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平面向量基础练习


向量练习题
一、选择题 1.化简 AC ? BD + CD ? AB 得(

uuur

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r r A. AB B. DA C. BC D. 0 uu uu r r r r 2.设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量,则下列结论中正确的是( ) uu uu r r uu r uu r uu uu r r uu uu r r A. a0 = b0 B. a ? b = 1 C. | a0 | + | b0 |= 2 D. | a0 + b0 |= 2 0 0
3.已知下列命题中: (1)若 k ∈ R ,且 kb = 0 ,则 k = 0 或 b = 0 ,



r r r r r r r r r (2)若 a ? b = 0 ,则 a = 0 或 b = 0 (3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |=| b | ,则 ( a + b) ? ( a ? b) = 0 r r b ) (4)若 a 与 b 平行,则 a ? =| a | ? | b | 其中真命题的个数是( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
B.若 a?b=0,则 a∥b D.若 a⊥b,则 a?b=(a?b)2

r

4.下列命题中正确的是( ) A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a|

5.已知平面向量 a = (3,1) , b = ( x, ?3) ,且 a ⊥ b ,则 x = ( A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3

r

r

r

r



6.已知向量 a = (cos θ , sin θ ) ,向量 b = ( 3 ,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值, 最小值分别是( A. 4 2 ,0 二、填空题 ) C. 16, 0 D. 4, 0

B. 4, 4 2

1 AB =_________ 3 r r r r r 2.平面向量 a, b 中,若 a = (4, ?3) , b =1,且 a ? b = 5 ,则向量 b =____。
1.若 OA = ( 2,8) , OB = (?7,2) ,则 3.若 a = 3 , b = 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,则 a ? b =
0

r

r

r

r



4.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。 5.已知 a = ( 2,1) 与 b = (1,2) ,要使 a + tb 最小,则实数 t 的值为___________。 三、解答题

r

r

r

r

uuu r r
uuu r

r

r

r

1.如图, ? ABCD 中, E , F 分别是 BC , DC 的中点, G 为交点,若 AB = a , AD = b ,试以 a , b 为

uuu r
D F G A B E C

基底表示 DE 、 BF 、 CG .

1

2.已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |= 4, ( a + 2b).( a ? 3b) = ?72 ,求向量 a 的模。
o

r r

r

r

r

r

r

r

3.已知点 B (2, ?1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ,又 b = (1, 3) ,求 b 在 AB 上的投影。









4.已知 a = (1, 2) , b = (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) k a + b 与 a ? 3b 垂直? (2) k a + b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

r

r r

r

r

r

r

课后练习
一、选择题 1.下列命题中正确的是( )

uuu uuu uuu r r r uuu uuu r r A. OA ? OB = AB B. AB + BA = 0 r uuu r r uuu uuu uuu uuur r r r D. AB + BC + CD = AD C. 0 ? AB = 0 uuur uuur 2.设点 A(2, 0) , B (4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB = 2 AP ,
则点 P 的坐标为( A. (3,1) C. (3,1) 或 (1, ?1) ) B. (1, ?1) D.无数多个
o

3.若平面向量 b 与向量 a = (1,?2) 的夹角是 180 ,且 | b |= 3 5 ,则 b = ( A. ( ?3,6) B. (3,?6) C. (6,?3) D. ( ?6,3)

)

4.向量 a = (2,3) , b = ( ?1, 2) ,若 ma + b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于

r

r

r r

r

r

1 2 r r r r r r r r r r 5.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ⊥ a , (b ? 2a ) ⊥ b ,则 a 与 b 的夹角是(
A. ?2 B. 2 C.

1 2

D. ?



5π 6 3 6 r 1 r 3 r r 6.设 a = ( ,sin α ) , b = (cos α , ) ,且 a // b ,则锐角 α 为( 2 3
A. B. C. D.

π

π

2π 3


2

A. 30

0

B. 60

0

C. 75

0

D. 45

0

二、填空题 1.若 | a |= 1,| b |= 2, c = a + b ,且 c ⊥ a ,则向量 a 与 b 的夹角为
→ → →

r

r

r

r

r

r

r

r

r


→ →

2.已知向量 a = (1, 2) , b = (?2,3) , c = (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。 3.若 a = 1 , b = 2 , a 与 b 的夹角为 60 ,若 (3a + 5b) ⊥ ( ma ? b) ,则 m 的值为
0





r

r

r

r

r r



4.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB + CD = __________。 5.若 a = ( 2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。 三、解答题 1.求与向量 a = (1, 2) , b = (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标.
→ → → →

