koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> >>

高中数学必修一二四五

数学必修 1-5 常用公式及结论

【必修 1】:

一、集合 1、含义与表示:(1)集合中元素的特征:确定性,互

异性,无序性 (2)集合的分类;有限集,无限集 (3)集合的表示法:列举 法,描述法,图示法
2、集合间的关系:子集:对任意 x ? A,都有 x ? B , =则称 A 是 B 的子集。记作 A ? B
真子集:若 A 是 B 的子集,且在 B 中至少存在一个元素不属于 A,则 A 是 B 的真子集,

记作 A ? B

集合相等:若: A ? B, B ? A,则

?

A? B

3. 元素与集合的关系:属于? 不属于:?

空集: ?

4、集合的运算:并集:由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成
的集合叫并集,记为 A B
交集:由集合 A 和集合 B 中的公共元素组成的
集合叫交集,记为 A B
补集:在全集 U 中,由所有不属于集合 A 的元 素组成的集合叫补集,

记为 CU A 5.集合{a1, a2 , , an} 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集有 2n –1 个;
----------------------------------------------------

--------------------------

三、二次函数 y = ax2 +bx + c( a ? 0 )的性质

1、顶点坐标公式:??? ? ?

b 2a

,

4ac ? 4a

b2

????

, 对称轴:x

?

?

b 2a



最大(小)值: 4ac ? b 2 4a
2.二次函数的解析式的三种形式
(1) 一般式 f ( x) ? ax2 ? bx? c( a? 0); (2) 顶点式 f ( x) ? a( x? h)2 ? k( a? 0;)
(3)两根式 f (x) ? a(x ? x1)(x ? x2 )(a ? 0) .
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则:
(1)a m ? a n = a m + n , (2) a m ? a n ? a m?n ,
(2)(3)( a m ) n = a m n (4)( ab ) n = a n ? b n

五、对数与对数函数
1 对数的运算法则: (1)a b = N <=> b = log a N(2)log a 1 = 0(3)log a a = 1(4)log a a b = b(5)a = log a N N (6)log a (MN) = log a M + log a N
(7)log a ( M ) = log a M -- log a N N
(8)log a N b = b log a N

6.常用数集:自然数集:N 正整数集: N * 整数集:Z
有理数集:Q 实数集:R 二、函数的奇偶性 1、定义: 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ,偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )(注意定义域)

2、性质:(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形;

(2)偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形;

(3)如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函 数; (4)如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函 数.

二、函数的单调性

1、定义:对于定义域为 D 的函数 f ( x ),若任意的 x1, x2∈D,

且 x1 < x2 ① f ( x1 ) < f ( x 2 ) <=>
<=> f ( x )是增函数

f ( x1 ) – f ( x2 ) < 0

② f ( x1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数

2、复合函数的单调性: 同增异减

(5)

?? ?

a ??n b?

?

an bn

(6)a 0 = 1 ( a≠0)

(7) a ?n ? 1

n
(8) a m

? m an

?n
(9) a m

?

1

an

m an

----------------------------------------------------------------------------2、根式的性质
(1) ( n a )n ? a .

(2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 当 n 为偶数时,

n

an

?|

a

|?

?a, a ? 0 ???a, a ? 0

.

3、指数函数 y = a x (a > 0 且 a≠1)的性质:

(1)定义域:R ; 值域:( 0 , +∞)

(2)图象过定点(0,1)

4. Y指 数 式 与 对 数 式 的 互Y 化 :

loga N ? b a?>ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

1

0<a<

1

(9)换底公式:log 0

a XN

=

logb N logb a

1 1

0

X

( 10 ) 推 论

logam

bn

?

n m

loga

b

(

a?0

,且

a ?1, m, n ? 0 ,且 m ? 1, n ?1, N ? 0).

(11)log a N = 1 log N a

(12)常用对数:lg N = log

N 10 (13)自然对数:ln A = log e A (其中 e = 2.71828…)

2、对数函数 y = log a x (a > 0 且 a≠1)的性质:

(1)定义域:( 0 , +∞) ; 值域:R

(2)图象过定点(1,0)

Y

a >1

Y

0<a<1

六、幂函数 y = Xa 的图象:(1) 根据 a 的X 取值画出函数在第一象限的简图 .

0

1

1

X

a>1 例如: y = x 2

0<a<1
1
y ? x ? x2

0 a<0
y ? 1 ? x ?1 x

七.图象平移:若将函数 y ? f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位, 得到函数 y ? f (x ? a) ? b 的图象; 规律:左加右减,上加下减

八. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有 y ? N (1? p)x .

