4 x B. y 2 ? 4 x C. y 2 ? ? 2 x D. y 2 ? 2 x

⒐如图 1 是某个正方体的侧面展开图, l1 、 l 2 是两条 侧面对角线,则在正方体中, l1 与 l 2
l1
l2

图1

A.互相平行 C.异面且夹角为
?
3

B.异面且互相垂直 D.相交且夹角为
?
3

⒑设 V 是平面向量的集合, 映射 f :V ? V 满足
?? ? R

? 0 , ? f (a ) ? ? 1 a , ? |a | ?

a ? 0 , a ? 0.

, 则对 ? a 、b ? V ,

,下列结论恒成立的是 B. f (| a | ? a ? | b | b ) ? f [ f ( a ) ? f ( b )] D. f (| b | ? a ? | a | b ) ? f [ f ( a ) ? f ( b )]

A. f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b ) C. f (| a | ? a ) ? f ( a )

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) ⒒执行如图 2 的程序框图,输出的 S ? ⒓已知 x 、 y 满足约束条件 ? 则 2 x ? y 的最大值是
?1 ? x ? y ? 3 , ? | x |? 1 .

开始

. ,

S ? 0, k ? 0

S ? S ? cos

k? 2
k ? k ?1


k ? 2012 ?

⒔已知函数 f ( x ) ? (1 ? cos 2 x ) sin 2 x , x ? R . 若 f (? ) ?
1 4



,则 f (? ?

?
8

) ?



否 输出 S 结束 图2

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ⒕(几何证明选讲选做题)如图 3, E 、 F 是梯形 ABCD 的腰 AD 、 BC 上的点,其中 CD ? 2 AB , EF // AB ,若
EF AB ? CD EF

A E

B F

,则

AE ED

?


D

⒖(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,经过 点 A(2 ,
?
3 ) 且垂直于 OA

图3

C

( O 为极点)的直线的极坐标方程是



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分) 如图 4,四边形 ABCD 中, AB ? 5 , AD ? 3 , cos A ?
? BCD

4 5


D

C

是等边三角形.

A

图4

B

⑴求四边形 ABCD 的面积; ⑵求 sin ? ABD . ⒘(本小题满分 14 分) 某年某省有 23 万多文科考生参加高考,除去成绩为 670 分(含 670 分)以上的 6 人与成 绩为 350 分 (不含 350 分) 以下的 38390 人, 还有约 19 . 4 万文科考生的成绩集中在 [ 350 , 670 ) 内, 其成绩的频率分布如下表所示: 分数段 [ 350 , 390 ) 频率 0.108
[ 390 , 430 ) [ 430 , 470 ) [ 470 , 510 )

0.133
[ 550 , 590 )

0.161
[ 590 , 630 )

0.183
[ 630 , 670 )

分数段 [ 510 , 550 ) ⑴请估计 频率 0.193

0.154

0.061

0.007

该次高考成绩

在 [ 350 , 670 ) 内文科考生的平均分(精确到 0 . 1 ) ; ⑵考生 A 填报志愿后,得知另外有 4 名同分数考生也填报了该志愿。若该志愿计划录取 2 人,并在同分数考生中随机录取,求考生 A 被该志愿录取的概率。
(参考数据:610×0.061+570×0.154+530×0.193+490×0.183+450×0.161+410×0.133=443.93)

⒙(本小题满分 14 分) 如图 5,已知四棱柱 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 的俯视图是边长为 3 的正方形,侧视图是长为 3 宽 为 3 的矩形. ⑴求该四棱柱的体积; ⑵取 DD 1 的中点 E ,证明:面 BCE ? 面 ADD 1 A1 .
D1

C1 B1

1

1

1

3

A1
D A B

3

3

C

图5

侧视图 俯视图

⒚ (本小题满分 12

分) 某产品生产成本 C 与产量 q ( q ? N * )的函数关系式为 C ? 100 ? 4 q ,销售单价 p 与产量
q

的函数关系式为 p ? 25 ?

1 8

q



⑴产量 q 为何值时,利润最大?

⑵产量 q 为何值时,每件产品的平均利润最大?