uuu uuu uuu r r r

r

r

r

2.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

3.设非零向量 a , b , c , d ,满足 d = ( a ? )b ? ( a ? )c ,求证: a ⊥ d c b

r r r r

r

r r r

r r r

r

r

4.已知 a = (cos α ,sin α ) , b = (cos β ,sin β ) ,其中 0 < α < β < π . (1)求证: a + b 与 a ? b 互相垂直; (2)若 ka+ b 与 a ? k b 的长度相等,求 β ? α 的值( k 为非零的常数).
3


r

r

r

r

r

r







4

答案解析
向量练习 一、选择题 1.D

uuur uuu uuu uuur uuu uuu uuu uuu r r r r r r r AD ? BD ? AB = AD + DB ? AB = AB ? AB = 0
uu r uu r

2.C 因为是单位向量, | a0 |= 1,| b0 |= 1 3.C (1)是对的; (2)仅得 a ⊥ b ; (3) ( a + b ) ? ( a ? b ) = a ? b = a ? b (4)平行时分 0 和 180 两种, a ? = a ? b cos θ = ± a ? b b
0 0

r

r

r

r

r

r

r2

r2

r2

r2

=0

r r

r r

r r r

4.D 若 AB = DC ,则 A, B, C , D 四点构成平行四边形; a + b < a + b

uuu r
r

uuur

r

r

r

若 a // b ,则 a 在 b 上的投影为 a 或 ? a ,平行时分 0 和 180 两种
0 0

r

r

r

r

r

r r r r r r a ⊥ b ? a ? = 0, (a ?b ) 2 = 0 b
5.C 6.D

3 x + 1× (?3) = 0, x = 1

r r r r 2a ? b = (2 cos θ ? 3, 2sin θ + 1),| 2a ? b |= (2 cos θ ? 3) 2 + (2sin θ + 1) 2
= 8 + 4sin θ ? 4 3 cos θ = 8 + 8sin(θ + ) ,最大值为 4 ,最小值为 0 3

π

二、填空题 1. ( ?3, ?2) 2. ( , ? )

4 5

3 5

uuu uuu uuu r r r AB = OB ? OA = (?9, ?6) r r r 1r 4 3 a? b r r r r r a = 5, cos < a , b >= r r = 1, a , b 方向相同, b = a = ( , ? ) 5 5 5 a b

3. 7 4.圆 5. ?

1 r r r r r rr r a ? b = (a ? b ) 2 = a 2 ? 2ab + b 2 = 9 ? 2 × 2 × 3 × + 4 = 7 2
以共同的始点为圆心,以单位 1 为半径的圆

4 5

r r r r r r rr 4 a + tb = (a + tb ) 2 = a 2 + 2tab + t 2b 2 = 5t 2 + 8t + 5 ,当 t = ? 时即可 5
uuu uuur r uuu uuu uuur r r r

三、解答题 1.解: DE = AE ? AD = AB + BE ? AD = a +

1r r r 1r b ?b = a ? b 2 2 uuu uuu uuu uuur uuur uuu r 1 r r r 1 r r r r r BF = AF ? AB = AD + DF ? AB = b + a ? a = b ? a 2 2 uuu 1 uuu r r uuur 1 1 r r G 是△ CBD 的重心, CG = CA = ? AC = ? (a + b ) 3 3 3 r r r r r2 r r r2 ( b 2.解: ( a + 2b)? a ? 3b) = a ? a ? ? 6b = ?72

uuur

5

r2 r2 r r r2 r a ? a b cos 600 ? 6 b = ?72, a ? 2 a ? 24 = 0,

r r r ( a ? 4)( a + 2) = 0, a = 4
3.解:设 A( x, y ) ,

uuur uuu r AO = ?3 ,得 AO = ?3OB ,即 (? x, ? y ) = ?3(2, ?1), x = 6, y = ?3 OB r uuu v r uuu v uuu v b ?AB 5 得 A(6, ?3) , AB = ( ?4, 2), AB = 20 , b cos θ = uuu = v 10 AB
r r

4.解: k a + b = k (1, 2) + ( ?3, 2) = ( k ? 3, 2k + 2)

r r a ? 3b = (1, 2) ? 3(?3, 2) = (10, ?4)
(1) ( ka + b ) ⊥ ( a ? 3b ) , 得 (k a + b )? ( a ? 3b ) = 10( k ? 3) ? 4(2k + 2) = 2k ? 38 = 0, k = 19 (2) ( ka + b ) // ( a ? 3b ) ,得 ?4( k ? 3) = 10(2k + 2), k = ? 此时 k a + b = ( ?