九.函数的零点:
1.定义:对于 y ? f (x) ,把使 f (x) ? 0 的 X 叫 y ? f (x) 的零点。即 y ? f (x) 的图象与 X 轴相交时交点的横坐标。
? ? 2.函数零点存在性定理:如果函数 y ? f (x) 在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条

曲线,并有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么 y ? f (x) 在区间 ?a,b? 内有零点,即存在 c ??a,b? ,

使得 f (c) ? 0 ,这个 C 就是零点。 3.二分法求函数零点的步骤:(给定精确度 ? )

(1)确定区间 ?a,b? ,验证

f

(a) ?

f

(b)

?

0

;(2)求 ?a,b? 的中点

x1

?

a

? 2

b

(3)计算 f (x1) ①若 f (x1) ? 0 ,则 x1 就是零点;②若 f (a) ? f (x1) ? 0 ,则零点

x0 ??a, x1 ? ③若 f (x1) ? f (b) ? 0 ,则零点 x0 ?? x1,b? ;

(4)判断是否达到精确度 ? ,若 a ? b ? ? ,则零点为 a 或 b 或 ?a,b? 内任一值。否则重复(2)到(4)

【必修 2】:一、直线与圆

1、斜率的计算公式:k = tanα = y2 ? y1 (α ≠ 90°,x 1≠x 2) x2 ? x1

2、直线的方程

(1)斜截式 y = k x + b,k 存在 ; (2)点斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) ,k 存在;

(3)两点式

y ? y1 y2 ? y1

?

x ? x1 x2 ? x1

( x1

?

x2 , y1

?

y2 )



4)截距式 x ? y ? 1 ( a ? 0,b ? 0 ) ab
(5)一般式 Ax ? By ? c ? 0(A, B不同时为0)

3、两条直线的位置关系:

重合 平行 垂直

l1:y = k1 x + b1 l2:y = k 2 x + b2
k1= k 2 且 b1= b2
k1= k 2 且 b1≠ b2 k1 k 2 = – 1

l1: A1 x + B1 y + C1 = 0 l2: A2 x + B2 y + C2 = 0
A1 A2 + B1 B2 = 0

? ? ? ? 4、两点间距离公式:设 P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 ),则 | P1 P2 | = x1 ? x2 2 ? y1 ? y2 2

5、点 P ( x 0 , y 0 )到直线 l :A x + B y + C = 0 的距离: d ? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B2

C ?C 6,两平行线之间的距离 d= | 2

|
1

A2 ? B2

7、圆的方程 标准方程

圆的方程 x 2+ y 2= r 2 (x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = r
2

圆心 (0,0)
(a,b)

半径 r
r

一般方程

x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0

8.点与圆的位置关系

点 P(x0 , y0 ) 与 圆 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的 位 置 关 系 有 三 种 若 d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 , 则 d ? r ? 点 P 在 圆

外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.
9.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d)

直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0

; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .

10.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ; r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线;
0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
11.圆的切线方程
(1)已知圆 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

①若已知切点 (x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

x0 x

?

y0

y

?

D(x0 ? 2

x)

?

E(

y0 ? 2

y)

?

F

?

0

.

当 (x0 , y0 ) 圆外时,

x0 x

?

y0

y

?

D(x0 ? 2

x)

?

E( y0 ? 2

y)

?

F

?

0 表示过两个切点的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k(x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行

于 y 轴的切线.

③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线.

(2)已知圆 x2 ? y2 ? r 2 .

①过圆上的 P0 (x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ;

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1? k2

二、立体几何

(一)、线线平行判定定理:

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那

1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。

么这两个平面平行。

2、垂直于同一平面的两直线平行。3、如果一条直线和一个 (四)、线线垂直判定定理:

平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条 若一直线垂直于一平面,则这条直线垂直于这个平面内的所

直线和交线平行。

有直线。

4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交 (五)、线面垂直判定定理

线平行。

1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么

(二)、线面平行判定定理

这条直线垂直于这个平面。

1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直 2、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交

线与此平面平行。

线的直线垂直于另一个平面。

2、若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线都与 (六)、面面垂直判定定理

另一个平面平行。

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面

(三)、面面平行判定定理:

互相垂直。

(七).证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行.
(八).证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行.
(九).证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点;

(2)转化为线面平行;(3)转化为线面垂直. (十).证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直: (2)转化为线面垂直; (3)利用三垂线定理或逆定理; (十一).证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (十二).证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角;(2)转化为线面垂直.

