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2019版北师大版数学必修四:《探索函数y=asin(ωx+φ)的图像及性质》导学案(含解析)_图文

2019 版数学精品资料(北师大版) 第 9 课时 探索函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及性质
1.熟练掌握五点作图法的实质. 2.理解表达式 y=Asin(ωx+φ),掌握 A、φ、ωx+φ 的含义. 3.理解振幅变换和周期变换的规律,会对函数 y=sin x 进行振幅和周期的变换. 4.会利用平移、伸缩变换方法,作函数 y=Asin(ωx+φ)的图像. 5.结合函数 y=Asin(ωx+φ)的图像分析函数的性质.

在物理和工程技术的许多问题中,经常会遇到形如 y=Asin(ωx+φ)的函数,例如:在简谐振动中位移与时 间表示的函数关系就是形如 y=Asin(ωx+φ)的函数.正因为如此,我们要研究它的图像、性质及其应用,今天先 来学习它的图像和性质.

问题 1:利用“五点法”画函数 y=Asin x,y=sin(x+φ),y=sin ωx(ω>0)简图的五个关键点列表如下:
y=Asin x y=sin(x+φ) y=sin ωx
(0,0) ( ,A) ( ,-A)

(-φ,0)

( -φ,1)

(

,0)

(

-φ,
( ,-1)

)

(2π-φ,0)

(0,0)

(

,1)

(

,0)

(

,0)

问题 2:如何由函数 y=sin x 的图像变换得到 y=Asin x,y=

,y=sin ωx(A,ω>0)的图像?

y=sin x y=sin x y=

y=
,

,

y=sin x

y=

.

问题 3:在 y=Asin(ωx+φ)中,A,φ,ω 这三个系数分别有什么意义和作用? 通常称 A 为 ,A 决定了函数的 ,周期 T= ;称 φ 为 ,ωx+φ 叫 ,φ 决定了 时 的函数值;ω 决定了函数的

.

问题 4:如何由函数 y=sin x 的图像变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图像?

路径 1:y=sin

x
路径 2:y=sin

y=

y=

y=Asin(ωx+φ).

x

y=

y=

y=Asin(ωx+φ).

1.用“五点法”作 y=2sin 2x 的图像时,首先描出的五个点的横坐标是( A.0, ,π, ,2π B.0, , , ,π

).

C.0,π,2π,3π,4π D.0, , , , 2.要得到函数 y=sin(2x- )的图像,需将函数 y=sin 2x 的图像( A.向左平移 个单位 C.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位 ).

3.函数 y=|sin x|的一个单调增区间是

.

①(- , );②( , );③(π, );④( ,2π).
4.若函数 y=a-bsin x 的最大值为 ,最小值为- ,试求函数 y=-4asin bx 的最值及周期.

函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及变换 用五点法画出函数 y=2sin(2x+ )(x∈R)的图像,并指出它是由 y=sin x 图像如何变换得到的.

函数 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用

右图为 y=Asin(ωx+φ)的图像的一段. (1)求其解析式; (2)若将 y=Asin(ωx+φ)的图像向左平移 个单位长度后得 y=f(x),求 f(x)的对称轴方程.

求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式或参数 A、ω、φ 等 如图,给出的是函数 y=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的一段图像,求 ω 和 φ 的值.

函数 y=

的图像如图所示,则(

).

A.k= ,ω= ,φ= B.k= ,ω= ,φ= C.k= ,ω=2,φ= D.k=-2,ω= ,φ=

已知函数 f (x)=sin(2ωx+ )+ (ω>0),x∈R 在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 . (1)求 ω 的值; (2)若将函数 f(x)的图像向右平移 个单位后,再将得到的图像上各点横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不 变,得到函数 y=g(x)的图像,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间.

已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图像的一部分如图所示.求函数 f(x)的解析式.

1.下列函数中,周期为 π 且在[0, ]上是减函数的是( A.y=sin(x+ ) B.y=cos(x+ )

).

C.y=sin 2x D.y=cos 2x 2.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期为 π,则该函数的图像( A.关于点( ,0)对称 C.关于点( ,0)对称 B.关于直线 x= 对称 D.关于直线 x= 对称 ,则 ).

3.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,- ≤φ≤ )的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为 2

ω=

.

4.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω≤2 且 0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,其图像过点 M(0,2).又 f(x)的图像关于 点 N( ,0)对称且在区间[0,π]上是减函数,求 f(x)的解析式.

(2012 年·陕西卷)函数 f(x)=Asin(ωx- )+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为

.
(1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 α∈(0, ),f( )=2,求 α 的值.

考题变式(我来改编):

答案
第 9 课时 探索函数 y=Asin(ωx+φ)的 图像及性质
知识体系梳理 问题 1:(π,0) (2π,0) π -φ

-1

问题 2:sin(x+φ) 问题 3:振幅

Asin x sin(x+φ) sin ωx
初相 相位

最值

x=0 周期

问题 4:sin ωx sin(ωx+φ) sin(x+φ) sin(ωx+φ) 基础学习交流 1.B 令 2x=0, ,π, ,2π 得 x=0, , , ,π.故选 B. 2.D ∵y=sin(2x- )=sin[2(x- )],∴把函数 y=sin 2x 的图像向右平移 个单位,就能得到函数 y=sin(2x- )的图像, 即选 D. 3.③ 作出函数 y=|sin x|的图像.观察可知,函数 y=|sin x|在(π, )上递增. 4.解:设 t=sin x∈[-1,1],

①当 b>0 时,a-b≤a-bt≤a+b,∴ ∴ ∴所求函数为 y=-2sin x. ∴

②当 b<0 时,同理可得 ∴所求函数为 y=-2sin(-x)=2sin x.

