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高三数学一轮复习必备精品:数列求和及数列实际问题

2009~2010 学年度高三数学(人教版 A 版)第一轮复习资料

第 30 讲
一. 【课标要求】

数列求和及数列实际问题

1.探索并掌握一些基本的数列求前 n 项和的方法; 2.能在具体的问题情境中,发现数列的数列的通项和递推关系,并能用有关等差、等 比数列知识解决相应的实际问题。

二. 【命题走向】
数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位, 一般情况下都是出一道解答 题,解答题大多以数列为工具,综合运用函数、方程、不等式等知识,通过运用逆推思想、 函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法,这些题目都考察考生 灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力,它们都属于中、高档题目 有关命题趋势: 1.数列是一种特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具,三者的综 合题是对基础和能力的双重检验, 在三者交汇处设计试题, 特别是代数推理题是高考的重点; 2.数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点,这是由于此类题目能突出考察学生 的逻辑思维能力,能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度; 3.数列与新的章节知识结合的特点有可能加强,如与解析几何的结合等; 4.有关数列的应用问题也一直备受关注 预测 2010 年高考对本将的考察为: 1.可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题; 2.也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的 综合题,以及数列、数学归纳法等有机结合

三. 【要点精讲】
1.数列求通项与和 (1)数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式:an= ?

?s n ? s n ?1 ?s1

n?2 n ?1



(2)求通项常用方法 ①作新数列法。作等差数列与等比数列; ②累差叠加法。最基本的形式是:an=(an-an-1)+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1; ③归纳、猜想法。 (3)数列前 n 项和 ①重要公式:1+2+…+n= 12+22+…+n2=

1 n(n+1); 2

1 n(n+1)(2n+1); 6 1 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2; 4
②等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd; ③等比数列中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn; ④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和,即 an=f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多 项,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和,需要掌握一些常见的裂项,如:

an ?

1 1 1 1 1 1 1 = - 、 n! n· =(n+1)! ? ( ? )、 ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C n(n ? 1) n n ? 1


-n!、Cn-1r 1=Cnr-Cn-1r、

1 n 1 = - 等 (n ? 1)! n! (n ? 1)!

⑤错项相消法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和,常用错项相消法。

an ? bn ? cn ,

其 中

?bn ?

是 等 差 数 列 ,

?cn ?

是 等 比 数 列 , 记

S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1 ? bn cn ,则 qSn ? b1c2 ???? bn?1cn ? bncn?1 ,…
⑥并项求和 把数列的某些项放在一起先求和,然后再求 Sn。 数列求通项及和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法 ⑦通项分解法: an ? bn ? cn 2.递归数列 数列的连续若干项满足的等量关系 an+k=f(an+k-1,an+k-2,…,an)称为数列的递归关系。由递 归关系及 k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由 an+1=2an+1,及 a1=1,确定的 数列 {2 n ? 1} 即为递归数列 递归数列的通项的求法一般说来有以下几种: (1)归纳、猜想、数学归纳法证明。 (2)迭代法。 (3)代换法。包括代数代换,对数代数,三角代数。 (4)作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题

四. 【典例解析】
题型 1:裂项求和 例 1.已知数列 ?an ? 为等差数列,且公差不为 0,首项也不为 0,求和:
n

?a a
i ?1 i

n

1
i ?1



解析:首先考虑

n n 1 1 1 n 1 1 1 1 1 = ( ? 。 )? ?? ( ? ) ,则 ? ? a a i?1 d a a d a1 a n ?1 a1a n?1 i ?1 i i ?1 i ?1 ai ai ?1 i i ?1

点 评 : 已 知 数 列 ?an ? 为 等 差 数 列 , 且 公 差 不 为 0 , 首 项 也 不 为 0 , 下 列 求 和

?
i ?1

n

n a ? ai 1 ? ? i ?1 也可用裂项求和法。 d ai ? ai ?1 i ?1

例 2.求1 ?

1 1 1 1 ? ? ??? , (n ? N * ) 。 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1? 2 ? 3 ??? n

解析:? a k ?