三、空间几何体

(一)、正三棱锥的性质 A
1、底面是正三角形,若设底面正三角形的边长为 a,则有

图形

外接圆半径

内切圆半径

面积

正三角形 2、正三棱锥的辅助线A作法一般是:
作 PO⊥底面 ABC 于 OO,则 O 为△ABC 的中心,PO 为棱锥的高,

取 AB 的中点 DB,连结D PD、CD,则 PD 为三棱锥的斜高,CD 为△ABC 的 AB 边上的高, 且点 O 在 CD 上。∴△POD 和△POC 都是直角三角形,且∠POD =∠POC = 90°

(二)、正四棱锥的性质

1、底面是正方形,若设底面正方形的边长为 a,则有

图形

外接圆半径 内切圆半径

面积

P

正方形

O

A OB = 2 a

2

B

2、正四棱锥的辅助线作法一般是:

OA = a 2

S=a2

C O

B

E

作 PO⊥底面 ABCD 于 O,则 O 为正方形 ABCD 的中心,PO 为棱锥的高,取 ADB 的中点 E,连结A PE、OE、OA,则 PE 为四棱锥的斜

高,点 O 在 AC 上。∴△POE 和△POA 都是直角三角形,且∠POE =∠POA = 90°

(三)、长方体

长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。

特殊地,若正方体的棱长为 a ,则这个正方体的一条对角线长为 3 a 。
(四)、正方体与球

1、设正方体的棱长为 a,它的外接球半径为 R1,它的内切球半径为 R2,则 3a ? 2R1 , a ? 2R2

D1

C1

(五)几何体的表面积体积计算公式

A1

O

1、圆柱: 表面积:2π R2 +2πRh 体积:πR2h
D

2、圆锥: 表面积:πR2+πRL 体积: πR2h/3 (L 为母A线长)

3、圆台:表面积: ? r2 ? ? R2 ? ? (r ? R)l

体积:V=

B1 6、长方体 a-长 ,b-宽 ,c-高 S=2(ab+ac+bc) V

=abc C 7、B棱柱:全面积=侧面积+2X 底面积

V=Sh

8、棱锥:全面积=侧面积+底面积

V= 1 sh 3

πh(R2+Rr+r2)/3

9、棱台:全面积=侧面积+上底面积+下底面积

4、球:S 球面 = 4π R2

V 球 = 4 π R3 (其中 R 为球的半径) 3

V

?

1 3 (s1

?

s 1? s 2? s )2h

S1,S2 分别为上下底面积

5、正方体: a-边长, S=6a2 ,V=a3

四、三视图 “长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要依据.

画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。

【必修 4 】 一、三角函数与三角恒等变换

1、三角函数的图象与性质

函数

正弦函数

余弦函数

正切函数

图象

定义域 值域

R [-1,1]

R [-1,1]

{x| x≠ ? +kπ ,k∈Z} 2
R

周期性





π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性 对称轴

增区间[- ? +2kπ , ? +2kπ ]

2

2

减区间[ ? +2kπ , 3? +2kπ ]

2

2

x = ? + kπ ( k∈Z ) 2

对称中心

( kπ ,0 ) ( k∈Z )

2、同角三角函数公式 sin 2α + cos 2α = 1 3、二倍角的三角函数公式

增区间[-π +2kπ , 2kπ ] 减区间[2kπ ,π +2kπ ] ( k∈Z )

增区间

(- ? +kπ , ? +kπ )

2

2

( k∈Z )

x = kπ ( k∈Z )



( ? + kπ ,0 )( k∈Z ) 2

( k ? ,0 ) ( k∈Z ) 2

tan? ? sin? cos?

tanα cotα =1

sin2α = 2sinα cosα cos2α =2cos2α -1 = 1-2 sin2α = cos2α - sin2α

4、降幂公式 cos2 ? ? 1 ? cos2? 2
5、升幂公式 1±sin2α = (sinα ±cosα ) 2

sin 2 ? ? 1 ? cos2? 2
1 + cos2α =2 cos2α

tan 2? ? 2 tan? 1 ? tan2 ?
1- cos2α = 2 sin2α

6、两角和差的三角函数公式
sin (α ±β ) = sinα cosβ ? cosα

sinβ cos (α ±β ) = cosα cosβ

? sinα sinβ

7、两角和差正切公式的变形:

tanα ±tanβ = tan (α ±β ) (1 干 tanα tanβ )

1 ? tan? = tan 45? ? tan? = tan ( ? +α )

1 ? tan? 1? tan 45? tan?

4

8、两角和差正弦公式的变形(合一变形)

1 ? tan? = tan 45? ? tan? = tan ( ? -α )

1 ? tan? 1 ? tan 45? tan?