∴综合①②得,所求函数为 y=±2sin x,其最小值为-2,最大值为 2,周期为 2π.
重点难点探究 探究一:【解析】(1)列表:
x
2x+

0 0 2 π 0 2π

y

-2

0

(2)描点.

(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像,如图所示: 利用函数的周期性,我们要把上面所得到的图像向左、 右扩展,得到 y=2sin(2x+ )(x∈R)的简图(图略).

(法一)y=sin x

y=sin 2x

y=sin[2(x+ )]=sin(2x+ ) y=2sin(2x+ ).
(法二)y=sin x

y=sin(x+ )

y=sin(2x+ )

y=2sin(2x+ ).

【小结】五点法作 y=Asin(ωx+φ)+b 的图像,是将 ωx+φ 看成一个整体,ωx+φ 分别取 0, ,π, ,2π, 求出的 x 才是要取的五个关键点的 x 值. 探究二:【解析】(1)由图像知 A= ,

以 M( ,0)为第一个零点,N( ,0)为第二个零点. 列方程组 解之得 sin(2x- ). sin(2x- ),

∴所求解析式为 y=
(2)f(x)=

sin[2(x+ )- ]=

令 2x- = +kπ(k∈Z),则 x= π+ (k∈Z),

∴f(x)的对称轴方程为 x= π+ (k∈Z).
【小结】(1)求函数解析式要找准图像中的“五点”,利用方程求解 ω,φ;(2)讨论性质时将 ωx+φ 视为一 个整体. 探究三:【解析】∵T=4×[ -(- )]=π,∴ω= =2. 又∵(- ,0)在函数图像上,

∴2sin(- ×2+φ)=0,∴φ- =kπ,k∈Z.
又∵|φ|<π,∴φ= 或 φ=- π. [问题]φ 的两解都正确吗? [结论]不正确.点(- ,0)只可能是“五点法”中的第三点,所以应是 φ- =2kπ+π,k∈Z. 于是,正确解答如下:

∵T=4×[ -(- )]=π,∴ω= =2.
又∵(- ,0)在函数图像上,

∴2sin(- ×2+φ)=0,∴φ- =2kπ+π(k∈Z),即 φ=2kπ+ .
又∵|φ|<π,∴φ=- π. 【小结】根据图像确定参数 A,ω,φ 的关键是要利用好图像确定 φ,还要注意规定的 φ 的取值范围. 思维拓展应用 应用一:A 本题的函数是一个分段函数,其中一个是一次函数,其图像是一条直线,由图像可判断该直线 的斜率 k= .另一个函数是三角函数,三角函数解析式中的参数 ω 由三角函数的周期决定,由图像可知函数的 周期为 T=4×( - )=4π,故 ω= .将点( ,0)代入解析式 y=2sin( x+φ),得 × +φ=kπ(k∈Z),所以 φ=kπ- (k∈Z). 结合各选项可知,选项 A 正确. 应用二:(1)f(x)=sin(2ωx+ )+ ,令 2ωx+ = ,将 x= 代入可得 ω=1. (2)由(1)得 f(x)=sin(2x+ )+ ,经过题设的变化得到函数 g(x)=sin( x- )+ , 当 x=4kπ+ π(k∈Z)时,函数 g(x)取得最大值 . 令 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ π, 即[4kπ+ ,4kπ+ π](k∈Z)为函数 g(x)的单调递减区间. 应用三:由图像可知 A=2,T=8.∴ω= = = . (法一)由图像过点(1,2), 得 2sin( ×1+φ)=2,

∴sin( +φ)=1. ∵|φ|< ,∴φ= ,

∴f(x)=2sin( x+ ).
(法二)∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点,

∴ ×1+φ= ,∴φ= , ∴f(x)=2sin( x+ ).
基础智能检测 1.D 正确表达三角函数的周期性和单调性. 2.A 由已知,ω=2,所以 f(x)=sin(2x+ ),因为 f( )=0,所以函数图像关于点( ,0)中心对称,故选 A. 3. 由已知两相邻最高点和最低点的距离为 2 ,而 f(x)max-f(x)min=2,由勾股定理可得

=

=2,∴T=4,∴ω= = .

4.解:∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(x)关于 y 轴对称,即当 x=0 时,φ=kπ+ (k∈Z),又 0≤φ≤π,∴φ= . 又∵f(x)过点 M(0,2),∴Asin =A=2,

∴f(x)=2sin(ωx+ )=2cos ωx.
又 f(x)的图像关于点 N( ,0)对称,

∴f( )=2cos( π)=0, ∴ π=kπ+ (k∈Z),ω= (k+ )(k∈Z).
又 0<ω≤2,∴ω= 或 ω=2. 最后根据 f(x)在区间[0,π]上是减函数, 可知只有 ω= 满足条件.所以 f(x)=2cos x. 全新视角拓展 (1)∵函数 f(x)的最大值为 3,∴A+1=3,即 A=2.

∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 , ∴最小正周期 T=π,∴ω=2,
故函数 f(x)的解析式为 y=2sin(2x- )+1. (2)∵f( )=2sin(α- )+1=2, 即 sin(α- )= ,

∵0<α< ,∴- <α- < ,

∴α- = ,故 α= .
思维导图构建 振幅 频率

ωx+φ 初相


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