1 2 ? , 1 ? 2 ? ? ? k k (k ? 1)

?Sn ? 2[

1 1 1 ? ??? ] 1? 2 2 ? 3 n( n ? 1)

1 ? ? 1 ? 2n ? 1? ? 1 1? ?1 ? 2[?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2?1 ? ?? ? 2? ? 2 3? ? n n ? 1? ? n ? 1? n ? 1

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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点评:裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。 题型 2:错位相减法 例 3.设 a 为常数,求数列 a,2a2,3a3,…,nan,…的前 n 项和。 解析:①若 a=0 时,Sn=0; ②若 a=1,则 Sn=1+2+3+…+n=

1 n ( n ? 1) ; 2

③若 a≠1,a≠0 时,Sn-aSn=a(1+a+…+an-1-nan) , Sn=

a [1 ? ( n ? 1)a n ? na n ?1 ] 。 2 (1 ? a )

例 4 . 已 知 a ? 0, a ? 1 , 数 列 ?an ? 是 首 项 为 a , 公 比 也 为 a 的 等 比 数 列 , 令

bn ? an ? lg an (n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 。
解析:? an ? an , bn ? n ? an lg a ,

? Sn ? (a ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? na n ) lg a……① aSn ? (a 2 ? 2a3 ? 3a 4 ? ? ? na n?1 ) lg a……②
①-②得: (1 ? a)S n ? (a ? a 2 ? ? ? a n ? nan?1 ) lg a ,

? Sn ?

a lg a 1 ? (1 ? n ? na)a n 2 (1 ? a)

?

?

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点评:设数列 ?an ? 的等比数列,数列 ?bn ? 是等差数列,则数列 ?an bn ?的前 n 项和 S n 求 解,均可用错位相减法。 题型 3:倒序相加 例 5.求 Sn ? 3Cn ? 6Cn ? … ? 3nCn 。
1 2 n

解析: Sn ? 0·Cn ? 3Cn ? 6Cn ? … ? 3nCn 。 ①
0 1 2 n

又 Sn ? 3nCn ? 3(n ? 1)Cn
n

n?1

1 0 ? … ? 3Cn ? 0·Cn 。 ②

所以 Sn ? 3n·2

n ?1



点评:Sn 表示从第一项依次到第 n 项的和,然后又将 Sn 表示成第 n 项依次反序到第一 项的和,将所得两式相加,由此得到 Sn 的一种求和方法。

例 6.设数列 ?an ? 是公差为 d ,且首项为 a0 ? d 的等差数列,
0 1 n 求和: S n?1 ? a0 Cn ? a1Cn ? ? ? an Cn 0 1 n 解析:因为 S n?1 ? a0 Cn ? a1Cn ? ? ? an Cn , n n 0 0 1 n S n?1 ? an Cn ? an?1Cn ?1 ? ? ? a0Cn ? an Cn ? an?1Cn ? ? ? a0Cn ,
0 1 n ?2Sn?1 ? (a0 ? an )C n ?(a1 ? an?1 )Cn ? ?? (an ? a0 )Cn 0 1 n ? (a0 ? an )(Cn ? Cn ? ?? Cn ) ? (a0 ? an )2n

?Sn?1 ? (a0 ? an ) ? 2n?1 。
点评:此类问题还可变换为探索题形:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? (n ? 1)2 ? 1,
n
1 2 n 是否存在等差数列 ?bn ? 使得 an ? b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn 对一切自然数 n 都成立。

题型 4:其他方法 例 7.求数列 1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,…前 n 项和。 解析:本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前 n 项中共有 1 ? 2 ? … ? n ?

n(n ? 1) 2

n(n ? 1) ? 1) ×2 n(n ? 1) n 2 (n ? 1) 2 2 个奇数,故 Sn ? 。 [ ]? 2 2 4 1 1 1 例 8.求数列 1,3+ ,32+ 2 ,……,3n+ n 的各项的和。 3 3 3 1?1? (
解析:其和为(1+3+……+3n)+( 题型 5:数列综合问题 例 9. (2009 湖北卷文)设 x ? R , 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ],则 { [
5 ?1 5 ?1 ], 2 2 5 ?1 }, 2

1 1 1 3n ?1 ? 1 1 ? 3? n 1 n+1 -n ? 2 +……+ n )= ? = (3 -3 )。 3 3 2 3 2 2

A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列 【答案】B 【解析】 可分别求得 ? 数列.

B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

? 5 ? 1? ? ? ?? ? 2 ? ? ?