4

asin? ? bcos? ? a2 ? b2 sin?? ? ?? (其中 tan? ? b )
a

9、半角公式: sin ? ? ? 1? cos?

2

2

cos ? ? ? 1? cos?

2

2

tan ? ? ? 1 ? cos? ? sin? ? 1 ? cos? 2 1 ? cos? 1 ? cos? sin?

10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变,符号看象限。”

sin (π -α ) = sinα , sin (π +α ) = -sinα sin (2π -α ) = -sinα sin (-α ) = -sinα

cos (π -α ) = -cosα , cos (π +α ) = -cosα cos (2π -α ) = cosα cos (-α ) = cosα

tan (π -α ) = -tanα ; tan (π +α ) = tanα
tan (2π -α ) = -tanα tan (-α ) = -tanα

sin ( ? -α ) = cosα 2

cos ( ? -α ) = sinα 2

--------------------

sin ( ? +α ) = cosα 2

cos ( ? +α ) = -sinα 2

-----------------------------

11.三角函数的周期公式

函数 y ? sin(? x ??) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ??) ,x∈R(A,ω ,? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ? 2? ;函数 ?

y ? tan(? x ??) , x ? k? ? ? , k ? Z (A,ω ,? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ? ? .

2

?

二、平面向量

(一)、向量的有关概念

1、向量的模计算公式:
2
(1)向量法:| a | = a ? a ? a (2)坐标法:设 a =(x,y),则| a | = x 2 ? y 2
2、单位向量的计算公式:
(1)与向量 a =(x,y)同向的单位向量是
3、平行向量

?? ? ?

x

,

x2 ? y2

y

?? ;

x2

?

y2

? ?

(2)与向量 a =(x,y)反向的单位向量是

?? ?

?

?

x, x2 ? y2

?

y ?? ;

x2

?

y2

? ?

规定:零向量与任一向量平行。设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),λ 为实数

向量法: a ∥ b ( b ≠ 0 )<=> a =λ b 坐标法: a ∥ b ( b ≠ 0 )<=> x1 y2 – x2 y1 = 0 <=> x1 ? x2 (y1 ≠0 ,y 2 ≠0) y1 y2

4、垂直向量规定:零向量与任一向量
垂直。设 a =(x1,y1), b =(x2,y2)

向量法: a ⊥ b <=> a · b = 0 坐标法: a ⊥ b <=> x1 x 2 + y1 y 2 = 0

5.平面两点间的距离公式

dA,B =| AB |? AB ? AB ? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 (A (x1, y1) ,B (x2 , y2 ) ).
---------------------------------------------------- (三)、向量的减法

--------------------------

(1)向量法:三角形法则(首首相接尾尾连,差向量的方向

(二)、向量的加法 (1)向量法:三角形法则(首尾相接首尾连),平行四边形

指向被减向量)(2)坐标法:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),

法则(起点相同连对角)(2)坐标法:设 a =(x1,y1), b = 则 a - b =(x1 - x2 ,y1- y2)

(x2,y2),则 a + b =(x1+ x2 ,y1+ y2)

(3)、重要结论:| | a | - | b | | ≤ | a ± b | ≤ | a | +

-----------------------------------------------------------------------------

|b |

-------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------

(四)、两个向量的夹角计算公式:

(1)向量法:cos? = a ? b | a || b |

则 cos? =

x1 x2 ? y1 y2

x12 ? y12

x22

?

y

2 2

(2)坐标法:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(五)、平面向量的数量积计算公式:

(1)向量法: a · b = | a | | b | cos y2),则 a · b = x1 x2 + y1 y2

? (2)坐标法:设 a =(x1,y1),b =(x2,

(3) a·b 的几何意义: 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b
在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积.

(六).1、实数与向量的积的运算律:设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 2.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律);
(2)( ? a)·b= ? (a·b)= ? a·b= a·( ? b);(3)(a+b)·c= a ·c +b·c.