⒛(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,长轴在 x 轴上,经过点 A ( 0 , 1) ,离心率 e ? ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设直线 l n : y ?
an ? 1 2 xn
2

2 2



1 n ?1

( n ? N * )与椭圆 C 在第一象限内相交于点 A n ( x n , y n ) ,记
1 2

,试证明:对 ? n ? N * , a 1 ? a 2 ? ? ? a n ?



21(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? ax ? 1 , a ? R 是常数. ⑴求函数 y ? f ( x ) 的图象在点 P (1 , f (1)) 处的切线 l 的方程, 并证明函数 y ? f ( x ) x ? 1 ) ( 的图象在直线 l 的下方; ⑵讨论函数 y ? f ( x ) 零点的个数.

文科数学评分参考
一、选择题 二、填空题 CBDCA ADBDC ⒒1 ⒓4 ⒔
1 2

或 0 (不计顺序,全对 5 分,对任意 1 个给 3 分;本次测试

不计较学生将“或”写成“和” ,但请教师在讲评中强调两者不能混淆) ⒕ 三、解答题
2 2

(或相等的数值)

⒖ ? cos(

?
3

??) ? 2

(或等价方程)

⒗⑴由余弦定理得 BD 因为 cos A ?
? 1 2 4 5

2

? AB

2

? AD

2

? 2 ? AB ? AD ? cos A ??2

分, ? 10 ??3 分;

,所以 sin A ?
1 2 AD sin ? ABD ?

3 5

??4 分,四边形 ABCD 的面积 S ? S ? ABD ? S ? BCD
2

? AB ? AD ? sin ? BAD ?

? BD BD

? sin ? DBC

??6 分,

?

9?5 3 2

??8 分.

⑵由正弦定理得
AD BD

??10 分,所以
9 10 50

sin A

sin ? ABD ?

? sin A ??11

分;

?

??12 分.

⒘⑴由所给的数据估计该年广东省文科考生成绩在 [ 350 , 670 ) 内的平均分为
650 ? 0 . 007 ? 610 ? 0 . 061 ? 570 ? 0 . 154 ? 530 ? 0 . 193 ? 490 ? 0 . 183 ? 450 ? 0 . 161 ? 410 ? 0 . 133 ? 370 ? 0 . 108 ? 488 . 44 ? 488 . 4

(分)??6 分(列式 3 分,计算 2 分,取近似值 1 分;

列式但无计算而写 ? 488 . 4 扣 1 分;列式但无计算而写 ? 488 . 4 扣 2 分) ⑵设另外 4 名考生分别为 b 、 c 、 d 、 e ,则基本事件有: ( A , b ), ( A , c ), ( A , d ), ( A , e ),
( b , c ), ( b , d ), ( b , e ), ( c , d ), ( c , e ), ( d , e ) ??10 ( A , b ), ( A , c ), ( A , d ), ( A , e ) ,共

分,共 10 种??11 分,考生 A 被录取的事件有
4 10 ? 0 .4

4 种??13 分,所以考生 A 被录取的概率是 P ?

??14

分.“基本事件”与“考生 A 被录取的事件”两部分独立给分) (

⒙⑴依题意,四棱柱的底面是矩形,侧面 ABB 1 A1 与底面垂直,过 A1 作底面垂线的垂足是 AB 的中点,四棱柱的体积 V ? S ABCD ? h ??2 分, ? AB ? AD ? h ??3 分,
? 2? 3? 3

??5 分, ? 6 3 ??6 分

⑵连接 CD 1 ,依题意 ? CDD 1 是正三角形??8 分,所以 CE ? DD 1 ??9 分, 又 AD ? 面 CDD 1 C 1 ??10 分, CE ? 面 CDD 1 C 1 ,所以 AD ? CE ??11 分, 因为 AD ? DD 1 ? D ,所以 CE ? 面 ADD 1 A1 ??12 分, 因为 CE ? 面 BCE ,面 BCE ? 面 ADD 1 A1 ??14 分.
1 8

⒚⑴销售收入 R ? q ? p ? 25 q ?

q

2

??1 分

利润 L ? R ? C ? ? q 2 ? 21 q ? 100 ( 0 ? q ? 200 ,不影响赋分)??3 分
8

1

L ? ?

1 8

( q ? 84 ) ? 782
2

??4 分,所以产量 q ? 84 时,利润 L 最大??5 分
L q ? 21 ? ( 1 8 q? 100 q ) ??7

⑵每件产品的平均利润 f ( q ) ?
f
/



? ?