5 ?1 5 ?1 ,[ ] ? 1 .则等比数列性质易得三者构成等比 2 2

例 10.(2009 湖南卷理)将正⊿ABC 分割成 n ( n ≥2,n∈N)个全等的小正三角形(图 2, 图 3 分别给出了 n=2,3 的情形) ,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC 的三遍 及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于 3 时)都分别一次成等差数列,若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 f(n), 则有 f(2)=2, f(3)=

2

10 , …, 3

f(n)=

1 (n+1)(n+2) 6

答案

10 1 , (n ? 1)(n ? 2) 3 6

解析 当 n=3 时,如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示,即由条件知

a ? b ? c ? 1, x1 ? x2 ? a ? b, y1 ? y2 ? b ? c, z1 ? z2 ? c ? a x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? 2(a ? b ? c) ? 2, 2g ? x1 ? y2 ? x2 ? z1 ? y1 ? z2 6g ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? 2(a ? b ? c) ? 2
即g ?

1 1 1 10 而f (3) ? a ? b ? c ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? z1 ? z2 ? g ? 1 ? ? ? 3 2 3 3

进一步可求得 f (4) ? 5 。由上知 f (1) 中有三个数, f (2) 中 有 6 个数, f (3) 中共有 10 个

) 数相加 , f (4) 中有 15 个数相加….,若 f (n ?1 中有 an?1 (n ? 1) 个数相加,可得 f ( n) 中有

(an?1 ? n ? 1) 个数相加,且由
3 6 3?3 3 10 4 5 f (1) ? 1 ? , f (2) ? ? ? f (1) ? , f (3) ? ? f (2) ? , f (4) ? 5 ? f (3) ? ,... 3 3 3 3 3 3 3 n ?1 , 所以 可得 f ( n) ? f ( n ? 1) ? 3 n ?1 n ?1 n n ?1 n n ?1 3 f (n) ? f (n ? 1) ? ? f (n ? 2) ? ? ? ... ? ? ? ? ? f (1) 3 3 3 3 3 3 3

=

n ? 1 n n ?1 3 2 1 1 ? ? ? ? ? ? (n ? 1)(n ? 2) 3 3 3 3 3 3 6

题型 6:数列实际应用题 例 11.某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款 10 万元,第一年便可 获利 1 万元,以后每年比前一年增加 30%的利润;乙方案:每年贷款 1 万元,第一年可获利 1 万元,以后每年比前一年增加 5 千元;两种方案的使用期都是 10 年,到期一次性归还本 息. 若银行两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种获利更多? (取 1.0510 ? 1.6291.310 ? 13.7861.510 ? 57.665) , , 解析:甲方案是等比数列,乙方案是等差数列, ①甲方案获利: 1 ? (1 ? 30%) ? (1 ? 30%) 2 ? ? ? (1 ? 30%) 9 ? 元) , 银行贷款本息: 10(1 ? 5%)10 ? 16.29 (万元) , 故甲方案纯利: 42.63 ? 16.29 ? 26.34 (万元) , ②乙方案获利: 1 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 2 ? 0.5) ? ? ? (1 ? 9 ? 0.5) ? 10 ? 1 ?

1.310 ? 1 ? 42.63 (万 0.3

10 ? 9 ? 0.5 2

? 32.50 (万元) ;
银行本息和: 1.05? [1 ? (1 ? 5%) ? (1 ? 5%) ? ? ? (1 ? 5%) ]
2 9

? 1.05 ?

1.0510 ? 1 ? 13.21(万元) 0.05

故乙方案纯利: 32 .50 ? 13 .21 ? 19.29 (万元) ; 综上可知,甲方案更好。 点评:这是一道比较简单的数列应用问题,由于本息金与利润是熟悉的概念,因此只建 立通项公式并运用所学过的公式求解 例 12.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分)
x 已知点(1, )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项

1 3

和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

(2)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1 1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?
x

解(1) Q f ?1? ? a ?

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? . ? ? ? ? 27 4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27

a 1 2?1? 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3? 3?
Q Sn ? Sn?1 ?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n? N*



?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009

题型 7:课标创新题 例 13. 2009 广 东 卷 理 )知曲线 Cn : x ? 2nx ? y ? 0(n ? 1, 2,?) .从点 P(?1, 0) 向曲 (
2 2

线 Cn 引斜率为 kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切点为 P ( xn , yn ) . n

(1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?? ? x2 n ?1 ?

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn

解 : 1) 设 直 线 ln : y ? k n ( x ? 1) ,联立 x 2 ? 2nx ? y 2 ? 0 得 (
2 2 2 2 2 2 (1 ? k n ) x 2 ? (2k n ? 2n) x ? k n ? 0 ,则 ? ? (2k n ? 2n) 2 ? 4(1 ? k n )k n ? 0 ,

∴ kn ?

n 2n ? 1

(?

n 2n ? 1

舍去)

2 xn ?