3.平面向量基本定理:如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量, 有且只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2.(不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.) (七).三角形的重心坐标公式

△ABC

三个顶点的坐标分别为

A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2

)、C(x3 ,y3

),则△ABC

的重心的坐标是

G(

x1

?

x2 3

?

x3

,

y1

?

y2 3

?

y3

)

【必修 5 】

一、解三角形:Δ ABC 的六个元素 A, B, C, a , b, c 满
足下列关系: 1、角的关系:A + B + C = π ,
特殊地,若Δ ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列,则∠

a : b : c = sinA : sinB : sinC 分体型 a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC , (2)余弦定理:a 2 = b 2 + c 2 – 2bc?cosA , b 2 = a 2 + c 2 – 2a c?cosB , c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b?cosC

B = 60o,∠A +∠C = 120o 2、诱导公式的应用:sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC ,

cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 , 2bc

sin ( A ? B ) = cos C , cos ( A ? B ) =

22

2

22

sin C 2
3、边的关系:a + b > c , a – b < c(两边之和大于

第三边,两边之差小于第三边。)

4、边角关系:

cos B ? a 2 ? c 2 ? b2 , 2ac

5、面积公式:

S = 1 a h = 1 ab sinC = 1 bc sinA = 1 ac

2

2

2

2

sinB

(1)正弦定理: a ? b ? c ? 2R (R 为Δ sin A sin B sin C
ABC 外接圆半径)

-----------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------

二、数列

(一)、等差数列{ a n } 1、通项公式:a n = a 1 + ( n – 1 ) d ,推广:a n = a m + ( n – m ) d ( m , n∈N )

2、前 n 项和公式:S n = n a 1 + 1 n ( n – 1 ) d = n(a1 ? an )

2

2

2、等比数列的前 n 项和公式:
当 q≠1 时,S n = a1 (1 ? q n ) = a1 ? an q , 当 q = 1 时, 1?q 1? q
S n= n a 1 3、等比数列的主要性质

3、等差数列的主要性质 ① 若 m + n = 2 p,则 a m + a n = 2 a p(等差中项)( m , n∈N ) ② 若 m + n = p + q,则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q∈N ) ③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等差数列,公差 为 n d。



若m

+

n

=

2

p,则 a

2 p

=

a

m

?

a

n(等比中项)(

m

,

n∈N )

② 若 m + n = p + q,则 a m ? a n = a p ? a q ( m , n ,

p , q∈N )

③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等比数列,公比 为 q n。

(二)、等比数列{ a n } 1、通项公式:a n = a 1 q n – 1 ,推广:a n = a m q n – m n∈N )

(m,

-----------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------

(三)、一般数列{

a

n }的通项公式:记 S

n

=

a

1+

a

2+



+

a

n ,则恒有 an

? ? ??Sn

S1 ? Sn?1

?n ? 1? ?n ? 2, n ? N ?

三、不等式 (一)、均值定理及其变式(1)a , b ∈ R , a 2 + b 2 ≥ 2 a b

(2)a , b ∈ R + , a + b ≥ 2 ab

(3)a , b ∈ R + ,

ab



? a ? b ?2 ??

?2?

(4) 2 ? 1?1 ab

ab ? a ? b ? 2

a2 ? b2 2

,以上当且仅当 a = b 时取“ = ”号。
(二).一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根

之外;如果 a 与 ax2 ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. 设 x1 ? x2

(x ? x1)(x ? x2 ) ? 0 ? x1 ? x ? x2 ;

(x ? x1)(x ? x2 ) ? 0 ? x ? x1,或x ? x2

(三).含有绝对值的不等式:当 a> 0 时,有

x ? a ? x2 ? a 2 ? ?a ? x ? a .

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .

(四).指数不等式与对数不等式

(1)当 a ?1时,

? f (x) ? 0 a f (x) ? ag(x) ? f (x) ? g(x) ; loga f (x) ? loga g(x) ? ??g(x) ? 0
?? f (x) ? g(x)

(2)当 0 ? a ? 1时,

? f (x) ? 0 a f (x) ? ag(x) ? f (x) ? g(x) ; loga f (x) ? loga g(x) ? ??g(x) ? 0
?? f (x) ? g(x)

(五). Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域: 直线定界,特殊点定域。

线性规划问题:

1.了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解

2.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.

3.解线性规划实际问题的步骤:

(1)将数据列成表格;(2)列出约束条件与目标函数;(3)根据求最值方法:①画:画可行域;②移:移与目标函数一致的平行直线;③

求:求最值点坐标;④答;求最值; (4)验证。

两类主要的目标函数的几何意义:

① z ? ax ? by -----直线的截距;

② z ? (x ? a)2 ? ( y ? b)2 -----两点的距离或圆的半径;

4、均值定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2

ab ,即 a ? b ? 2

ab .

ab

?

? ??

a

? 2

b

2
? ??

?

a

?

0,

b

?

0?



( a ? b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数.) 2

5、均值定理的应用:设 x 、 y 都为正数,则有

s2 ⑴若 x ? y ? s (和为定值),则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 .
4

⑵若 xy ? p (积为定值),则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .
注意:在应用的时候,必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com