1 8

?

100 q
2

??8 分,解 f / ? 0 得 q ? 20 2 ??9 分,

0 ? q ? 20

2

时, f / ? 0 , f 单调递增; 20 2 ? q ? 200 时, f / ? 0 , f 单调递减??10

分。因为 28 ? 20 2 ? 29 ,且 f ( 28 ) ? f ( 29 ) ,所以产量 q ? 28 时,每件产品的平均利润 L 最 大??11 分 答: (略)??12 分.
2 2 2 2

⒛⑴依题意,设椭圆 C 的方程为
? 1 ?b2 ? 1 ? ? c ? e ? ? ? a ?

x a

?

y b

? 1 ( a ? b ? 0 )??1

分,则

a ?b
2

??3 分,解得 b ? 1 , a ?
2

2

??5 分,

?
x
2

2 2
? y
2

a

椭圆 C 的方程为

? 1 ??6

分.

2

?x2 2 ? y ?1 ? ? 2 ⑵解 ? ??7 ?y ? 1 ? n ?1 ?

分,得 x n ?
2

2n(n ? 2) ( n ? 1)
n(n ? 2) ( n ? 1)
2 2

??8 分, a n ?

1 2

xn ?

2

n(n ? 2) ( n ? 1)
2

??9 分,所

以 a1 ? a 2 ? ? ? a n ?
? 1 ? (n ? 2) 2 ( n ? 1)

1? 3 2
2

?

2?4 3
2

?

3?5 4
2

?? ?

??10 分
? 1 2

??13 分,

??14 分.

21.⑴ f (1) ? ? a ? 1 , k l ? f / (1) ? 1 ? a ??1 分,所以切线 l 的方程为
y ? f (1) ? k l ? ( x ? 1) ,即 y ? (1 ? a ) x ??2

分.

作 F ( x ) ? f ( x ) ? (1 ? a ) x ? ln x ? x ? 1 , x ? 0 ??3 分,则
F (x) ?
/

1 x

?1 ?

1 x

(1 ? x ) ,解 F ( x ) ? 0
/

得 x ? 1 ??4 分.

??5 分
x
( 0 , 1)

1

(1 , ? ? )

F (x)

/

?

0

- 所以 ? x ? 0 且 x ? 1 , F ( x ) ? 0 , f ( x ) ? (1 ? a ) x ,即

F (x)



最大值 ↘

函数 y ? f ( x ) ( x ? 1 )的图像在直线 l 的下方??6 分. ⑵ f ( x ) 有零点,即 f ( x ) ? ln x ? ax ? 1 ? 0 有解, a ?
a ?
/

ln x ? 1 x

??7 分

1 ? (ln x ? 1) x
2

? ?

ln x x
2

,解 a / ? 0 得 x ? 1 ??8 分,类似⑴列表讨论知 a ? 1 ,即若 f ( x ) 有

零点,则 a ? 1 ;若 a ? 1 ,则 f ( x ) 无零点??9 分。 若 a ? 1 , f ( x ) ? ln x ? x ? 1 ,由⑴知 f ( x ) 有且仅有一个零点 x ? 1 ??10 分 若 a ? 0 , f ( x ) ? ln x ? ax ? 1 单调递增,由幂函数与对数函数单调性比较知 f ( x ) 有且仅有一 个零点(或:直线 y ? ax ? 1 与曲线 y ? ln x 有一个交点)??11 分 若 0 ? a ? 1 ,解 f / ( x ) ? 大值??12 分, f ( ) ? ln
a 1 a
f ( x ) 在单调递增区间 ( 0 ,

1 x

?a ? 0

得x ?

1 a

( ? 1)

,类似⑴列表讨论知, f ( x ) 在 x ?

1 a

处取最

1

1 a

? 0

, 由幂函数与对数函数单调性比较知, x 充分大时 f ( x ) ? 0 , 当
1 e a e ? 0

即 f ( x ) 在单调递减区间 ( , ? ? ) 有且仅有一个零点??13 分;又因为 f ( ) ? ?
1 a

,所以

) 有且仅有一个零点, 综上所述, a ? 1 时, f ( x ) 无零点; a ? 1 当 当

或 a ? 0 时, f ( x ) 有且仅有一个零点;当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 有两个零点??14 分.


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