2 kn n n 2n ? 1 n2 , 即 xn ? , ∴ y n ? k n ( xn ? 1) ? ? 2 2 n ?1 n ?1 1 ? k n (n ? 1)

n 1 ? xn n ?1 ? ? ( 2) 证 明 : ∵ n 1 ? xn 1? n ?1 1?

1 2n ? 1

x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2n?1 ?

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 1 ? ????? ? ? ????? ? 2 4 2n 3 5 2n ? 1 2n ? 1

∴ x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2 n ?1 ?

1 ? xn 1 ? xn

由于

xn ? yn
'

1 ? xn 1 ,可令函数 f ( x) ? x ? 2 sin x ,则 f ' ( x) ? 1 ? 2 cos x , ? 2n ? 1 1 ? xn

令 f ( x) ? 0 , cos x ? 得

? ? 2 ' , 给定区间 (0, ) , 则有 f ( x) ? 0 , 则函数 f (x) 在 (0, ) 上 4 4 2

单调递减,∴ f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 x ?

? 2 sin x 在 (0, ) 恒成立,又 4

0?

1 1 ? ? ? , 2n ? 1 3 4

则有

1 ? xn x 1 1 ,即 ? 2 sin ? 2 sin n . 2n ? 1 2n ? 1 1 ? xn yn
1 2 (an ? 3), n ? N ? . 4

例 14. (2009 安徽卷理)首项为正数的数列 ?an ? 满足 an ?1 ? (I)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n ? 2, an 都是奇数;

(II)若对一切 n ? N? 都有 an?1 ? an ,求 a1 的取值范围. 解:本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运 算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分 13 分。 解: (I)已知 a1 是奇数,假设 ak ? 2m ?1 是奇数,其中 m 为正整数,

ak 2 ? 3 ? m(m ? 1) ? 1 是奇数。 则由递推关系得 ak ?1 ? 4
根据数学归纳法,对任何 n ? N? , an 都是奇数 (II) (方法一)由 an ?1 ? an ?

1 (an ? 1)(an ? 3) 知, an?1 ? an 当且仅当 an ? 1 或 an ? 3 。 4
1? 3 32 ? 3 ? 1;若 ak ? 3 ,则 ak ?1 ? ? 3. 4 4

另一方面,若 0 ? ak ? 1, 则 0 ? ak ?1 ?

根据数学归纳法, 0 ? a1 ? 1, ? 0 ? an ? 1, ?n ? N? ; a1 ? 3 ? an ? 3, ?n ? N? . 综合所述,对一切 n ? N? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 (方法二)由 a2 ?

a12 ? 3 ? a1 , 得 a12 ? 4a1 ? 3 ? 0, 于是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 4

an?1 ? an ?

an 2 ? 3 an ?12 ? 3 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? ? , 4 4 4

an 2 ? 3 , 所以所有的 an 均大于 0,因此 an?1 ? an 与 an ? an?1 同号。 因为 a1 ? 0, an ?1 ? 4
根据数学归纳法, ?n ? N? , an?1 ? an 与 a2 ? a1 同号。 因此,对一切 n ? N? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。

五. 【思维总结】
1.数列求和的常用方法 (1)公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列; (2)裂项相消法:适用于 ?

?

c ? ? 其中{ an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数; ? a n a n ?1 ?

部分无理数列、含阶乘的数列等;

(3)错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是各项不为 0 的等比数 列。 (4)倒序相加法:类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. (5)分组求和法 (6)累加(乘)法等 2.常用结论 (1) ? k ? 1+2+3+...+n =
k ?1 n n

n( n ? 1) 2
2

(2) ? (2k ? 1) ? 1+3+5+...+(2n-1) = n
k ?1 n 3

?1 ? (3) ? k ? 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? k ?1 ?2 ?
3 3 3
2 2 2 2 (4) ? k 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
k ?1 n

2

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

(5)

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

(6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

3.数学思想 (1) 迭加累加 (等差数列的通项公式的推导方法) an ? an?1 ? f (n),(n ? 2) , 若 则……; (2)迭乘累乘(等比数列的通项公式的推导方法)若 (3)逆序相加(等差数列求和公式的推导方法) ; (4)错位相减(等比数列求和公式的推导方法)

an ? g (n)(n ? 2) ,则……; an?1


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