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

1 3

r

r

10 4 1 , ) = ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3

课后练习 一、选择题 1.D 起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量, OA ? OB = BA ;

uuu uuu r r

uuu r

uuu uuu r r r uuu uuu r r AB, BA 是一对相反向量,它们的和应该为零向量, AB + BA = 0
2.C 设 P ( x, y ) ,由 AB = 2 AP 得 AB = 2 AP ,或 AB = ?2 AP ,

uuur

uuur

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r uuu r AB = (2, 2), AP = ( x ? 2, y ) ,即 (2, 2) = 2( x ? 2, y ), x = 3, y = 1, P(3,1) ;

(2, 2) = ?2( x ? 2, y ), x = 1, y = ?1, P(1, ?1)
3.A 4.D 设 b = ka = ( k , ?2k ), k < 0 ,而 | b |= 3 5 ,则 5k 2 = 3 5, k = ?3, b = ( ?3, 6)

r

r

r

r r ma + b = (2m,3m) + (?1, 2) = (2m ? 1,3m + 2) r r 1 a ? 2b = (2,3) ? (?2, 4) = (4, ?1) ,则 ?2m + 1 = 12m + 8, m = ? 2

5.B

r r r 1 a2 r r2 r r2 r r a ?b 1 r r r r a 2 ? 2a ?b = 0, b ? 2a ?b = 0, a 2 = b , a = b , cos θ = r r = 2r 2 = 2 a b a

6

6.D

3 1 × = sin α cos α , sin 2α = 1, 2α = 900 , α = 450 2 3
0

二、填空题 1. 120

r r r a? b ?a 2 1 r r r r2 r r b (a + b )?a = 0, a + a ? = 0, cos θ = r r = r r = ? ,或画图来做 2 a b a b
设 c = xa + yb ,则 ( x, 2 x ) + ( ?2 y, 3 y ) = ( x ? 2 y , 2 x + 3 y ) = (4,1)


2. (2, ?1)

r

r

x ? 2 y = 4, 2 x + 3 y = 1, x = 2, y = ?1
3.

23 8

r r r r r r r r (3a + 5b)? (ma ? b) = 3ma 2 + (5m ? 3)a ? ? 5b 2 = 0 b 3m + (5m ? 3) × 2 × cos 600 ? 5 × 4 = 0,8m = 23

4. 2

uuu uuu uuu r r r uuu uuu uuu r r r uuur uuu r uuur AB ? CB + CD = AB + BC + CD = AC + CD = AD = 2

65 5. 5
三、解答题

r r a? b 13 r a cos θ = r = 65 b
r r r r r

1.解:设 c = ( x, y ) ,则 cos < a , c >= cos < b , c >,

? ?x = ?x + 2 y = 2x + y ? ,即 ? 得? 2 2 ?x + y = 1 ?y = ? ?

2 ? ?x = ? 2 或? ? 2 ? ?y = ? 2 ?

2 2 2 2

2 2 2 2 r c =( , ) 或 (? ,? ) 2 2 2 2
2.证明:记 AB = a , AD = b , 则 AC = a + b , DB = a ? b ,

uuu r

r uuur

r

uuur

r

r r uuu

r

r

uuur 2 uuu 2 r r r r r r r AC + DB = (a + b )2 + (a ? b ) 2 = 2a 2 + 2b 2 uuur 2 uuu 2 r r2 r2 ∴ AC + DB = 2 a + 2 b
3.证明:Q a ? = a ? a ? )b ? ( a ? )c ] = ( a ? )( a ? ) ? ( a ? )c ?a d [( c b c b b

r r

r

r r r

r r r

r r r r

r r r r

r r r r r r r r = (a ?c )(a ? ) ? (a ?c )(a ?b ) = 0 b

r r ∴a ⊥ d
4.(1)证明:Q ( a + b )? a ? b ) = a 2 ? b 2 = (cos 2 α + sin 2 α ) ? (cos 2 β + sin 2 β ) = 0 (

r

r

r

r

r

r

r r r r ∴ a + b 与 a ? b 互相垂直

7

(2) ka+ b = ( k cos α + cos β , k sin α + sin β ) ;


→ →

a ? k b = (cos α ? k cos β , sin α ? k sin β )
→ r k a + b = k 2 + 1 + 2k cos( β ? α )





r a ? kb = k 2 + 1 ? 2k cos( β ? α )
2

而 k + 1 + 2k cos( β ? α ) =

k 2 + 1 + 2k cos( β ? α )

cos( β ? α ) = 0 , β ? α =

π
2

8


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